2021年中考数学综合题冲刺30 三角形综合练习（基础）（含答案及解析）

专题30三角形综合练习(基础)

•-Ak'•一9r"・一'"・

***J1-

1.如图，在四边形42CZ)中，AB=CD,AD^BC,。为AC的中点，过点。作直线.

(1)若直线与A。、BC分别相交于点£、F,如图①，则AE与CF有何数量关系？请说明理由.

.(2)若直线与A/入CB的延长线分别相交于点E、F,如图②，则(1)中AE与C尸的关系成立吗？

(3)若直线与D4、8c的延长线分别相交于点E,F,如图③，则(1)中AE与CF的关系还成立吗？

请说明理由.

【分析】(1)先判断出四边形A8C。是平行四边形，即可得出/AEO=/CFO,即.可判断出△AOE^A

COF,即可得出结论；

(2)同(1)的方法即可得出结论；

■(3)同(「)的方法，即可得出结论..一•..V•・-

【解答】解：(1),AE=CF,、二，、'•.、

理由：a：AB=CD,AD=BC,

・•・四边形ABCD是平彳亍四边形，

：.AD//BC,

JUAEO=NCFO,

；。为AC.的中点，

：.OA=OC,'

'(ZAEO=NCFO

在△AOE和△CO/中，\^AOE=^COF，

(0A=OC

：.AAOf^ACOF,

：.AE=CF；"

(2)(1)中AE与CP的关系仍然成立，理由：洞(1)'的方法；,，*/..

(3)(1)中AE与CF的关系仍然成立，理由：同(1)的方法；

[***-j?ji»♦—•■\.»■

【点评】此题谑之角形的综合题，主要考着？平行四边形的判定和在质：全等三角形的判定和在成，解

本就的关键是判断出Z4E0=/CF。，是一道简单的中看常考题.

*«

2.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BC=a，点、D是BC上一动点、(不与点8、C)重合，Z

1

BDE=3/C,BEA.DE.

L

♦*，A♦A/*—

(l)求NAFD的度数；

・上、、•二''•.1*1•1'

BE

(2)在点。运动过程中，二的值是否为定值？说明理由.

DF

/**

1

(3)当C£＞=《BC时，连结AO,△ABD三边上分别有动点P、M、N,(点P在BO上)，当△PMN的

周长取最小值时，求AP的长.

41

【分析】(1)先由等腰直角三角形的性质得NA8C=/C=45°,则NBCE=^NC=22.5°,再由三角形

的外角性质求解即用'-・'■-V--

，(2)过点D作AC的平行线，交ABTG,'交BE的延长线于H,先证入SDG是等腰直角三角形，得BG

=GD,ZBDH=45°,再证£)8=0"，得BE=EH,然后证△B”G丝△OFG(AAS),・得QF=8H±28E,

,，■■・

即可得出餐案；

(3)分别彳乍点产关于4£＞、48的对称点P\尸“，连接""，分别‘交A3、AO于M、N,由对称的性质得：

PM=P"M,PN=PN,AP=AP^AP",ZP'AD=ZPAD,NP"A8=则△PMN的周长=P'P"，上

PAP”=2N54。为定值，△APT是顶角为定值的等腰三角形，当AP_L8C时，AP最短，即腰长最小，

则‘P'P”最短，即可得出结论..

【解答]解：＜1),：AB=AC,/BAC=90°,

.•.△ABC是等腰直角三角形，--

.'.ZABC=ZC=45：,.*

1

AZBDE=4ZO=22.5°,/z‘-"S'

ZAFD=ZABC+ZBDE=45°+22.5°=67.5°；

(2)在点。运动过程中，空的值是蔻值，理由如下：

过点。作AC的举行线，交A8于G，交BE的延长线于，，如图1所示：

'：GD//AC,

.•./8GO=/B4C=g（T,

IK*.-9^**■*

・・・△BOG是等哆直角二角形，

:.BG=GD,ZBDH=45°,.

:./EDH=450-ZBDE=45°-22.5°=22.不,

?./BDE=NED”上22.5.；

・；BH人DE,f，..

:./H=/DBH=675°,

:・DB=DH,

三.BE=EH,--.v，

又•・•/"=/A8£=67.5。,•工,,・）、,•）、

:./H二ZAFD,

蛾,•>.1

:.ABHGdDFG（A4S）,

：.DF=BH=2BE,

..BE1

---=一;

DF2

，'⑶当CL>=*C=%时J△4B£>为锐角TM形，,,।

分期作点P关于A/XY8的疥称点P'、P",连接PF,芬别交48、AO于M、N,5图2所示：

由对称的性质得：PM=P"M,PN=P'N,AP'=AP=AP',ZP'AD=ZPAD,ZP,'AB=ZPAB,

则APMN的周长=PM+MN+PN=P"M+MN+P'N=PF",ZP'AP"^2ZBAD为定值，AAPP”是顶角为定

诡的等腰三角牛彳*

当腰长越小.产底边长也越小，

当XHLBC时，4P其建，即腰长最小，,

.•.PP"最短；

即/\PMN的周长最小，此时AP=*C=1a.

*LL

【点评】本题是4角形综合题目，考查「全簧三角形的判定与性质、等产直角三角形的判定与性谏、等

>.•A>•JL*>,

腰三角形的判定与性质、平行线的性质、轴对称的性质、最小值问题等知识；本题综合性强，有一定难

度，熟练掌握全等三跨形的判定与性质、.等腰三箔形的判定与性质是解题防关键，属于中考常考题型”

3.将两个全等的等边三角形△48。和△BC。按如图所示放置，AB=2,E是边AD上的一个动点，将射线

8E绕点8顺时针旋转60°,交。C于点立

(1)判断△8EF的通状，并说明理由.

'.•-•.•-•

(2)设△8EF的面积为S,求S的取值范围.

(3)当aBE尸的面积最小值，在BE上是否存在点P,使。P+8P+AP最小？若存在，求出OP+BP+AP

6/t***t•

的最小值；若不存在，请说明理由.

R

【分析】0)结论：△BEF是等边三角'形.由AEBD迫△FBC,显出BE=BF,由NE"=60°,推出△

防F是等边二箱形：

■■■■

(2))①当点E与4r重合时，△8EF与△A£>3重合，.此时得到ABE尸面积的最大值.②当8E_LA£>除

得到aBE尸面积的最小值，，求出最大值以及最小值即可解决问题；.)、,.，、

(3)存在.如图，将△AB。沿A8翻折得到△AB。’，E的对应点为E'.易知:用+PZ)+?B=AP'+PD+PP'

=P'D'+PP'+PD,属于当D、P、P'、»共线时，勿+P0+P2最小，最小值为线段”>'的长：

-

【解答】解：（1?结论：尸是等边三角形.

理由：•••△A3D痈△BCD会是等边三角弦,.

：.AB=BD=.BC,NEDB=NC=60°,

♦/EBF=2DBC=60。,

：・4EBD三NFBC,^・■

在△仍。和△FBC吊，

BD=BC

乙EBD=dBC,

、，EBD=Z-FBC

:;丛EBD9.AFBC,

：.BE=BF,.

VZEBF=60a，---

...△E8尸是等边三角形.»

（2）①当点E与A重合时，ABEF与aAOB重合，此时得到ABEF面积的最大值为宁x2?=6,

②当时，得到△刀£产湎积的最小值，因为此时BE=^x2=百，^

乙

・.y-

所以△8EF面积的最小值为宜・（百）,2=挛，

4-4■■

3V3广

.-----<S<v3.

4

（3）存在.如图，将△A3。沿AB翻折得到△A8。'，E的对应点为E.

•・

D

Df,

易知：PA+PD+PB=AP'+PD+PP'=P'D'+PP1+PD,

・・.当D、P、P'>。'，共线时，弘+PD+P8最小，最小值为线段。。的长,最小值为2dl

【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和芈皖、全等三角形的判定和性质、两点之间线段

.最短等知识，解题而决犍良正确寻找全等三角弦解决词题，’学会利用对称T根燧两种之间线段最短减夬

最值问题，属于市考压轴题.

4.已知在△ABC中，ZACB=90°,CA=CB,C£>J_A8于。.

（1）按要求补全图1,若点E是线段CZ）上任意一点（不与端点重合），①过点E作交AC于

F；②连接BF；③取BF中点G,连接EG；

'（2）判断（1）中EG与8c的位置关系并证明：

（3）将（1）中的ACE尸绕点C旋转到如图2的位置，其它条件不变，判断EG与A尸的数量关系并证

图1图2

【分析】（1）补全的图如图1所示.，

.（2*）如图L中，结论：EG//BC.延长FE交BC于H.只要证明尸£=EH,即可利用三角形中位线定理

证明:二,-.*/'',,'''\

（3）结论：AF^IEG.延长FE到H,使4胡=环,连接CH、BH.首先证明BH=2EG,再证由太Ab

推出AF-BH即可■解决问题.J

【解答】解：（1）补全的图如图1所示.

图1

'(2)如图1甲，轴■仑：ECf//BC.

理在1：延长FE交BC,于H.•,

\'CA=CB,NACB=90°,CDLAB,

：.ZACD=ZBCD=45°,

'：EF±CD,--

NCEF=2GEH=9O<'，>.J»,

；.上CFH=NCHF=45",.".

：.CF=CHtVC£±FW,

:.EF=EH,•:FG=GB,

J.EG//BH,..

C.EG//BC.\-r

・j•K-

•••

(3)结论：AF=2EG.理由如下：

如图2中,延长尸E到“，使得EH=E凡连接C，、BH.

'：EF=EH,FG=GB,

：.BH=2EG,

•••△CEF是等腰直角三角形,

：.CE=EF=EH,CE±FH,

:.CF=CH,ZFCH=ZACB=90\,

：・/ACF=/BCH,•

在AAC尸和△8C〃中，

(AC,=CB.,

l^ACF=^.BCH,

[CF=CH

△ACFQABC"

：.AF=BHf•；BH=%G,.,.

I.*9^*♦干—**

：.AF=2EG.

【点评】本题落查三角形综合题、.三角形市位线定理、全等三角形的的定和性质等知识，解题而关键是

学会添加常用辅助缓，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.：,•二-*"

5.在△48C中，AB=AC,将线段BC绕点8逆时针旋转60°得到线段8D

(1)如图1,若NBAC=40°,则/A8£>=10°；.

(2)如图2,NBCE=150°_,ZABE=60°,判断△ABE的形状,并加以证明;

(3)在(2)条件下，连结DE,若NDEC=45°,设/BAC=a(0°<a<60°),求a的值.一

【分析】(1)根据等腰三角形的性质求出/ABC,根据/A8D=NA8C-4D8C计算即可..

(2)于△A8Q垃ACT)CSSS),推出/ADB-/A£)C=150°,再证谊大AB/£Z\EBC(A4S),推％AB

=BE即可解决问题.♦

*3)只要证明△DEC是等腰直角三角形，即可推出BC=CE,NCBE=NCEB=15°

【解答】解：(1)如图1中，；A8=AC,NA=40°,.

Z/lBC=ZC=70?r,

/£)8C=6(T,

：「NABD=NABC-4DBCTW，-60°=10°f.,....

故答案为10°.

'(2)结论：△AQE是等边三角形，

理由：连接A。，CD；ED,

•.•线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD,

则BC=BD,NDBC=60°,.

VZABE=60",

?.NABD=NE3C,"宜△3CD为等人角形」’

在△A8。与△ACD%

AB=AC

AD=AD^

BD=CD

J.^ABD^^ACD($SS)；-

Z.ZADB=2ADC=]50°,■

V^KCE=150°,,.1

・•・/ADB=NBCE,

在△A3。和△EBC中，

(ZABD=XEBC.

\BD=BC:

\LADB=乙BCE

:.△ABDmLEBC(A4S)；■.

：.AB=BE,•.,乙ABE160°,

.♦.△ABE直等边三角形.

.■

(3)如图2中，:由(2)可知，ZBCD=60,

；N8CE=150",

ZDCE=90°,・

€A*

VZDEC=45°,

：.4CDE=ZDEC=45°,

；.CD=CE=CB,.

:・・NCBE=NCEB£15。,/.

；NBAD=/DAC=4BEC,'

.\ZBAD^DAC=\5°,

■■

：.ZBAC=30°.

【点评】本题考查‘了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性

质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,4S4,AAS,SSS,全等W角形的性质是全等三角形的

前应边相等，电应角相等，解题的关键是学会添加常用辅助线构造铭二角形解W问题，属于电考压轴

题.・

6.等腰△48C41,AC=8C,ZABC=a.

(1)如图1,C£>_LAB于£>,作BC的垂直平分线交48于E,若AB=8,AC=5,求8E的值；

(2)如图2,若8。平分/A8C,分别过C、Q作BC、8。的垂线，相交于P点，当a=30°时，试探

究PQ、BQ、CQ三边的关系；

(3)若将图2中NPCB、NPQB都改为120°,当a=20°时，其他条件不变，试探究PQ、BQ、CQ

.二边的关系.

线的性质得到CE=BE,根据勾股定理即可得到结论;，

(2)如图2,过C饵COLC。交8。于。，根短等腰三角形的性质得到/小方=120。，根据角平分纨

的定义得到NC8Q=15°,推出△CQZ)是等腰直角三角形，求得‘CQ=&CQ,根据全等三治形的性质

得到8£>=PQ「于是得到结论；

(3)如图3,作/。19=120°交8。于。，过。作CHJ_8。于"，根据角的和差得到/QCP=NBCD,

根据等腰三角形咆性质得到NAC8=140。J型据全等三角形的性质得到BD=PQ,于是得到结论：.

【解答】解：(1)'：AC=BC=5,CDVAB,

1

：.AD=BD=^AB=4f

."0=3,

:.・BC的垂直曲块交加宇E,

:.CE=BE,

.•.。£=4-BE,

,：CD2+DE2-CE2,

.\32+(4-BE)2=BE2,

(2)如图2,过C作C3J_CQ交BQTD,

"：AC=BC,ZABC=30°,•

24CB=120：；,

,/8。平分乙4分。；

：."ZCBQ=150,f,':"f,

■

/.ZC0B=45°,

△是等腰直角三角形，

••.■CQD.

：.DQ=V2ce，•.

•；NPQB=」BCRT90。,»

：.-ZP=ZCBQ=l5°9

(ZP=ZCBE

在△CQP与△83中，JzPQC=NBDC=135。，

(CQ=CD

・%j'J".

.•.△CQP丝△COB,--

：.BD=PQ,

*：BQ=BD+DQ,

：.BQ=PQ+V2CQ；

(3)如图3,作NQCD=120°交BQ下D,过C作C"，8。于”,

'：2PCB=ZPQB=\2Q0,•

；.NQCP旦/BCD，

VAC=BC,NA方。=20。,

：.ZACB=14O°,f,

BQ平分NA5C

AZCBQ=10°.；

AZCQB=30°,，

AZCD(2=30°\.

:♦CQ=CD,,

:.DQ=2QH=>/3CQ,

(』QCP=ZDCB

在ACQP与ACDB中,{CQ=CD，

l乙PQC=乙BDC=150。，

•••△CQ尸0△COB,

:・BD=PQ,

•：BQ=BD+DQ,9-

Z.BQ=PQ+V3CQ.

A/

【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角

三官形的判定和性麻正确的余出辅助线是解题的关键.’.-1”..

7.己知等腰△ABC中，AB=AC,点E是△ABC内一点，点。是BC边的中点，连接AE,DE.

(1)如图1,当/6AC=60°.,ZB£C=120°时，求证：AE=2£>E；

(2)如图2,当/A4c=90°,NBEC=135°时，求证：AE=^DE：

(3)如图3,当/BAC=a,NBEC=90°+2a时，猜想AE、QE的数量并证明.

D

图1

【分析】(1)根据旋转的性质，可得且AAEF为等边三角形,根据三角形外角的性感

可得/产区4+44踮=120°「(ZBCE+ZPBC).=60°,,根据全等匚角彩的判定与性质，可得EC=BG,

/ECD=NGBD,再根据全等三角形的判定与性质，可得EG=EF,根据等量代换*可得答案；.

(2)同(1)的方法得出EF=&AE,,再同(1)的方法得出EP-EG=2OE,即可得出结论；

(3)同(1)的方法得出EF=EG=2DE,-再用锐角三角函数即可得出结论.

【偏答】解：(1)如图1,将44CE绕点A时顺针旋转6於得到尸，连接EF.铤长瓦)至点G,

使。G=ED连莓§G.

/XAB心△ACE,且△AEF为等边三角形.

♦•'•«

：.AE=AF^EF,CE=BF,/FBA=/ECA,f，*.

^FBA+ZABE^ZECA+60a-NEBC

=60°-ZBCE+60°-ZEBC=\2O°.-(/8CE+NE8G)=60：.

ZFBE=ZFBA+ZABE=60°\

ED=GD

在△EC。和△G3£>中，zCDE=Z.BDG,

CD=BD

."；/XECD^GBD(SAS),

:.Eg=BG,/ECD=/GBD,.

：.BG=BF,ZGBE=ZGBD+ZEBD^ZECB+kEBC=60°=/FBE;"

,、(BE=BE

在4EBG和中，\^,EBG=乙EBF,

^BG=BF,

:.△EBG"/\EBF(SAS)

:・EG=EF,

:•EF=EG=2ED,-■■■

；.AE=2ED..・：、，••一，.•一,.、、

•■,•・•

(2)如图2,将绕点A时顺针旋转90°得到△ABF,连接EF.延长ED至点G,

使DG=ED,连换8G.

...AABF^AACE,KAAEF为等腰直角三城形.

：.EF=ypZAE,CE=BF,NFBA=NECA,

'：NFBA+NABE=N£CA+45°-NEBC

=45°-ZeCE+45°-ZEBQ=90\-CZBCE+ZEBCi=45°,

ZFBE=ZFBA+ZABE=45°\

'ED=GD

在△ECD和△GB£>中，'ACDE=^BDG，

CD==BD

：./\ECD^/\GBD(SAS),

:.EC=BG,/ECD=NGBD,

-；.BG=BF,NGBE=NGBD+NEBD=NECB-EBC=45°=4FBE.-

<I>(BE=BE

・在ZkEBG和ZiEBR中，zEBG=乙EBF,

BG=BF

f,f,f,

：.AEBG冬AEBF(SAS)

:・EG=EF,~

.：.EF=EG=2ED,

：.y/2AE=2ED,■,

：.AE=0DE；

—\

(3)Af^sin-=DE.

2

・4/♦</♦</»♦

：理由:，如图，3,.~«

WAACE绕点A时顺针旋转a得到△ABF,,连接EF.延长E。至点G,

>f.•J#f*t4广

使£>G=EO,连接BG.

AABF^AACE,且△AEF为等腰三角形.

：.CE=BF,ZFBA=ZECA,

■：ZFBA+ZABE=4ECA+90。-1a-ZEBC

111

=90°-*a-/3CE+90°-1a-Z£BC=180<>-a->(NBCE+NEBC)=90°-ja,

；.’NFBE=NFBA+/ABE=96°-1a.

ED=GD

在△£€!）和△GHQ中，乙CDE=48DG,.、

CD=BD

・％ECD咨AGBD（SAS）,

:.EC=BG；NECD亍NGBD,

；.BG=BF,「NGBE=NGBLh~2EBD=NECB+NEBC=96。-1a=ZFBE.

BE=BE

在AEBG和△EBF中，、乙EBG=LEBF,、上》

BG=BF

.'•△EBG^AfBF（巾S）

:・EG=EF,

：・EF=EG=2ED,

过点A作AHLEF,.

"：AE=AF,''

111

：.HE=汐,/EAHJ*EAF=为（

up

在RtZkAEH中，sinNE4H=器，

1

,a产

..sin-=,**

2AE

a14*>.«，

：t.AE*sin-=-EF=ED,

：22.

a,..，

・・AE・sin-=DE.

2

G

、1

\G♦.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，解本题的关键是判断出EF=DG=2Z)E.

8.如图，△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,BC=4,线段MN在BC边上沿BC方向运动(运动开始时，

点M与点B重合，点N到达点C时运动终止)，MN=T,分别过点M、N分别作BC的垂线，与折线8

-4―。交于2、Q两点，设线段B例的长为x.

(1)线段MN在运前的过程中，当PM=QNR+,求x值；

(2)线段MN在运动的过程中，PM+QN=y,请用含x的式子表示y,并写出x的取值范围.

【分析】⑴先利用等腰宜角三角形得出QN=CN,再利可线段的和差和PM=QN即可得出

x；•,

(2)分三种情况讨论计算，①点尸，。都在/出上，②:点P在A8上，点。在AC,上，③点尸，。都在

4c上，利用等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论.•

【解答】解：(1)如图1,在4ABe中，AB=AC,ZBAC=90\,

：.ZABC^ZACB=^5°_

,：PMA.BC,QN1RC,

：.-ZPMB=ZQNC=90°,•

在RtZ\PMB申，PM=BM,

同理：QN=QV；

'：PM=QN,----

:.BM=CN,.*»、

：BC=4,MN=\,

BC=BM+MN+CN=2BM+MN=4,

13

.*.x=于

'•(2)①、如图2,在等腰直角三角形48c中，*C=4,

:.BH=CH=扬C=2,

'：'MN=\,,■

当OWxWl时，

■.♦■

与ERtzAOMB中，ZABC-45°-

：.PM=BM=x^

在,Rtz\QN3中，QN=BN=BM+MN=x+\,

y=PM+QN=x+x^-1=2x+l,

:②：如图3,当1<广2时，向①得，PM=BM=x，

在RtZ\QNC中，QN=CN,**

■:BC=BM+MN+CN,

:,QN=CN=BC-BM-MN=4-x-1=3-x,

：.y=PM^-QN=^3-x=3；

■.4/r..

►/*4*，

<r***.,,、■L：>9.

③、如图4,当餐xW3时，

VBC=4,BM=x,♦•

>

：.CM=BC-BM=4-x,

;MN=l,

.：,CN=CM-MN=f-x-i=3-x,

在RtAPMC中，P^=CM三4-x,

同理：QN=CN=3-x,,,

；.y=PM+QN=4-x+3-x=l-2x；

r2x+1(0<%<1)

即：y=,3(1<x'<2)1.

、7-2x(2<%<3)

HMNc

图4

MHNc

图3

MNHc

图2QRK

A

;J_KC

C

MN(

图1，

【点评】此题是三角瓶综合题，主要考查了等赢角三角形的性质,线段礴和差，解本题的关键是用‘X

表示出PM,QN；是一道比较简单的去合题目.

9.如图所示，在△ABC中，N4CB=90°,AC=5cm,BC=\2cm,将△4BC绕点8顺时针旋转60°,得

到△BOE,连接。C交A3于点足

(1)求/ABE的度数；

(2)求。C的长；’

(3)求与△BQF的周长之和是多少？

上

【分析】(1)根据旋转角的定义进行解答：

,(2)根据旋转’的桂质得到NC3£>=60。，BC=BD,纵后根据等边三扁痴勺判定方法判断△BCD意等边

三达形，则等边三角形的二条边相等；，

••<

(3)先根据勾股定理计算出48=13。〃,承利用三角正周长定义得到△ACF与入目)下的周长之和=

AC\CD+AB+BD,接着由△8CQ为等边三角形得到CC=8C=BO=12,于是计算出AAC尸与△BDF的

周氏之和.*--

【解答】解：(1/痂图，V将△48C绕点8顺时针庭转60",得到△B。耳

：."ZABE=60°；,•“，.//,'ifJ.....*

(2):Z\ABC蚤点8顺时针旋转60°,看到△8DE,

・.♦*■/:♦

：.ACBD=60°,BC=BD=V2cm,一•，，

•••△BCQ为等边三角形，,

*'•DC=BC=12cm；

•.1**//.1"-4/•1

I99^**<"*9^

(3)在RlZiABC中，VZACB=90°,AC^5cm,BC=12cm,

•**•

/.AB=y/AC2+BC2j=13(cm),,:、.、，*:*'

VAACF与ABDFWM)=AC+CF+AF±DF+BD+BF=AC+CD+AB+BD,

.;.,•；,•.4•・,；'

,••△5CZ)为等边三角形，/

：.CD=BC=BD=\2,

1•△AC斤与△3Q尸的周长之和=5+12+13+」2=42(cm).

【点评】本题考查了三角形综合题，需要摩握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对成点与旋

♦♦♦

♦•转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前，后的图形全等.还需要熟悉勾股定理的应用，难度不大・

10.在△ABC中，AB=AC,Q为射线BC上丁点，DB=DA,E为射线A£>上一点，且AE=C£>,连接BE.

(1)如图I,若N4OB=120°,AC=2V3,求OE的长；

JJJ，/<J：,*J/，.一

(2)如图2,若BE=2CD,连接CE并延长交AB于点兄求证：CF=3EF；

(3)如图3,若BELAZ),垂足为点E,猜想AE,BE,BO之间的数量关系，直接写出关系式.

【分析】(1)‘由等腰三角形的性质可求得/48。=/6=/84)=30°,：则可求得NC4O=9()°“在Rt

△AC。中可求得AQ,则可求得DE-.

.JM.|r一J

(2)过A作4G〃BG交C尸的延长线于点G,可证明再证得△AGE是等腰三角形，

可证得结论；〜

(35取8E中点延长/M左N,使例7=型，连接由V,EN,由条件歹证明△/BN@ZXACD,色山

勾股定理即可求彳苛AE、BE、8。之间的数量关系.

V.*Jp*If*

【解答】(i)解：

'：DA=DB,NAQB上i20。,,,

.•.乙48。=2射0=30°,

\"AB=AC,

AZABC=ZC=30°,

<-rw，■g―W.，—•■•-BP-<.・・KA

AZCAD=90°C

在MACD中，tan300'=柴，

.气，.・・•・：•

・・・AO=28x.=2,AE=CD=2AD=4

：.DE=AE-AD=CD-AD=4-2=2；....

(2)证明：>\•?、\.

，v.U，,'■A''1

如图，过A作4G〃8C,

■:DB=DA,AB=AC,

ZBAD=ZABC,ZABC=NACB,

1、,・I，,

：.^BAD=ZACB,

'：AE=CD,

在AABE和△C4£)中

AB.=AC.

,乙BAE=Z.ACD.

AE=CD

：./\ABE^/\CAD(SAS),/、.

•:•沼E=AD,,

•；BE=2CD,

：.AD=2CD=2AE

・(*fr♦

:v\\AE=DEf.-

'：AG//BC,.J•

:・/G=/DCE,NGAE=NCDE,

f.9.

在aAGE和△DCE中

NG=NDCE

乙AEG=乙CED

.、4E=DE..

AAAGE^ADCE(A4S),

■

:・GE=CE,AG=CD=AE,

「•△AGE为等腰涌铉，

JZGAF=ZABC=ZBADf

工广为GE的中点，

：.CE=EG=2EF,

；.CF=3EF；

(3)如图3,

u?

取8E中点M,延长AM至M使连接BN,EN,

/.四边形A8NE是平行四边氤

：.AE//BN,

AZNBC=ZD,BN=AE=CD,

'：AB=AC,DB^DA,'

AZABC=ZACB=^BAD,，，

：・NBAC=/D=NNBC,

/ABN"NBC+/ABC,

・•♦.w

、NA8=ZBAC^ZABC,

：.ZABN=ZACD,

在/LABN和△AC。中

f,2*.，,八f.

BN=CD

乙ABN=Z.ACD

AB=AC

,■•

^ABN^ACD34S),..._

：.BD=AD=AN=2AM,.，

r

VBE±AD,

**/.】，J./*.qJ.,■

:.AE1+ME2=AM2,

AAE2+(-BE)。=(-AN')2,

2.2

■.H:附■.--/WL1jkw

.*.A£2+为£2=%£)%]

44

【点评】本题为三扇形的综合，应用，涉及等韩主角形的性质、.直角三角滋的性屈：全等三角形的川走和

性质、平行四边形的判定和性质等知识.在(口中求得NCAQ=90°是解题的关键，在(2)中构造全

等三角形，证得CE=2EF是解题的关/，在⑶中构造全等三届形，利用勾股定理找到线展之间的关