水准网的条件平差

云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文目录TOC\o"1-5"\h\z目录 1\o"CurrentDocument"观测误差 2摘要： 2关键词： 2\o"CurrentDocument"引言 3\o"CurrentDocument"1水准测量 4\o"CurrentDocument"水准测量的原理 4\o"CurrentDocument"水准网 5\o"CurrentDocument"2条件平差 6\o"CurrentDocument"2。1衡量精度的指标 6\o"CurrentDocument"2。2条件平差的原理 8\o"CurrentDocument"3水准网的平差 14\o"CurrentDocument"3.1必要观测与多余观测 14\o"CurrentDocument"3。2条件方程 14\o"CurrentDocument"3。3条件平差法方程式 15\o"CurrentDocument"3.4条件平差的精度评定 15\o"CurrentDocument"3。5水准网的条件平差 18\o"CurrentDocument"致谢 21\o"CurrentDocument"参考文献 21云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文观测误差一由观测者、外界环境引起的偶然误差学生：xxx指导教师：xxx摘要：对一系列带有偶然误差的观测值，采用合理的的方法消除它们间的不符值，得出未知量的最可靠值；以及评定测量成果的精度.关键词：偶然误差；观测值；精度云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文引言测量工作中，要确定地面点的空间位置，就必须进行高程测量，确定地面点的高程。几何水准测量是高程测量中最基本、最精密的一种方法。通过测量仪器，工具等任何手段获得的以数字形式表示的空间信息，即观测量。然而，测量是一个有变化的过程，受仪器、观测值、外界环境因素的影响，观测的结果与客观上存在的一个能反映其真正大小的数值,即真值（理论值），有一定的差异。可以说在测量中产生误差是不可避免的.所以，观测值不能准确得到，在测量上称这种差异为观测误差。根据其对观测结果影响的性质，可将误差分为系统误差和偶然误差两种。前者可以通过在观测过程中采取一定的措施和在观测结果中加入改正数，消除或减弱它的影响，使其达到忽略不计的程度。但是，观测结果中，不可避免地包含了后者,它是不可消除的，但可以选择较好的观测条件或采用适当的数据处理方法减弱它。现在我们要讨论的就是采用适当的数据处理方法来减弱其对水准测量中的影响。云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文11水准测量1。1水准测量的原理1。1.1水准测量的基本原理水准测量是利用水准仪提供的水平视线在水准尺上读数，直接测定店面上两点的高差，然后根据已知点高程及测得的高差来推算待定点的高程。如图1—1。1水准测量的原理1。1.1水准测量的基本原理水准测量是利用水准仪提供的水平视线在水准尺上读数，直接测定店面上两点的高差，然后根据已知点高程及测得的高差来推算待定点的高程。如图1—1所示，地面上有A，B两点，设A为已知点，其高程为HA，B为待定点.在AB两点中间安置一台能够提供水平视线的仪器一水准仪，在两点上分别竖立带有刻划的标尺-水准尺，当水准仪提供水平视线时，分别读取A点上水准尺的读数a和B电商水准尺的读数b，则A，B两点的高差为hAB=a-b有了AB两点间的高差hA后，就可由已知点A的高程HA推算待定点B的高程Hb。B点高程为Hb=Ha+hAB=HA+（a-b）在测量中还有一种应用较为广泛的计算方法，即由视线高程计算B的高程。如图1—1可知A点的高程加上后视读数a等于水准仪的视线高，一般用Hi表示H.=Ha+a则B点高程Hb=Hi-b=（Ha+a）-b但是，不管采用那一种方法都需要求得两点的高差，再进行平差计算。1。1。2水准测量的测段当一已知点与待定点间相距不远、高差不大，且无视线遮挡时，只需安置一次水准仪就可测得两点间的高差。但在实际工作中，已知点到待定点之间的距离往往较远或高差较大，仅安置一次仪器不可能测得两点间的高差，此时，可以进行分段测量，云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文画1-2水椎测量的画1-2水椎测量的测没如图1—2所示，根据水准测量的原理，可以看出每站的高差为hn=an—bn将上述格式相加，即得4B两点间的高差hAB=h1+h2+.一+h或写成hAB=(ai-b)+Q2-b2)+・・•+(%-G=(ai+a2+,•,+an)-(b1+b2+.・.+b)=Za—2bii1.2水准网1.2.1水准点通过水准测量的方法测定其高程的的控制点称为水准点（Benchmark,简称BM）。一般分为永久性和临时性两大类。永久性的水准点是在控制点处设立永久性的水准点标石，标石埋设于地下一定深度，也可以将标志直接灌注在坚硬的的岩石层上或坚固的永久性的建筑物上，以保证水准点能够稳固安全、长久保存以及便于观测使用。1。2。2水准线路云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文根据已知水准点的分布情况，单一水准路线布设形式有三种，即附合水准路线、闭合水准路线、支水准路线.如图1—3所示。（1）附合水准路线。从一已知高程水准点出发,经过各待测水准点进行水准测量，最后附合到另一已知高程水准点所构成的水准路线，称为附合水准路线。（2）闭合水准路线。从一已知高程水准点出发，经过各待测水准点进行水准测量，最后仍回到原已知点高程水准点上，所构成的环形水准路线称为闭合水准路线。（3）支水准路线。从一已知高程水准TOC\o"1-5"\h\z点出发，经过各待测水准点进行水准测量， 一.—其路线既不闭合回原已知高程水准点上， J-A〜也不附合到另一个已知高程水准点。4J LIRI 7、1.2。3水准网形式水准网是由若干条单一水准路线相互连接构成的结点或网状.只有一个高程点的称为独立水准网，如图1-4（b）所示;有3个以上高程点的称为附合网，如图1-4（a）示.2条件平差2。1衡量精度的指标2.1.1精度的含义在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定不变的误差分布.如果分布较为密集，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高;反之,如果分布较为离散，则表示改组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。因此，所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度.倘若两组观测成果的误差分布相同，变时两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。在测条件行的一由于它同一种支水准路妖相同观下所进组观测,对应着误差分

在测条件行的一由于它同一种支水准路妖云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文布,因此对于这一组中的每一个观测值，都成为是同精度观测值.2。1。1衡量精度的指标前已提及，精度是指一组误差分布的密集或离散的程度。分布愈密集，则表示在该组误差中，绝对值较小的误差所占的相对个数愈大。在这种情况下，该组误差绝对值的平均值一定小.由此可见,精度虽然不是代表个别误差的大小，但是，它与这一组误差绝对值的平均大小显然有着直接关系。因此，用一组误差的平均大小作为衡量精度高低的指标，是完全合理的。用一组误差的平均大小作为衡量精度的指标，可有多种不同的定义，下面介绍几种常用的精度指标。2。1.1.1方差与中误差设有一组同精度的独立观测值，其相应的一组真误差为A1，A2，…，An，定义这组独立误差平方的平均值的极限为改组观测值的方差，用。2表示，即[aa]o2=lim 、nnf8方差的算术平方根称为中误差，用。表示，测量中也常用m表示，即时o=lim। nf81n上述方差及中误差都是在nf8的情况下定义的，但在实际工作中，观测次数不能无限多，总是有限的，一般只能得到方差和中误差的估计值,即[aa]o2二 n，1。2极限误差在观测成果中不能含有粗差。那么，就引入一个判定标准，超过这个标准的误差就列入粗差.相应的观测值就予以剔除或返工重测，这个标准就是极限误差，所谓极限误差就是最大误差.在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值,这个界值就是所说的极限误差。一般规定极限误差的根据是误差出现在某一范围内的概率的大小。由于大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有0。3%,是小概率事件，在一次观测中，可认为是不可能发生的事件.因此可规定三倍中误差为极限误差，即A限=3o若对观测要求较严，也可规定两倍中误差为极限误差，即云南旅游职业学院专科毕业(设计)论文A限=2。一般极限误差有具体要求。2。1。1。3相对误差有时，单靠中误差还不能完全表达观测质量的好坏，例如，在同一观测条件下，用尺子丈量了两段距离，一段为500m，一段为1000m，这两段距离的中误差均为2。0cm,虽然二者中误差相同，但由于不同的距离长度，丈量的尺段数不同，就同一单位长度而言，二者精度并不相同。显然，后者的单位长度的精度比前者高.这种衡量单位长度的精度叫做相对精度。相对精度包括相对真误差、相对中误差、相对极限误差，它们分别是真误差、中误差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数，在测量中将分子化为1，分母化为整数N，即用1表示。N2.2条件平差的原理2.2.1测量平差方法概述1.1平差的目的为了提高观测精度和避免差错，对要观测的量值的观测次数总是要比必要观测次数要多。例如，要确定三角形的形状，由几何平面知识可知，只需测定其中任意两个角度就行了.对这样两个角度的观测，称为必要观测,通常以方表示。但是为了提高观测精度和避免差错，通常也对第三个内角进行观测，相对于必要观测，对第三个内角的观测，就称为多余观测，以厂表示。设观测总数为n，则有r=n-t按上式计算，单三角形的多余观测数r=n-1=3-2=1。由于总是要进行多余观测，而观测中不可避免地要产生随机误差，于是观测值之间就会出现矛盾，即三角形3个内角的观测值L1、L2、L3之和不等于180°，这就产生了三角形闭合差，以w表示，亦即w=(L1+L2+LJ-180。因而,必须对观测值Li(i=1,2,3)进行改正，即在观测值中加入改正数，，求出改成后的观测值，即平差值Li，只有经过闭合差改正后的平差值才能满足要求.测量平差的目的就是根据最小二乘法原理，正确地消除各观测值之间的矛盾,合理地分配误差，求出观测值及其函数的最或是值，同时评定测量结果的精度。8云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文1。2平差的基本方法根据实际需要的各种不同情况，测量平差方法繁多，我们主要讨论条件平差。条件平差就是根据条件方程式按最小二乘法原理求观测值的最或是值。2。2.1.3起算数据为了确定1个网的大小和位置所必须的已知数据,称为必要起算数据。1个三角网的必要起算数据有4个，即1条一直边长，1条边的已知坐标方位角和1个点的纵、横坐标（或者2个已知点的纵、横坐标）。对于测边网和边角网来说，应有3个起算数据，才能确定网的位置、方位和大小。因此，测边网与边角网的必要起算数据是3个，即1个点的纵、横坐标和1条边的坐标方位角。高程控制网中必要的起算数据是1个已知点的高程.按照起算数据的不同，控制网可分为独立网和非独立网（附合网）两种基本类型。等于或少于必要起算数据的网称为独立网；多余必要起算数据的网称为非独立网.2条件平差的原理TOC\o"1-5"\h\z由于有多余观测，而观测量之间又受到几何•；.. .. ： ■上或物理上的约束，形成了一定的条件；又因为 ・ , ・ •:观测值存在误差，所以观测值不能满足条件而产 图-生闭合差。条件平差就是要根据观测元素之间所构成的条件，按最小二乘法原理求得各观测值的最或然值，以消除因多余观测而产生的不符值,并做出相应的精度评定。2。1条件平差概述如图2-1中，设HA为A点的已知高程，为了确定B、C两点的高程，只要观测两个高差就够了，即必要观测数为t=2，而图中按箭头方向观测了h1、h2、h3三个高差，则n=3，因为有了多余观测（r=1），所以在观测高差的最或是值h「h2、h3之间产生了一个条件,即4+h2+h3=0称为平差值条件方程。因观测量的最或是值等于观测值加改正数,即h1+v1+h2+v2+h3+匕=0由于观测存在误差，所以有9

云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文h1+h2+h3=%综上h1+h2+h3+wh=0 （2-1）式中，V.为条件方程的未知数（改正数）；典为条件方程的自由项（闭合差）.式（2-1）便是改正数条件方程。在平差问题中，若有n个观测值七时，就会有n个改正数匕；有r个多余观测值时，就有r个条件方程.2.2。2.2条件平差原理我们先定义下列符号：设有n个观测值为 L1，L2，…，L3平差值（最或是值）为 L1,L2，…，L3相应的权为 P1，P2，•…P3条件方程的常数项为 a0,b0，…，r0观测值的改正数为 V1,V2，…，Vn条件方程闭合差为 “，吗，…，吗为了推证简便，设多余观测r=3，则有三个平差值条件方程为(2-2)a1L1+a2L2+…+a3L3+an(2-2)b1L1+b2L2+-+b3L3+bn=0■01L1+c2L2+…+C3L3+Cn=0随着具体问题的不同，平差值条件方程有线性形式,也有非线性形式.下面在进行推导公式时，是建设全部条件均为线性形式。因为L.=L.+V.g1,2…n)，所以式(2-2)可写成a1(L1+V1)+a2(L2+V2)+.・・+an(Ln+Vn)+%=0，b(L+v)+b(L+v)+.••+b(L+v)+b=0. (2-3)1 1 1 2 2 2 nnn0C1(L1+V1)+C2(L2+V2)+.・・+cn(Ln+Vn)+c0=0由于a1L1+a2L2+…+anLn+册=wa10

（2（2-4）b1L1+b2L2+…+bnLn+b0="JL1+C2L2+…+CnLn+c0=叫将上式代入式（2-3），得a1Vl+a2v2+ +anvn+wa=0]b1V1+b2v2+,•・+bVn+w,=0j （2-5）C1V1+C2V2+ +cnvn+wc=0J式（2-5）即为有n个未知数匕的条件方程。设A表示条件方程组的系数矩阵；V表示最或是值改正数矩阵;rxn nx1w表示条件方程组的闭合差矩阵；L为观测值矩阵；4为条件方程的常数矩1,rx1 nx1 rx1阵。a1a2L1V1A0rx1b1r1rx1a1a2L1V1A0rx1b1r1rx1nx1nx1nV2wbA0rx1L1」a0n0」b0则式（2-4）、式（2-5）可用矩阵表达成：AV+W=0 （2-6）rxnnx1rx1rx1W=AL+A0

rx1rxnnx1rx1因为条件方程的个数等于多余观测数，而多余观测数只是观测量总数n的一部分,所以未知数V的数目总是大于条件方程的数目，即n>r，故式（2-6）的解不唯一。而我们所需要的是其中能使[pvv]=min惟一的一组v值。为了求得一组既能满足条件方程（2-6）,而又能使[pvv]=最小的v值，可采用数学中求条件极值的原理。为此组成新函数11

云南旅游职业学院专科毕业(设计)论文二(pV2+pV2H FpV2)—2k(av+av+•・•+av+wTOC\o"1-5"\h\za/11 22 na a、(2—7)—2k(bv+bv+•••+bv(2—7)—2k(rv+rv+•••+rv+w)为求新函数中的极值,对式(2—7)中的各个变量匕求一阶偏导数，并令其等于零。于是有 ‘。①一二2pv—2ak—2bk 2rk=01Qv 11 1a1b 1r-2py—2ak—2bk 2rk-0(2—8)。①--2pjj2a1k_2b1kb 2r1k=01由上式可解得惟组v值由上式可解得惟v二——(ak+bkH +rk)v--(ak+bkH +rk)式(2—9式(2—9)称为改正数方程.vavi—」一(ak+bkH +rk)二」一(ak+bkH +rk)Pi设观测值的权阵P为axn的对角阵，又联系数矩阵K=(kakb(2—7)可用矩阵表示为 a"(2—9)k),则式①-VtPV—2Kt(AV+W)为求新函数中的极值，对上式变量V求一阶偏导数，并令其为零.则d①d(VtPV)d(—2Kt(AV+W))而 dV-+ dV按规则求导得d①-2VtP—2KtA-0dV12

云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文VtP—KtA=0或KtA=VtP两边同时转置得（ktA）r=（VtP）pv=atk对上式等号两边同时左乘p-1则有P-1^V=P-1Atk因P-1P=E,故有（2-10）V=P-1A（2-10）nx1 nxn n义rrx1其中1

p1其中1

p10P-1二P-1二nxn •01

p2*00是P的逆矩阵，也是观测值的权倒数阵。00式（2-10）就是改正数方程的矩阵形式.将（2-10）代入式（2-6）可得法方程矩阵表达式AP-1AtK+W=0 （2-11）nxrnxnnxrrx1rx1设N=AP-1Atrxrrxnnxnnxr则式（2-11）可表示为NK+W=0 （2-12）rxrrx1rx1W=al+a0rx1rxnnx1rx1式中，N为法方程组的系数矩阵。将式（2-12）左乘N-1,可得K=-N-1W13云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文2。2。2条件平差求平差值的步骤及示例综合上述内容，按条件平差求平差值的计算步骤如下归纳：（1）根据平差的具体问题，确定条件方程的个数，列出条件方程式，且个数等于多余观测数r。（2）根据条件方程式的系数、闭合差及观测值的权组成法方程,法方程的个数等于多余观测数r。（3）解算法方程,求出联系数k值。（4）将k代入改正数方程求改正数p，并计算平差值Li=Li+匕。（5）用平差值检核平差计算结果的正确性。3水准网的平差3。1必要观测与多余观测为确定网中位置而必须观测的观测个数为必要观测,通常用方表示。凡超过必要观测数的观测数，相对于必要观测而言，就称为多余观测，通常用r表示。3。1.1水准网对有已知点的水准网,要确定一个待定点的高程必须要观测一段高差,所以,水准网中的必要观测数即为网中待定点的个数。若水准网中有待定点p，则其必要观测数t=p，多余观测数r二n-p.对于无已知点的水准网,其目的是确定水准点之间的相对位置关系，必要观测数等于未知点数减1,即看二p-1。3.2条件方程3。2.1条件方程列立原则条件方程列立的原则：（1）条件方程应足数，即条件方程个数等于多余观测数,不能多，也不能少。（2）条件方程式之间函数独立。（3）在确保条件总数不变的前提下,有些条件可以相互替换,因而可以选择形式简单、便于计算的条件来代替那些较为复杂的条件。3。2。2水准网条件方程14

云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文水准网的条件方程比较简单，只要列出水准闭合路线或者附合路线的平差值方程式，就很容易转换得到条件方程了。3.3条件平差法方程式法方程的系数由条件方程系数和观测值的权组成。法方程的常数项就是条件方程的常数项.联系数k的个数由条件数确定。3。3。1法方程式的组成以一般形式来讨论,设某平差问题有三个条件方程，共有n个改正数匕,V2，…，vn，观测值的权为P1,P2，…,匕，根据式（2-5），其条件方程为a1v1+a2v2H banvn+町=0b1v1+b2v2+ +bvn+wb=0}c1v1+c2v2+ +cnvn+wc-0，式中，a,，bi，4是条件方程的系数（i-1,2,…，n）。法方程的系数可直接根据式（2-11）用矩阵乘法组成。这时，法方程的矩阵表达式为AP-1AtK+W-0TOC\o"1-5"\h\z3xnnxnnx33x1 3x1 3x1其分量形式可写成1P1a1b1a1b1nb …b2 nc … c2 3」3.4条件平差的精度评定单位权中误差的计算15

云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文由于计算的难易程度不同，所以只讨论相对计算量程度较易的方法。单位权中误差的计算公式为■LpvvJVtPV。0二、飞丁(1)用改正数，直接计算匕=p(a+bkb+--+rkr)(2)用矩阵求LpvvJ 'LpvvJ=VtPV=VtPP-1AtK=VtAtK=(AV>=-WtK或LpvvJ=VtPV=(P-1AtK}PP-iAtK=KtAP-iAtK=KtNK

aaN=AP-1Ataa平差函数的中误差在进行精度评定时，出了计算观测值中误差外，还要计算平差值函数的中误差。这里只讨论平差值函数线性形式。.4.2.1平差值函数的权倒数设平差值线性函数的一般形式为F=华+于2L2+…+/J/0式中，f为平差值L的系数；f为不包含误差的常数项。0为了将平差值函数F逐步化为独立观测值的函数，现将L.=Li+匕代入上式，得F=fL1+f2L2+•••+fnLn+f0+fv1+f2v2+•••+fvn令f=nx1f1f2fnLJ“ LL=，nx1 ,LnVVV1I2Vn16云南旅游职业学院专科毕业（设计）论文则平差值函数式可写成F=frL+frV+f

0把上式中的V化为联系数K的函数,将V=P-1ATK代入上式,则F=frL+fTP-iAtK+f0又将K=-N-iW代入上式，则有F=frL-frP-iAtN-1W+f0因为W=AL+A0,则F=frL-frP-iAtN-i(AL+A0)+f0=fr-frP-iAtN-iAL一frP-iAtN-iA十f'ixn ixnnxnnxrr义rrxn^nxi(2-13)式中，f、A、A0、f都是与观测值无关的常数。0 0至此，已将平差值函数F化为独立观测值L的函数。为了便于计算，令（\Tq=-[frP-iAtN-1J=-N-iAP-if两边同时左乘N并移项得Nq+AP-if=0(2-14)将式(2-1冷代入式(2-13)得F=(fr+qrA)L+qrA0+f=(f+Arq>L+qrA0+f根据协因数传播律可得平差值函数的权倒数为—=(f+At)P-i(f+Arq) (2-15)=frP-if+(AP-if\q3。4。2。2平差值函数的中误差根据权与中误差的关系有17云南旅游职业学院专科毕业(设计)论文(2-16)式(2-16)式(2-16)便是求平差值函数的中误差公式.综上所述，求平差值函数的中误差的计算步骤可归纳如下.(1)列平差值函数式。(2)求平差值函数的权倒数.(3)求平差值函数的中误差。平差值的中误差当平差值函数式中，只有一个平差值4，且系数为+1时,则平差值函数为F=Li,它就是平差值了，因此，平差值是平差值函数的特例，所以，求平差值的中误差，仍可以应用求平差值函数中误差的公式。3。5水准网的条件平差如图4-1所示的水准网中，A及B为已知高程的水准点，C、D、E为待定点，观测数据和已知数据见表4-1,按条件平差求：(1)各待定点的最或是值；2)C至D点间平差后高差的中误差。线路观测高差(m)线路长(km)已知点高程(m)线路观测高差(m)路线长(km)已知点高程(m)1+1。3591。1HA=5.0165+0。6572.42+2.0091。7HB=6.0166+0。2381。43+0。3632.37-0.5952.64+1。0122。7解：本题n=7，t=3，故有条件r=n-t=4。(1)列条件方程和平差值函数式。18云南旅游职业学院专科毕业(设计)论文v-v+v+7=0(a)]v-v+v+8=0(b)v+v+v+6=0Q)v—v—3=0(d)条件方程闭合差以毫米(mm)为单位。平差值函数式为于5=+1，f=f