2013年高中数学教学论文细节决定成败之集合问题中的陷阱

本文为自本人珍藏 版权所有仅供参考细节决定成败——集合问题中的陷阱集合是数学中的最原始的概念之一，集合语言是现代数学的基本语言。在每年的高考中必考，且以选择题为主，难度不大，属高考试题中的送分题。但它涉及到中学数学的各个环节，稍不注意，就会出错。为了跳出出题者所设计的陷阱，就必须注意集合中的一些细节，细节决定成败。细节1、把握集合元素形式例1设集合A={平面上的直线},B={平面上的圆}，则AB中的元素最多有个.错解：由直线与圆的位置关系可知，最多有2个故填2。错因分析： 上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势 思维考虑两者之间的位置关系了。正解：集合A中的元素形式是直线，集合E中的元素形式是圆，既是直线又是圆的是什么呢？故填0个。例2设集合A={yIy=x+1,x三R},B={xIy=.x+2}，求A错解： 显然A={yIy>l}B={xIy>2}.所以AAB=B错因分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合 A中的代表元素是y，是表示函数的值域。但集合B中的元素为x,是表示函数的定义域。正解：A={yIy>1} B={xIx>0}，所以故AAB=A妙招：要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合中元素的形式，只有弄清了它们所具有的形式，才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算。解题时应认真领会，以防出错.细节2、检验集合中元素的互异性例3 已知集合A={l,3,a},B={l,a2—a+l},且A二B,求a的值.错解：经过分析知，若a2—aT=3,则a2-a-2=0,即a=-1或a=2.若22a—a，1=a,则a—2a7=0,即a=1.从而a=—l,l,2.2 2正解：经过分析知，若a—aT=3,则a-a-2=0,即a--1或a=2.若22.,.,a..a亠1=a,则a..2a亠1=0,即a=1.从而a=一1,1,2.而当a=1时，E中有两个相同的元素1,与互异性矛盾，应舍去，故a=—1,2.例4设A={xlx2+(b+2)x+b+1=0,b €R},求A中所有元素之和.错解1：集合A中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为一(b+2)。错解2:由x2+(b+2)x+b+1=0得 (x+1)(x+b+1)=0当b=0时，xi=X2=—1,此时A中的元素之和为一2.当b=0时，xi+X2=—b—2.错因分析上述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.正解：集合A中的元素是方程的根，由于.1=(b•2)2_4(bT)=b2，故当b=0时，方程有二重根一1,由集合中元素的互异性，集合A={—1} ，所以元素之和为一1;当b=0时，xi+X2=—b—2.妙招：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里.要注意分类，注意求得结果后再代入检验。细节3、牢记空集的特殊性例$设集合A={xlx2—2x—3=0}B={x|ax-仁0}且人B=B，求实数a的值。TOC\o"1-5"\h\z彳 1错解：由A={3,—1}B={ —}又人B=B故B—A所以a=—或—1a 3错因分析忽视Fb=••的情形.正解：由A={3,—1},B集合是方程ax-1=0的根，当a=0时，方程无根，此时集1 1 1合B为空集，满足题意。当a不为0时，B={ }所以a=或-1综合可得a=或-1或a 3 30。例6、已知A-|-1_x_4餐,B-|m•1_x_2m-1f,求当B5A求实数m的取值范围。m+1乞2m—15错解：要使B冬A，应有m•1孑：一1解得：2乞m.22m-1乞4错因分析：错解忽略了B=••时的情况，因为当B=••时，BA亦成立。5正解：（1）当B时，由错解可得：2岂m.2（2）当B-■时，m亠12m-1，5解得：m：；：2，所以m的取值范围为：m空一。2妙招：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，注意集合是否为空集，即在限制条件下均有可能成立•空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集 •如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况•解题时一定要慎重审题，周密考虑。细节4、挖掘隐含条件例7设全集U={2,3,a2+2a—3},A={I2a—II,2},CUA={5},求实数a的值.错解：TCUA={5},••• 5•U且5■■■A，从而，a2+2a—3=5，解得a=2,或a=—4.错因分析导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为U是全集，所以首先必须满足A_■U.正解：当a=2时，I2a—1I=3 •U,符合题意；当a=—4时，I2a—1I=9■■■U,不符合题意；故a=2.妙招：在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的细节，养成细心、规范解题的好习惯。细节5、注意等价转换例8、设集合M=（x,y）|' 1=1N='Jx,y（a-1）x亠y=1且MN=”Ix-1 ,求实数a.错解：集合M表示直线y=x-2上的点的集合，集合N表示直线y=（1-a）x+1上的点的集合。又M'N-（即两直线平行时），故1-a=1，即a=0。1,-1）。错因分析：将集合M1,-1）。正解：集合M表示直线y=x-2上的不包括点（1,—1）的点的集合，集合 N表示直线y=（1-a）x+1上的点的集合。又M'N=：（即两直线平行时），故1-a=1，即a=0。或当集合N表示的直线过这个点时，也符合M-N=._，所以把点(1,—1)代入直线y=(1-a)x+1,解得a=3。故a=0或3。妙招：对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误。解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性。非常熟练三种语言的相互转化。细节6、理解符号的含义例9.如图所示，A、B是两个非空集合，定义A-B=\x\x^A且xFB?,则A—(A—E)是下图中的( )A.I B.II C.III D.IIIIII错解：因A—(A—B)表示属于E而不属于A,应选 Co错因分析：上述解法对新定义符号“—”的理解不当，致使A—(A—B)在迁移运用时出现错误。正解：A—(A—B)的正确理解应是属于A而不属于集合A—B，而 A-B为图中的区域I，故A—(A—B