广东省梅州市五华县黎塘初级中学2022-2023学年下学期八年级期中数学试卷

五华县黎塘初级中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．长方形的四个角都是直角 D．四边形的稳定性4．（3分）不等式2x+1≥x的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE6．（3分）关于x的方程x﹣4＝﹣2a解为正数，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜1 D．a＞07．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B． C．4 D．68．（3分）如图，在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10．分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线EF，分别交BC、AB于点M、N，连接CN，则△CMN的面积为（）A．12 B．6 C．7.5 D．159．（3分）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（）A． B． C． D．10．（3分）△ABC的三边AB、BC、CA长分别是15、20、25，其三条角平分线相交于O点，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）代数式有意义，则x的取值范围是．12．（4分）等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为．13．（4分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣2，3），（3，﹣4），将线段AB平移后，点A的对应点的坐标为（﹣3，﹣2），则点B的对应点的坐标为．14．（4分）如图，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA'的度数是．15．（4分）直线l1：y＝kx与直线l2：y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图，则关于x的不等式ax+b＞kx的解集为．16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝5，对角线AC⊥CD，则线段CD的长为．17．（4分）将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则2021个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为．三．解答题（共8小题，满分62分）18．（6分）计算：．19．（6分）化简求值：（+1）•，其中x＝1．20．（6分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE．求证：BE＝CD．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用尺规作∠BAC的平分线，交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AC＝3，AB＝5，求AB边上的高的长度．22．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AF的长．23．（8分）某公司计划从商店购买同一品牌的毛巾和同一品牌的香皂，已知购买一条毛巾比购买一块香皂多用20元，若用400元购买毛巾，用160元购买香皂，则购买毛巾的条数是购买香皂块数的一半．（1）购买一条该品牌毛巾、一块该品牌香皂各需要多少元？（2）经商谈，商店给予该公司购买一条该品牌毛巾赠送一块该品牌香皂的优惠，如果该公司需要香皂的块数是毛巾条数的2倍还多8个，且该公司购买毛巾和香皂的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少条该品牌毛巾？24．（10分）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：．25．（10分）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝°．（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．①连接CP，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②连接CA′，若A′，C，P三点共线，BP＝10，CP＝1，求CA′的长．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．2．解：A选项，当a＞0，，故错误，不符合题意；B选项，所以正确，符合题意；C选项，当a＜0时，，所以错误，不符合题意；D选项，所以错误，不符合题意；故选：B．3．解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．故选：B．4．解：∵2x+1≥x，∴2x﹣x≥﹣1，则x≥﹣1，故选：B．5．解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∴∠ADC＝∠BFE＝90°，∵CD＝EF，∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．故选：D．6．解：方程x﹣4＝﹣2a，解得：x＝4﹣2a，∵方程的解为正数，∴4﹣2a＞0，解得：a＜2．故选：A．7．解：由题意可得，大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，故选：A．8．解：由作法得MN垂直平分BC，∴NB＝NC，CM＝BM＝BC＝3，MN⊥BC，∴∠B＝∠NCB，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∠NCB+∠NCA＝90°，∴∠A＝∠NCA，∴NC＝NA，∴NC＝AB＝5，在Rt△CMN中，MN＝＝＝4，∴△CMN的面积＝CM•MN＝×3×4＝6．故选：B．9．解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，∴k＜0，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；∵kb＞0，∴b＜0，∴图象与y轴的交点在x轴下方，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．故选：B．10．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵三条角平分线相交于O点，∴OE＝OF＝OD，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别是15、20、25，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝3：4：5，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．解：∵有意义，∴x+1≥0且x﹣2≠0，∴x≥﹣1且x≠2，故答案为：x≥﹣1且x≠2．12．解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为40°，当这个角是底角时，则顶角的度数180°﹣40°×2＝100°，故其顶角的度数为100°或40°．故填100°或40°．13．解：∵A（﹣2，3）平移后得到点A′的坐标为（﹣3，﹣2），∴向左平移了1个单位，向下平移了5个单位，∴B（3，﹣4）的对应点坐标为（3﹣1，﹣4﹣5），即（2，﹣9）．故答案为：（2，﹣9）．14．解：∵将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C，∴∠BCB'＝50°，∠A＝∠A'＝40°，∵∠B'＝110°，∴∠A'CB'＝180°﹣∠B'﹣∠A'＝30°，∴∠BCA'＝∠BCB'+∠A'CB'＝50°+30°＝80°，故答案为：80°．15．解：从图象可看出当x＜1，直线l2的图象在直线l1的上方，不等式ax+b＞kx．故答案为：x＜1．16．解：作BE⊥AC于点E，如图所示，则∠BEA＝90°，∵AB＝BC＝AD＝5，∴点E为AC的中点，∴AE＝CE，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠D＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°，∴∠BAE＝∠D，又∵AB＝AD，∠BEA＝∠ACD＝90°，∴△BAE≌△ADC（AAS），∴AE＝DC，∴AC＝2AE＝2CD，设CD＝x，则AC＝2x，∵AD＝5，∠ACD＝90°，∴x2+（2x）2＝52，解得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），即CD＝，故答案为：．17．解：作A1E⊥A2G于E，A1F⊥A2H于F．则∠FA1E＝∠HA1G＝90°，∴∠FA1H＝∠GA1E，在△A1HF和△A1GE中，，∴△A1HF≌△A1GE（ASA），∴四边形A2HA1G的面积＝四边形A1EA2F的面积＝×4＝1，同理，各个重合部分的面积都是1，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为1×（n﹣1）＝n﹣1，∴2021个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：2021﹣1＝2020．故答案为：2020．三．解答题（共8小题，满分62分）18．解：原式＝3﹣（﹣2）+3﹣2＝3+2+3﹣2＝6．19．解：原式＝•＝•＝，当x＝1时，原式＝1．20．证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴BE＝CD．21．解：（1）如图，AP即为所求作的角平分线．（2）在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴，∵S△ABC＝，∴3×4＝5×高，解得AB边上的高的长度为．22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC＝DE．∴四边形CDEF是菱形；（2）解：如图，连接GF，∵四边形CDEF是菱形，∴CF＝CD＝5，∵BC＝3，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1．23．解：（1）设购买一块该品牌香皂需要x元，则购买一条该品牌毛巾需要（x+20）元，根据题意得：，解得：x＝5，经检验，x＝5是所列方程的解，其符合题意，∴x+20＝5+20＝25．答：购买一条该品牌毛巾需要25元，一块该品牌香皂需要5元．（2）设该公司可购买m条该品牌毛巾，则购买（2m+8）块该品牌香皂，根据题意得：25m+5（2m+8﹣m）≤670，解得：m≤21，∴m的最大值为21．答：该公司最多可购买21条该品牌毛巾．24．解：（1）图1剩余部分的面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴21＝（a+b）×3，∴a+b＝7；②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）×…×（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠CBD＝α，∴∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，∴∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣2α，∵α＝15°，∴∠CBA'＝60°﹣2×15°＝30°，故答案为：30；（2）①BP＝AP+CP，理由如下：如图1，连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，∵∠DAP＝∠DBC＝α，∴△BP'C≌△APC（SAS），∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，∴∠PCP'＝∠ACP+ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠A