第47讲 统计与统计案例（原卷版）

24/24第47讲统计与统计案例【高考地位】统计与统计案例是高考的热点，高考对该内容的考查主要体现了以下两个特点：一是覆盖面广，几乎所有的统计考点都有所涉及，说明统计的任何环节都不能遗漏；二是考查力度加大.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.类型一变量间的相互关系万能模板内容使用场景变量间的相互关系解题模板第一步根据题意画出散点图并判断两变量之间是正相关还是负相关；第二步计算样本中心点并代入公式进行计算；第三步得出变量间的相互关系——线性回归方程.例1.一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生A1A2A3A4A5数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图；（2）并求这些数据的线性回归方程＝bx＋a．附:线性回归方程中,其中,为样本平均值,线性回归方程也可写为．【变式演练1】年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》，某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在的爱看比例分别为，现用这个年龄段的中间值代表年龄段，如代表代表，根据前四个数据求得关于爱看比例的线性回归方程为，由此可推测的值为（）A.B.C.D.【变式演练2】某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：零件数（个）182022加工时间（分钟）273033现已求得上表数据的回归方程中的值为，则据此回归模型可以预测，加工个零件所需要的加工时间约为（）A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟【变式演练3】【2018山西省实验中学模拟】某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本.进行5次试验，收集到的数据如表：由最小二乘法得到回归方程，则__________．【变式演练4】【山东省淄博市2021届高三上学期教学质量摸底检测（零模）】我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．（1）已知第天的报名人数为，求关于的线性回归方程，并预测第7天的报名人数（结果四舍五入取整数）．（2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下列联表：有兴趣无兴趣合计男生45550女生302050合计7525100请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0．001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”参考公式及数据：回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：，；，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828类型二统计案例万能模板内容使用场景统计检验解题模板第一步根据题意画出列联表；第二步运用公式（其中n=a+b+c+d）进行计算；第三步根据已知表格判断两变量间的相互关联性；第四步得出结论.例2．为了了解某校学生喜欢吃辣是否与性别有关，随机对此校100人进行调查，得到如下的列表：已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢吃辣的学生的概率为．喜欢吃辣不喜欢吃辣合计男生10女生20合计100（1）请将上面的列表补充完整；（2）是否有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关？说明理由：下面的临界值表供参考：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）【变式演练5】郑州一中研究性学习小组对本校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图1的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，计算高三的全体学视力在5.0以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，根据表1及表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？年级名次是否近视前50名后50名近视4234不近视816附表2：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）【变式演练6】某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：【变式演练7】【云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试数学（理）】移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付4050不使用移动支付40合计100（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：）（其中）【高考再现】1．（2021·全国高考真题）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A．样本的标准差 B．样本的中位数C．样本的极差 D．样本的平均数2．（2021·全国高考真题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样数据的样本极差相同3．（2021·全国高考真题（理））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．4.【2020年高考全国Ⅰ卷文理数5】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是 （）A．B．C．D．5.【2020年高考全国Ⅱ卷文理数18】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；求样本的相关系数（精确到）；根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数，．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文理数18】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次人次空气质量好空气质量不好附：7．【2020年高考山东卷19】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：3218468123710（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，【反馈练习】1．【河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（文）】年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码分别对应年月年月）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法不一定成立的是（）A．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系B．根据可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米C．曲线与的图形经过点D．回归曲线的拟合效果好于的拟合效果2．【湖南省邵阳市第二中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）】某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如表关系，与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）245683040605070A．10 B．20 C．30 D．403．（2021·宁夏银川市·银川一中高三（文））关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本中心点；②相关系数的绝对值越大，拟合效果越好；③相关指数越接近1拟合效果越好；④残差平方和越小，拟合效果越好.其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2021·广西柳州市·柳铁一中高三月考（文））某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得下边的频率分布直方图，若低于60分的有9人，则该班参加竞赛的学生人数是（）A．27 B．30 C．45 D．605.（2021·四川成都市·石室中学高三开学考试（理））下表是某电器销售公司2021年第一季度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其他类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%下列判断中不正确的是（）A．该公司2021年第一季度冰箱类电器销售亏损B．该公司2021年第一季度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2021年第一季度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类的销售数据，该公司2021年第一季度空调类电器销售净利润占比将会降低6．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）A．男生投篮水平比女生投篮水平高B．女生投篮水平比男生投篮水平高C．男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定D．男女同学投篮命中数的极差相同7．（2022·江苏高三专题练习）在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天每天新增加疑似病例不超过人”.根据过去天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地总体均值为，中位数为 B．乙地总体均值为，总体方差大于C．丙地中位数为，众数为 D．丁地总体均值为，总体方差为8．（多选）（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）PM2.5是评估空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标，如图为某地区2021年2月1日到2月12日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计图，则下列叙述正确的是（）A．该地区这12天中空气质量超标的日期为2月6日B．该地区这12天PM2.5日均值的中位数为51μg/m3C．该地区这12天PM2.5日均值的平均数为53μg/m3D．该地区从2月6日到2月11日的PM2.5日均值持续减少9．（多选）（2021·广东广州市·）下列说法中正确的是（）A．若将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，则方差恒不变B．若一组数据1，，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2C．设随机变量服从正态分布，若，则D．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是10．（多选）（2022·江苏高三专题练习）则下列说法正确的是（）A．在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；B．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；C．若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为2；D．对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大.11．（多选）（2022·江苏高三专题练习）以下结论正确的是（）A．根据列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B．的值越大，两个事件的相关性就越大C．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好D．在回归直线中，变量时，变量的值一定是1512．（多选）某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2011年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（）A．销售额y与年份序号x呈正相关关系B．根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元C．销售额y与年份序号x线性相关不显著D．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果13．（2022·江苏高三专题练习）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.令，，经计算得如下数据：262156526805.36112501302.612请从相关系数的角度分析，模型拟合程度更好是___________；利用模型拟合程度更好的模型以及表中数据，建立关于的回归方程为___________；（系数精确到0.01）附：①相关系数，回归直线中：，14．（2022·江苏高三专题练习）为促进就业，提升经济活力，2020年我国多个城市开始松绑“地摊经济”，市自大力发展“地摊经济”以来，夜市也火了起来，下表是市2020年月份代码与夜市的地摊摊位数（单位：万个）的统计数据：月份4月5月6月7月8月月份代码12345摊位数（万个）290330440480若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则表中的值为___________15．【安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科】2020年11月某市进行了高中各年级学生的“国家体质健康测试”.现有1500名(男生1200名，女生300名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况免试(病残等)合格合格良好优秀人数2101846x女生测试情况：抽样情况免试(病残等)合格合格良好优秀人数1311y2（1）现从抽取的100名且测试成绩为优秀的学生中随机挑选两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试成绩为良好或优秀的学生为“体育达人”，其他成绩的学生(含病残等免试学生)为“非体育达人”.根据以上统计数据填写下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否为体育达人与性别有关？”男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879附：16．【四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测数学（文）】一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面列联表：网红乡土直播员乡土直播达人合计男104050女203050合计3070100（1）根据列联表判断是否有95％的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．求这两人中恰有一男一女的概率．附：，其中．17．【四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试数学理科】网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁年龄超过40岁合计（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数的分布列.(附：)0.150.100.050.012.0722.7063.8416.63518．【陕西省部分学校2020-2021学年高三上学期摸底检测文科】年月日，国家统计局公布全国规模以上工业企业月累计营业收入利润率数据如表：月份累计月月月月月月月月月月月份累计代码营业收入利润率（1）根据表中有关数据请在下图中补充完整与的折线图，判断与哪一个更适宜作为关于的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到）；（3）根据（2）得出的回归方程，预测月月累计营业收入利润率的值为多少？参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：表中，，．19．【内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学（理）】某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．(2)随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅．现从观看该节目的观众中随机统计了位观众的周均学习成语知识的时间(单位：小时)与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）年龄x（岁）周均学习成语知识时间y（小时）由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为岁观众周均学习成语知识时间．参考公式：，．20．【重庆市巴蜀中学2020届高三下学期适应性月考九数学（理）】2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日~2月9日连续9天的日生产量（单位：十万只，）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：2.7219139.091095注：图中日期代码1~9分别对应2月1日~2月9日；表中，.（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，请求y关于t的方程，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.参考公式：回归直线方程是，，.参考数据：.21．【2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学（理）】在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品.（1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；（2）若该同学制作10次，其中合格作品数为，求的数学期望与方差；（3）该同学掌握技术后制作的小视频被某广告公司看中，聘其为公司做广告宣传，决定试用一段时间，每天制作小视频(注：每天可提供素材制作个数至多40个)，其中前7天制作合格作品数与时间如下表：(第天用数字表示)时间()1234567合格作品数()3434768其中合格作品数()与时间()具有线性相关关系，求关于的线性回归方程(精确到0.01)，并估算第14天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)？(参考公式，，参考数据：.)22．（2021·广西柳州市·柳铁一中高三月考（文））某研究性学习小