2023-2024学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 （含解析）

第第页2023—2024学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习题（含解析）2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》

同步练习题（附答案）

一、单选题

1．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根和c分别为（）

A．1，2B．2，4C．4，8D．8，16

2．若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（）

A．3B．4C．5D．6

3．若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为()

A．(x-2)(x-3)B．(x+2)(x+3)C．(x+2)(x-3)D．(x-2)(x+3)

4．若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（）

A．B．3C．2或D．或1

5．已知关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根的差为2，则m=()

A．1B．-1C．1或-1D．0或1

6．如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（）

A．2022B．2023C．2029D．2030

7．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（）

A．3或﹣2B．﹣2C．3D．2或﹣3

8．若关于x的一元二次方程的两根构成直角三角形的两条直角边，该直角三角形的面积为24，则实数m值是（）

A．m=50B．m=24C．D．

二、填空题

9．若m、n是一元二次方程的两个根，则．

10．已知是一元二次方程的一个根，则m=，方程的另一个根是．

11．设是方程的两个实数根，则的值为．

12．若实数，满足的值为．

13．已知，（）是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为．

14．请写出一个两根分别为和，且二次项系数为的一元二次方程．

15．如果一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，那么这个矩形的周长是．

16．已知m，n是方程的两个根，则．

三、解答题

17．若，是方程的两实数根，求下列各式的值．

(1)；

(2)；

(3)．

18．已知关于的一元二次方程．

(1)求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根；

(2)设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值．

19．已知关于的一元二次方程．

(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．

20．已知关于x的一元二次方程的两个根为a，b．

(1)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值；

(2)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值．

21．已知关于的方程.

(1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根；

(2)若这个方程的两个实根、满足，求的值.

(3)当等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两根时，求的周长.

22．阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．

材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．

解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，

∴．

则．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；

(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；

(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．

参考答案

1．解：∵一元二次方程有一个根为2，设另一根为

∴

∴

故选C

2．解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根，

∴，m＋n＝4，

∴，

∴，

故选：A．

3．解：∵方程的根是2和3

∴，，

∴

∴．

故选：B．

4．解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

，

根据一元二次方程根与系数的关系可得，，

，

，即，

，

解得：或，

，

，

故选：B．

5．解：根据题意得：，

解得：，

设是一元二次方程的两根，

∴，

∵该方程的两个实数根的差为2，

∴，

∴，

∴，

解得：或-1．

故选：C

6．解：、是一元二次方程的两个实数根，

，，

，，

，

，

、是一元二次方程的两个实数根，

，，

原式

．

故选：D．

7．解：根据根与系数的关系得，

解得，，

当时，方程化为，此时方程没有实数解；

当时，方程化为，方程有两个实数解．

所以的值为．

故选：B．

8．解：设、是方程的两个根，

根据一元二次方程根与系数的关系，可知，

又∵该方程两根构成直角三角形的两条直角边，该直角三角形的面积为24，

即直角三角形面积，

∴，解得．

故选：D．

9．解：∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

10．解：设方程的另一个根为：，

∵

∴，

∴，

∴；

故答案为：，

11．解：∵是方程的两个实数根，

∴，

∴．

故答案为：．

12．解：，满足，，

当时，

，是方程的两根，

，，

；

当时，

原式．

综上所述：或．

故答案为：或．

13．解：∵m是一元二次方程的实数根，

∴，

∴，

∴，

∵m，n是一元二次方程的两个实数根，

∴，

∴．

故答案为：2022．

14．解：，

以和为两根且二次项系数为的一元二次方程为

故答案为：．

15．解：设矩形的长和宽分别为、，

∵一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，

∴，

∴矩形的周长为：．

故答案为：

16．解：∵m、n是方程的两根，

，，，，

，，

，

故答案为：．

17．（1）解：∵，是方程的两实数根，

∴，，

∴；

（2）；

（3）∵，是方程的两实数根，

∴，

∴，

∴．

18．解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，

∴，

∴，

∴无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根．

（2）∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

19．（1）证明：由题意得，

，

∴关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：设方程的两个根分别为，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得，

又∵，

∴．

20．（1）解：（1）由一元二次方程根与系数的关系得：，

a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，

，

，

解得：；

（2）a，b分别为矩形的两条对角线的长，

，即一元二次方程有两个相等的实数根，

，

，

即，

解方程得：，（不合题意，舍去）

m的值为6．

21．（1）证明：方程整理成一般形式为，

，

∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵、是这个方程的两个实根，

∴，，

∵，

∴，

解得：或；

（3）解：当时，，

即，

解得：，

此时，

∵，

∴此时不能构成三角形；

当两边长b、c有一边是4时，，

解得：，

关于x的方程即，

解得：或，

等腰的三边长为2