湘教版数学八年级下册同步练习 1 4角平分线性质定理的应用

[角平分线性质定理的应用]一、选择题1.(2020怀化)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,若BD=3,则DE的长为 ()A.3 B.32 C.2 D.2.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=50°,则∠BOC的度数为 ()A.115° B.105° C.125° D.130°3.如图,∠BAC=30°,AP平分∠BAC,GF垂直平分AP,交AC于点F,交AP于点G,Q为射线AB上一动点.若PQ的最小值为3,则AF的长为()A.3 B.6 C.33 D.9二、填空题4.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=32,则△BCE的面积为5.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若两平行线间的距离为6,则OE=.

三、解答题6.如图,某地有两个村庄M,N和两条相交的公路OA,OB,现计划在∠AOB内部修建一个物资仓库,希望仓库到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等,请你确定该点.7.如图,已知△ABC的周长是20,BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,且OD=3,求△ABC的面积.图8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.(1)试说明:AD垂直平分EF;(2)若AB=6,AC=4,S△ABC=15,求DE的长.图9.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.(1)若AB=4,AC=5,求△AEF的周长;(2)过点O作OH⊥BC于点H,连接OA,如图②.当∠BAC=60°时,试探究OH与OA的数量关系,并说明理由.[从特殊到一般的思想](1)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD平分∠BAC,交BC于点D.如果作辅助线DE⊥AB于点E,猜想AC,CD,AB三条线段之间具有怎样的数量关系,并证明你的猜想.(2)如图②,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,交BC于点D.(1)中的结论是否仍然成立?若不成立,试说明理由;若成立,请证明.

答案1.A∵∠B=90°,∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,∴由角平分线的性质得DE=BD=3.故选A.2.A3.B过点P作PH⊥AC于点H,连接PF,当PQ⊥AB时,PQ最小.∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,PH⊥AC,∴PH=PQ=3,∠PAB=∠PAC=15°.∵GF垂直平分AP,∴AF=PF,∴∠FPA=∠PAC=15°,∴∠PFH=30°,∴PF=2PH=6,∴AF=6.4.15过点E作EF⊥BC于点F.∵BE平分∠ABC,CD是AB边上的高,EF⊥BC,∴EF=DE=32,∴△BCE的面积=12BC·EF=12×5×35.3如图,过点O作OF⊥AB于点F,延长FO交CD于点G.∵AB∥CD,∴OG⊥CD.∵∠ACD与∠BAC的平分线相交于点O,OE⊥AC,∴OE=OF=OG.∵FG=6,∴OE=3.故答案为3.6.解:点P为线段MN的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点,此时点P到点M,N的距离相等,到OA,OB的距离也相等,作图如下.7.解:连接AO.∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,∴OE=OF=OD.∵OD=3,∴OE=OF=OD=3.∵△ABC的周长是20,∴S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC=12·AB·OE+12·BC·OD+12·AC·OF=12·(AB+BC+AC)×3=12×208.解:(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,DE=DF.在Rt△AED和Rt△AFD中,∵AD=AD,DE=DF,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF.又∵DE=DF,∴AD垂直平分EF.(2)∵DE=DF,∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB·DE+12AC·DF=12DE·(AB+AC)∵AB=6,AC=4,∴12×10·DE=∴DE=3.9.解:(1)∵BO平分∠ABC,∴∠CBO=∠ABO.∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∴∠EOB=∠ABO,∴OE=BE.同理可得OF=CF,∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=4+5=9.(2)OH=12OA.理由如下:过点O作OG⊥AB于点G,OQ⊥AC于点Q,如图∵BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,∴OH=OG.同理可得OH=OQ,∴OG=OQ.又∵OG⊥AB,OQ⊥AC,∴AO平分∠BAC,∴∠GAO=12∠BAC=∴OG=12OA,∴OH=1[素养提升]解:(1)猜想:AB=AC+CD.证明:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,∴∠DEB=∠DEA=90°=∠C,CD=ED.在Rt△ACD和Rt△AED中,∵AD=AD,CD=ED,∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AC=AE.∵∠B=45°,∠DEB=90°,∴∠EDB=45°,∴ED=EB,∴CD=EB.∵AB=AE+EB=AC+CD,∴AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为AB=AC+CD.(2)(1)中的结论仍然成立.证明:在AB上截取AE=AC,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD.在△ACD和△AED中,∵AC=AE,∠CAD=∠EAD,AD=AD,∴△