2022中考数学模拟试题分类汇编29圆的有关性质

2022年中考数学试题分类汇编29圆的有关性质一、选择1.（2022浙江省舟山，6，3分）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（第（第6题）【答案】A2.（2022安徽，7，4分）如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧eq\o(⌒,BC)的长是（）A．eq\f(π,5) B．eq\f(2,5)π C．eq\f(3,5)π D．eq\f(4,5)π【答案】B3.（2022福建福州，9，4分）如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,若,则大圆半径与小圆半径之间满足（）A． B． C． D． 图图2【答案】C4.（2022山东泰安，10，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=eq\r(6)，则⊙O的半径为（）A.eq\r(2)B.2eq\r(2)C.eq\f(eq\r(2),2)D.eq\f(eq\r(6),2)【答案】A5.（2022四川南充市，9，3分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）（A）6分米（B）8分米（C）10分米（D）12分米【答案】C6.（2022浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（）A.B.C.D.(第8题)(第8题)【答案】B7.（2022浙江绍兴，4，4分）如图，的直径，点在上，若,则的度数是（）A.B.C.D.(第5题图)(第5题图)【答案】C8.（2022浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（）.10(第6题图)(第6题图)【答案】A9.（2022浙江省，5，3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A.12个单位B.10个单位个单位D.15个单位【答案】B10．（2022四川重庆，6，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于()A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】B11.（2022浙江省嘉兴，6，4分）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（第（第6题）【答案】A12.（2022台湾台北，16）如图(六)，为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，平分∠BAD且交于F点。若∠ADE＝，则∠AFB的度数为何？A．97B．104C．116【答案】C13.（2022贵州毕节，12，3分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为()A．2cmB．cmC．cmD．cm(第12(第12题)【答案】C14.（2022甘肃兰州，12，4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。则⊙O的半径为A．6 B．13 C． D．AABCO【答案】C15.（2022四川成都，7,3分）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（B）(A)116°(B)32°(C)58°（D)64°【答案】B16.（2022四川内江，9，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为A．1 B． C．2 D．2【答案】D17.(2022江苏南京，6，2分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为，则a的值是A． B． C． D． (第6题)(第6题)ABOPxyy=x【答案】B18.（2022江苏南通，8，3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于8 B.2 C.10 D.5【答案】D19.（2022山东临沂，6，3分）如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长是（）A．2cm B．3cmC．4cm D．2cm【答案】C20．（2022上海，6，4分）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．(A)点B、C均在圆P外；(B)点B在圆P外、点C在圆P内；(C)点B在圆P内、点C在圆P外；(D)点B、C均在圆P内．【答案】C21.（2022四川乐山6，3分）如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】C22.（2022四川凉山州，9，4分）如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（）A．B．或C．D．或【答案】D23.（2022广东肇庆，7，3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是AABCDEA．115° B．105° C．100° D．95°【答案】B24.（2022内蒙古乌兰察布，9，3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度数为（）A.B.C.D.【答案】B25.（2022重庆市潼南,3,4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠A=30°,则∠B的度数为A．15°B.30° C.45°D.60°【答案】D26.（2022广东湛江16,4分）如图，是上的三点，，则度．【答案】6027.（2022广东佛山，4，3）.若⊙O的一条弧所对的圆周角为60°,则这条弧所对的圆心角是A．30°B.60°C.120°D.以上答案都不对【答案】C28.（2022广东佛山，10，3）下列说法正确的是A.“作线段CD=AB”是一个命B.三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心C.命“若x=1，则x2=1”的逆命是真命D.“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义【答案】B29.（2022广东清远，8，3分）如图2，点A、B、C在⊙O上，若,则的度数为（）°°°°【答案】C30.(2022四川达州，6，3分)如图3,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,那么线段OE的长为A、5B、4C、3D、2【答案】C31.（2022湖南娄底，7,3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定【答案】C32.（2022广东肇庆，7，3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是AABCDEA．115° B．105° C．100° D．95°【答案】B33．（2022广西南宁，8，3分）一条公路弯道处是一段圆弧(图2中的弧AB)，点D是这条弧所在圆的圆心，点C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，AB=120m．CD=20m，这段弯道的半径是：(A)200m (B)200m (C)lOOm (D)100m【答案】C34.（2022湖北潜江天门仙桃江汉油田，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点.作△ABC的外接圆⊙，则的长等于（）A． B.C. D.【答案】D35.（2022湖北省随州市，5，4分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO=CD，则∠PCA=()第5图A．30° B． 45° C．60° D．°【答案】D36.（2022云南玉溪，3，3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，若∠ABC=50°，则∠BDC=（）A.50°°°°【答案】C.37.（2022四川自贡，9，3分）若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（）A.45°B.90°C.135°D.270°【答案】C38.（2022广西柳州,6,3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB=80°，则∠ACB的大小为°°°°二、填空1.（2022浙江省舟山，15，4分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中正确结论的序号是．（第（第16题）【答案】①④2.（2022安徽，13，5分）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】eq\r(,5)3.（2022江苏扬州，15,3分）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=【答案】40°4.（2022山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是．【答案】如：x2-x+1=0；5.（2022山东泰安，23，3分）如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC==320，则∠P的度数为。【答案】2606.（2022山东威海，15，3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,,则∠AED=.【答案】30°7.（2022山东烟台，16,4分）如图，△ABC的外心坐标是__________.OOxyBCA【答案】（－2，－1）8.（2022浙江杭州，14，4）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD十∠CAO=°．【答案】53°9.（2022浙江温州，14，5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC＝3，则AB的长是．【答案】610．（2022浙江省嘉兴，16，5分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④．其中正确结论的序号是．（第（第16题）【答案】①④11.（2022福建泉州，16，4分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 .（写出符合的一种情况即可）【答案】2（符合答案即可）12.（2022甘肃兰州，16，4分）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=度。OODBC【答案】63°13.（2022湖南常德，7，3分）如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C=70°，则∠OAB=__________.【答案】20°14.（2022江苏连云港，15，3分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=_____.【答案】15.（2022四川广安，19，3分）如图3所示，若⊙O的半径为13cm，点是弦上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦的长为________cm图3图3【答案】2416.（2022重庆江津，16，4分）已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,则∠D=____________.AABCD第16题图【答案】150°17.(2022重庆綦江，13，4分)如图,已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°,则∠D＝.【答案】：60°18.（2022江西南昌，13，3分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=度.第13图【答案】9019.(2022江苏南京，13，2分)如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．AABOP(第13题)【答案】4020．（2022上海，17，4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_________．【答案】621.（2022江苏无锡，18，2分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=_____________．yyxOABDC（第18题）【答案】6522.（2022湖北黄石，14，3分）如图（5），△ABC内接于圆O，若∠B＝＝，则⊙O的直径为。【答案】223.（2022湖南衡阳，16，3分）如图，⊙的直径过弦的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为．【答案】2024.（2022湖南永州，8，3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=,则∠BCD=________度．（（第8题）【答案】3025.(20221江苏镇江,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.答案：4，926.（2022内蒙古乌兰察布，14，4分）如图，是半径为6的⊙D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是【答案】27.（2022河北，16，3分）如图7，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC,则∠D=__°．【答案】2728.（2022湖北荆州，12，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是.第12图【答案】50°29.（2022湖南娄底，16,4分）如图5，△ABC内接于⊙O，已知A=55，则BOC=.【答案】11030.（2022黑龙江省哈尔滨市，17，3分）如图，BC是⊙O的弦，圆周角∠BAC=50°，则∠OCB的度数是_度。【答案】4031.（2022黑龙江绥化，8，3分）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为.【答案】32.（2022吉林长春，11,3分）如图，将三角板的直角顶点放在⊙Ｏ的圆心上，两条直角边分别交⊙O于Ａ、Ｂ两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、PB．则∠APB的大小为＿＿＿＿度．【答案】45°33.（2022吉林，7，2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝50°，点P在AO上（点P不与点A、O重合），则∠BPC可能为度（写出一个即可）．【答案】60三、解答1.(2022广东河源，20，本满分9分)如图8,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC.将△ACD沿对角线AC翻折后,点D恰好与边AB的中点M重合．(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由;(2)当AB=4时,求此梯形的面积．【答案】（1）点C在以AB为直径的圆上.理由：连接MC,MD,∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC,∵∠DAC=∠BAC,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,∵AD=AM,∴CD=AM,∴四边形AMCD是平行四边形，∴MC=AD,同理MD=BC,∵AD=BC,∴MC=MD=AD=BC=MA=MB,∴点C在以AB为直径的圆上.(2)由（1）得△AMD是等边三角形，过点D作DE⊥AB于E,由勾股定理得，DE=,∴梯形ABCD的面积=.2.（2022浙江金华，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）连结BC,∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的长=;……4分OOBDECFxyA（2）连结OD,∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中，OE=,∴AE=AO－OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA,∴,即，∴EF=3；……4分（3）设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1（，0）；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x,AE=10-x，∴CF∥AB,有CF=,∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得：,∴E2（，0）;OBOBDFCEAxyOBDFCEAxy②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,∴CF∥BE,∴,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,即,解得,＜0（舍去），∴E3（，0）;OOBDFCEAxy③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO连结BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴，而AD=2BE,∴,∴,解得,＜0（舍去）,∵点E在x轴负半轴上,∴E4（，0）,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．……4分OOBDFCEAxy3.（2022山东德州22,10分）●观察计算当，时，与的大小关系是_________________．当，时，与的大小关系是_________________．●探究证明如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．（1）分别用表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．AABCOD●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：_________________________．●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．【答案】●观察计算:>，=.…2分ABCOABCOD（1），∴…3分AB为⊙O直径,∴.，，∴∠A=∠BCD.∴△∽△.…4分∴.即,∴.…5分（2）当时,,=；时,,>．…6分●结论归纳:．………………7分●实践应用设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米，则≥．……………9分当,即（米）时,镜框周长最小．此时四边形为正方形时,周长最小为4米.4.（2022山东济宁，19，6分）如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.(1)求证：；(2)请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.(第19题)(第19题)【答案】（1）证明：∵为直径，，∴.∴. 3分（2）答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 4分理由：由（1）知：，∴.∵，，，∴.∴. 6分由（1）知：.∴.∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. …7分5.（2022山东烟台，25,12分）已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由..A.ABCDE.OG（图2）ABCDEFP.OG（图1）【答案】（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2，依意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴，∴OE·OP＝OF2＝r2.6.（2022宁波市，25，10分）阅读下面的情境对话，然后解答问（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命还是假命？（2）在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆eq\o(⌒,ABD)的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．eq\o\ac(○,1)求证：ACE是奇异三角形；eq\o\ac(○,2)当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】解：（1）真命（2）在RtABC中a2＋b2＝c2，∵c＞b＞a＞0∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋∴若RtABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋a2∴2b2＝a2＋（a2＋b2）∴b2＝2a2得：b＝eq\r(,2)a∵c2＝b2＋a2＝3a∴c＝eq\r(,3)a∴a：b：c＝1：eq\r(,2)：eq\r(,3)(3)eq\o\ac(○,1)∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90°在RtABC中，AC2＋BC2＝AB2在RtADB中，AD2＋BD2＝AB2∵点D是半圆eq\o(⌒,ABD)的中点∴eq\o(⌒,AD)＝eq\o(⌒,BD)∴AD＝BD∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2∴AC2＋CB2＝2AD2又∵CB＝CE，AE＝AD∴AC2＝CE2＝2AE2∴ACE是奇异三角形eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)可得ACE是奇异三角形∴AC2＝CE2＝2AE2当ACE是直角三角形时由（2）可得AC：AE：CE＝1：eq\r(,2)：eq\r(,3)或AC：AE：CE＝eq\r(,3)：eq\r(,2)：1（Ⅰ）当AC：AE：CE＝1：eq\r(,2)：eq\r(,3)时AC：CE＝1：eq\r(,3)即AC：CB＝1：eq\r(,3)∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝30°∴∠AOC＝2∠ABC＝60°(Ⅱ)当AC：AE：CE＝eq\r(,3)：eq\r(,2)：1时AC：CE＝eq\r(,3)：1即AC：CB＝eq\r(,3)：1∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝60°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC的度数为60°或120°7.（2022浙江丽水，21，8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .【解】（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA8.（2022广东广州市，25，14分）如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=eq\r(,2)OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=eq\r(,2)OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．ABABCDEMNO图7ABCD1E1M1ON1图8【答案】（1）∵AB为⊙O直径∴∠ACB=90°∵△DCE为等腰直角三角形∴∠ACE=90°∴∠BCE=90°+90°=180°∴B、C、E三点共线．（2）连接BD，AE，ON．∵∠ACB=90°，∠ABC=45°∴AB=AC∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90°∴△BCD≌△ACE∴AE=BD，∠DBE=∠EAC∴∠DBE+∠BEA=90°∴BD⊥AE∵O，N为中点∴ON∥BD，ON=eq\f(1,2)BD同理OM∥AE，OM=eq\f(1,2)AE∴OM⊥ON，OM=ON∴MN=eq\r(,2)OM（3）成立证明：同（2）旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1所以仍有△BCD1≌△ACE1，所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD1⊥AE1其余证明过程与（2）完全相同．9.（2022浙江丽水，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解】(1)连结BC，∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°，∴eq\o(⌒,AB)的长=eq\f(60×π×5,180)=eq\f(5π,3)；（2）连结OD，∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA=90°，又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD=OA=10，在Rt△ODE中，OE=eq\r(,OD2－DE2)=eq\r(,102－82)=6，∴AE=AO－OE=10－6=4，由∠AOB=∠ADE=90°－∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴eq\f(AE,DE)=eq\f(EF,OE)，即eq\f(4,8)=eq\f(EF,6)，∴EF=3；(3)设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC的中点，即OE=eq\f(5,2)，∴E1(eq\f(5,2)，0)；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5－x，AE=10－x，∴CF10．（2022江西，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。⑴求∠BAC的度数；⑵求△ABC面积的最大值.（参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=.）【答案】（1）过点O作OD⊥BC于点D,连接OA.因为BC=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60°.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.（2）因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面积的最大值为×3×=3.11.（2022湖北十堰，24，10分）如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC,设AB=x.(1)求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，则x=;(3)设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值。【答案】解：（1）∵AD=5，AB=x,BE垂直平分CD，∴BC=BD=5-x,在△ABC中，AC=1，∴（5-x）-1<x<1+(5-x),解得2<x<3.(2)或(3)在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h,AF=m,则W=（EQ\F(1,2)xh）2=EQEQ\F(1,4)x2h2.①如图，当<x<3时，AC2-AF2=BC2-BF2，即1-m2=(5-x)2-(x-m)2,得m=EQ\F(5x-12,x),∴h2=1-m2=EQ\F(-24x\S(2)+120x-144,x\S(2)),∴W=EQEQ\F(1,4)x2h2=-6x2+30x-36即W=-6（x-EQ\F(5,2)）2+EQ\F(3,2),当x=时（满足<x<3），W有最大值.②当2<x≤时，同理可得，W=-6x2+30x-36=-6（x-EQ\F(5,2)）2+EQ\F(3,2).当x=时，W取最大值<.综合①②得，W的最大值为.12.（2022江苏苏州，26,8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.（1）弦长AB=________（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.【答案】解：（1）2.（2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，∴∠BOD=2∠A=100°.解法二：如图，连接OA.∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°.（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.13.（2022江苏苏州，27,8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.【答案】解：（1）2；2或.（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PG⊥BC.∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a.在△PAD、△PAB及△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，∵AB是直径，∴∠APB=90°.∴PE2=AE·BE，即b2=a（4-a）.∴2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16.∴当a=2时，b=2，2S1S3-S22有最大值16.14.（2022江苏泰州，26，10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．【答案】解：(1)N是BC的中点。原因：∵AD与小圆相切于点M，∴OM⊥AD，又AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点．(2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在Rt△OBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2，即：（r+6）2=(r+5)2+52，解得r=7cm.∴小圆的半径为7cm.15.（2022四川成都，27,10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．(1)求证：AE=CK； (2)如果AB=，AD=(为大于零的常数)，求BK的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．【答案】解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.（2）在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=，∴==，∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===.（3）连线OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，设OG=，则OE=，EG=6，，∴，∴.在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.16.（2022四川宜宾,23，10分）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．（23（23题图）【答案】证明：⑴连接AD∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC∴∠DAC=∠EBC又∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°∴AC⊥BH⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴BD=AD∵BD=8∴AD=8又∵∠ADC=90°AC=10（（第23题解答图）∴由勾股定理，得.∴BC=BD+DC=8+6=14又∵∠BGC=∠ADC=90°∠BCG=∠ACD∴△BCG∽△ACD∴∴∴连接AE，∵AC是直径∴∠AEC=90°又∵EG⊥AC∴△CEG∽△CAE∴∴∴.17.（2022江西南昌，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。⑴求∠BAC的度数；⑵求△ABC面积的最大值.（参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=.）【答案】（1）过点O作OD⊥BC于点D,连接OA.因为BC=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60°.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.（2）因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面积的最大值为×3×=3.18.（2022上海，21，10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若，求弦MN的长．【答案】（1）∵CD∥AB，∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∴∠C=∠D．∴OC=OD．∵OA=3，AC=2，∴OC=5．∴OD=5．（2）过点O作OE⊥CD，E为垂足，连接OM．在Rt△OCE中，OC=5，，设OE=x，则CE=2x．由勾股定理得，解得x1=，x2=（舍去）．∴OE=．在Rt△OME中，OM=OA=3，ME===2。∴MN=2ME=4．19.（2022湖北黄冈，22，8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．⑴求证△ABD为等腰三角形．⑵求证AC•AF=DF•FE

第

第22题图BAFEDCM【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．⑵∵∠DBA=∠DAB∴弧AD=弧BD又∵BC=AF∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA∴弧CD=弧DF∴CD=DF再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE②由①②得△DCA∽△FAE∴AC：FE=CD：AF∴AC•AF=CD•FE而CD=DF，∴AC•AF=DF•FE20．（2022广东茂名，24，8分）如图，⊙P与轴相切于坐标原点O(0，0)，与轴相交于点A(5，0)，过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．(1)已知AC＝3，求点Ｂ的坐标；(4分)(2)若AC＝,D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值(用含的代数式表示)．(4分)χ备用χ备用图χ【答案】解：(1)解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO，·∴，即，∴，∴解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径，∴∠ACO＝90°在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4，过C作CE⊥OA于点E，则：，即：，∴，∴∴，设经过A、C两点的直线解析式为：．把点A(5，0)、代入上式得：，解得：，∴，∴点．(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，∴，∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB＝，在Rt△ABO中，，OD＝，∴，点在函数的图象上，∴，∴．21.（2022广东肇庆，24，10分）已知：如图，ABCSKIPIF1<0内接于⊙O，ABSKIPIF1<0为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：SKIPIF1<0是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．ABCDEOFP【答案】(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD∴∠DAC＝∠DBA(2）∵AB为直径，∴∠ADB＝90°又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP∴PD＝PA又∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°且∠ADE＝∠DAC∴∠PDF＝∠PFD∴PD＝PF∴PA＝PF即P是线段AF的中点(3）∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA∽△ADB∴∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝22.（2022内蒙古乌兰察布，21，10分）如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F.(1）求证：BD=BF;(2）若BC=12,AD=8，求BF的长．【答案】⑴连结OE，则OE⊥AC,所以∠AEO=90°，∠AED=∠CEF,∠ACB＝90°∠CEF+∠F＝90°∠AED+∠OED＝90°∠OED=∠F又因为OD=OE所以∠OED=∠ODE∠ODE=∠FBD=BF⑵Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角所以Rt△ABC∽Rt△AOE，设⊙0的半径是r，则有求出r=8,所以BF=BD=1623.（2022广东肇庆，24，10分）已知：如图，ABCSKIPIF1<0内接于⊙O，ABSKIPIF1<0为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：SKIPIF1<0是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．ABCDEOFP【答案】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD∴∠DAC＝∠DBA（2）∵AB为直径，∴∠ADB＝90°又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP∴PD＝PA又∵∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°且∠ADE＝∠DAC∴∠PDF＝∠PFD∴PD＝PF∴PA＝PF即P是线段AF的中点（3）∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA∽△ADB∴∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝24.（2022湖北孝感，23，10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合）.连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.（1）填空：∠APC＝度，∠BPC＝度；（2分）（2）求证：△ACM∽△BCP；（4分）（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积.（4分）【答案】解：（1）60,60；（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60.∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180°－120°=60°.∴∠M=∠BPC=60°.（3）∵ACM≌BCP，∴CM=CP，AM=BP.又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形.∴CM=CP=PM=1+2=3.作PH⊥CM于H.在Rt△PMH中，∠MPH=30°.∴PH=.∴S梯形PBCM=.25.（2022湖北宜昌，21，8分）如图D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点0在AD上，AO=CO，BC(1)证明:AB=AC；(2)证明:点0是AABC的外接圆的圆心；(3)当AB=5,BC=6时，连接BE若∠ABE=90°，求AE的长.（第21图）【答案】解:(1)∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC．(1分)在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE