多边形及其内角和知识点

#类型四：实际应用题曲a如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.解析：如图，总结升华：旋转的角度是指原来前进的方向与转弯后的方向的夹角•小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处，转过的角度都是360举一反三：【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m,又向右转15°,…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了m.【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB〃CF,CD〃AE.按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.思路点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540°，又由AB〃CF,CD〃AE,可知ZBAE+ZAEF+ZEFC=360°，从540°中减去80°再减去360°，剩下ZC的度数为100°，所以只需测ZC的度数即可，同理还可直接测ZA的度数.总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线类型五：镶嵌问题心05.分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。点正方形和正八边形；正三角形和正十二边形；正三角形、正方形和正六边形。思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60°、90°、120°、135°、150°。⑴因为90+2X135=360,所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图(1)所示。⑵因为60+2X150=360,所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图(2)所示。⑶因为60+2X90+120=360,所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形，如图(3)所示。总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是()A、①B、②C、③D、④解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是()A、4B、5C、6D、8【答案】A(提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2,然后用360°减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数)1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是()A.互为余角B.互为邻补角C.两个角相等D.外角大于内角TOC\o"1-5"\h\z2.若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是()A.九边形B.十边形C.十一边形D.十二边形3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为()A.6条B.7条C.8条D.9条随着多边形的边数n的增加，它的外角和()A.增加B.减小C.不变D.不定若多边形的外角和等于内角和的和，它的边数是()A.3B.4C.5D.7一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是()A.五边形B.八边形C.十边形D.十二边形一个多边形每个内角为108°，则这个多边形()A.四边形B,五边形C.六边形D.七边形8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为()A.180°B.360°C.720°D.1080°n边形的n个内角中锐角最多有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是()A.八边形B.九边形C.十边形D,十一边形多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数.n边形的内角和与外角和互比为13：2,求n.五边形ABCDE的各内角都相等，且AE=DE,AD〃CB吗？将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？四边形ABCD中，ZA+ZB=210°,ZC=4ZD.求：ZC或ZD的度数.在四边形ABCD中，AB=AC=AD,ZDAC=2ZBAC.求证：ZDBC=2ZBDC.

命题、定理、证明一、本节学习指导这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。因此命题可以写成“如果・,那么”的形式。3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。例：下列不是命题的是：（①②③⑤）.2008年奥运会的举办城是北京；例：下列不是命题的是：（①②③⑤）.2008年奥运会的举办城是北京；.如果一个三角形三边a,b,c满足a2=b2+c2，则这个三角形是直角三角形；•同角的补角相等；•过点P作直线I的垂线•要了解一批新型导弹的性能，采用抽样调查的方式•明天可能会下雪⑥，不是，可能代表不确定性，所以不能判断真假；二、知识要点1、命题、定理、证明⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。⑵命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。⑶公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。⑷定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断命题其他真假的依据，这样的命题叫定理。⑸证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。⑹证明的一般步骤根据题意，画出图形。根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过2、常用数学口诀.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。完全平方差公式：（a-b）2=a2-2ab+b2完全平方和公式：（a+b）2=a2+2ab+b2口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。证明知识点一证明的含义从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理得出结论。（2）证明的过程必须做到步步有据。知识点二命题的证明证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。知识点三折叠问题1、同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分在这条直线2、折叠的性质：折叠不改变图形的大小和形状，即折叠部分在折叠前后是全等的图形，满足公理“轴反射”知识点四反证法从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。反证法的关键在于反设所证命题的结论。适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。反证法证题步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论成立。例在AABC中，乙A、ZB、ZC是它的三个内角。求证：在ZA、ZB、ZC中不可能有两个直角。逆命题和逆定理1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。3、每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理。线段的垂直平分线1、定理：线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。2、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、线段垂直平分线可以看作和一条线段两个端点距离相等的点的集合。角的平分线1、角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。2、角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线所在的直线。3、角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。4、角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。5、角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。直角三角形全等的判定1、直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用。2、直角三角形全等的判定定理定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L.）。直角三角形的性质直角三角形的性质，可以从它的角、边以及特殊线段之间构成的各种关系的特征去理解。1、定理1：直角三角形的两个锐角互余。2、定理2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。。勾股定理1、在直角三角形中，斜边大于直角边。2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。4、勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用。两点的距离公式在直角坐标平面内：1、x轴或平行于x轴的直线上的两点P(x,y)，P(x,y)间的距离PP=lx-x|。11221211212、y轴或平行于y轴的直线上的两点Q/xj)，Q2(x,y2)间的距离QQ=|y-。3、在x轴上一点P(x,0)与在y轴上一点Q(0,y)之间的距离PQ=小+y2111111v114、任意两点A(x,y)，B(x,y)之间的距离公式是AB=y(x-x)2+(y-y)21122'1212练习TOC\o"1-5"\h\z1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是．2.命题“如果ZA=65°,ZB=25°，那么ZA与ZB互余”的逆命题是，它的逆命题是(填“真”或“假”)命题．3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是，结论是．写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。1、全等三角形的对应角相等；2、自然数必为有理数；3、若|a|=|b|，则a=b；4」a=b,则a3=b3；5、若x=a，则x2-(a+b)x+ab=0；解：1、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形。原命题为真命题，逆命题为假命题；2、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题；3、逆命题为：若a=b，贝U|a|=|b|。原命题为假命题，逆命题为真命题；4、逆命题为：若a3=b3，则a=b。原命题为为真命题，逆命题为真命题；5、逆命题为：若x2-(a+b)x+ab=0，则x=a。原命题为真命题，逆命题为假命题。练习．写出下列命题的逆命题．如果a+b>0,那么a>0,b>0.(2)如果a>0,那么a2>0.(3)等角的补角相等.(4)对顶角相等

例俩直线平行，内错角相等'的题设是L____，结论是它是命题练习命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是，结论是二、互逆命题1.扌既念互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。2.说明：(1)任何一命题都有逆命题它们互为逆命题“互逆'是IW命题之间的关系⑵把一个命题的题设和结论交换就得到它的逆命题原命题成立它的逆命题不一定成立反之亦然.例1.指出下列命题的题设和结论并写出它'的逆命题(1)两直线平亍，同旁内角互补补⑵直角三角形的两个锐角互余⑶对顶角相等(1)题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”.题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”.题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”.名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可.基础巩固题下列吾言是命题的是()A画两条相等的线段B.等于同■个角的两个角相等吗C.延线段AD到C,使OC=OAD两直线平亍，内错角相等下列命题中真命题的个数是()①已知直角三角形的面积为2,两直角边勺匕伪1：2,贝其斜边为!0；、②直角三角形的最大边长为^3，最J边长为1,贝另一边长为v2；③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40贝斜边长为41④等腰三角形的面积为12底边上勺高为4,贝腰长为5.A.1个B.2个c.3个D.4个下列命题的逆命题是真命题的是()A直角都相B.钝角都小于18(。C.如果x+尸Q那么x=^=OD对顶角相等下列说法中，正确的是()A—个定理的逆命题是正确的B.命题''如果x<0y>0那么xy〈”的逆命题是正碓的C.任何命题都有逆命题D.定&公理都应经过证明后才能用下列些真命题中，其逆命题也真的是()A全等三角形的施角相等B.两f图形关于轴对称贝这两f图形是全等形C.等边三角形是锐角三角形D.直角三角