2022高中数学知能演练轻松闯关苏教版

【优化方案】2022高中数学第2章2.3.2知能演练轻松闯关苏教版必修31．已知一个样本的方差s2＝eq\f(1,10)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2]，这个样本的平均数是________．解析：由方差公式的形式易知平均数为2.答案：22．(2022·高考江苏卷)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析：由题意得该组数据的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(10＋6＋8＋5＋6)＝7，所以方差为s2＝eq\f(1,5)(32＋12＋12＋22＋12)＝.答案：3．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是2，方差是eq\f(1,3)，那么数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2的平均数和方差分别是________，________.解析：若x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq\x\to(x)＋b，方差为a2s2.所以，由题意3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2的平均数为：3eq\x\to(x)－2＝3×2－2＝4，方差为：a2s2＝32×eq\f(1,3)＝3.答案：434．(2022·高考山东卷改编)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________．解析：去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92，方差s2＝eq\f(1,5)[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝eq\f(1,5)(4＋4＋1＋4＋1)＝.答案：92,5．(2022·常州调研)已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是eq\r(2)，则xy＝________.解析：由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20，又由1＋1＋(x－10)2＋(y－10)2＝(eq\r(2))2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，xy＝96.答案：96[A级基础达标]1．如图是全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________.解析：由平均数和方差公式可知：平均数为85，方差为.答案：85,2．(2022·高考广东卷改编)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072则第6位同学的成绩x6＝________，这6位同学成绩的标准差s＝________解析：由eq\f(70＋76＋72＋70＋72＋x6,6)＝75，解得x6＝90，所以标准差s＝eq\r(\f(1,6)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋x6－\x\to(x)2])＝eq\r(\f(1,6)52＋12＋32＋52＋32＋152)＝7.答案：9073．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则样本4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的标准差是________．解析：若数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为s2，则样本ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，ax4＋b，ax5＋b的方差为a2s2.由题意知4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的方差为42×3＝48.∴其标准差为eq\r(48)＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)4．一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是________．解析：由于样本的方差是0，这组数每一个数都相等，又中位数是a，所以它的平均数是a.答案：a5．若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数为eq\x\to(x)，方差为，则a1，a2，…，a20，eq\x\to(x)这21个数据的方差约为________．(精确到小数点后两位)解析：s2＝eq\f(1,21)[(a1－eq\x\to(x))2＋(a2－eq\x\to(x))2＋…＋(a20－eq\x\to(x))2＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(x))2＝eq\f(1,21)×20×＝eq\f(4,21)≈.答案：6．(2022·高考辽宁卷节选)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．如果试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？解：品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且品种乙的样本方差小于品种甲的样本方差，故应该选择种植品种乙．7．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，seq\o\al(2,)甲＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝eq\f(1,6)×94＝15eq\f(2,3).seq\o\al(2,)乙＝eq\f(1,6)[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝eq\f(1,6)×76＝12eq\f(2,3).∴eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,)甲>seq\o\al(2,)乙．由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．[B级能力提升]8．某人5次上班途中所花的时间(单位：min)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，那么|x－y|＝________.解析：eq\f(x＋y＋10＋11＋9,5)＝10，∴x＋y＝20.①又∵eq\f(x－102＋y－102＋0＋1＋1,5)＝2∴(x－10)2＋(y－10)2＝8.即x2＋y2－20(x＋y)＋200＝8，∴x2＋y2＝208.由①知，(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝400，∴2xy＝192.∴|x－y|2＝x2＋y2－2xy＝208－192＝16.∴|x－y|＝4.答案：49．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系为：Z＝eq\f(x－\x\to(x),s)(其中x是某位学生考试分数，eq\x\to(x)是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，Z是这位学生的标准分)．但考试分数转化成标准分后可能出现小数或负值．因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数．例如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是：T＝40Z＋60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为________．解析：利用题中给出的公式算得Z＝，∴T＝40×＋60＝84.答案：8410．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图．(1)则表示的原始数据是什么？(2)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；(3)比较两名同学成绩的优劣．解：(1)由茎叶图可知：表示的原始数据应为103.(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,13)(68＋71＋75＋76＋81＋86＋88＋89＋91＋94＋95＋107＋110)＝87(分)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,11)(79＋83＋86＋88＋93＋98＋98＋99＋101＋103＋117)＝95(分)，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,13)[(68－87)2＋(71－87)2＋(75－87)2＋(76－87)2＋(81－87)2＋(86－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2＋(94－87)2＋(95－87)2＋(107－87)2＋(110－87)2]≈(分2)．∴s甲≈(分)．seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,11)[(79－95)2＋(83－95)2＋(86－95)2＋(88－95)2＋(93－95)2＋(98－95)2＋(98－95)2＋(99－95)2＋(101－95)2＋(103－95)2＋(117－95)2]≈(分2)．∴s乙≈(分)．∴甲的平均数为87分，标准差约为；乙的平均数为95分，标准差约为.(3)∵eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，且s甲＞s乙∴甲的学习状况不如乙好．11．(创新题)某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试的分数(单位：分)情况如下表：统计量组别平均数标准差第一组906第二组804则全班的平均成绩和标准差分别是多少？解：设第一组20名学生的成绩为x1，x2，x3，…，x20，第二组20名学生的成绩为x21，x22，…，x40，根据题意得90＝eq\f(x1＋x2＋…x20,20)，80＝eq\f(x21＋x22＋…＋x40,20)，eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40,40)＝eq\f(90×20＋80×20,40)＝85(分)，第一组的方差seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,20)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,20))－902，①第二组的方差seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,20)(xeq\o\al(2,21)＋xeq\o\al(2,22)＋…＋xeq\o\al(2,40))－802,②由①＋②，得36＋16＝eq\