第六章 再练一课(范围：§6.1～§6.2)

再练一课(范围：§6.1～§6.2)1．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种答案A解析先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(种)安排方案．2．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有()A．36个B．24个C．18个D．6个答案A解析若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(个)符合要求的数．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种答案A解析选修1门A类，2门B类的课程的选法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)种，故选法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30(种)．4．有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种答案C解析根据题意，分3步进行分析：①队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；②甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)情况；③将甲、乙整体与其余3人进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)情况．则满足要求的排法有2×2×24＝96(种)．故选C.5.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120 B．140C．240 D．260答案D解析由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)．故选D.6．若Aeq\o\al(3,m)＝8Ceq\o\al(2,m)，则m＝________.答案6解析∵Aeq\o\al(3,m)＝8Ceq\o\al(2,m)，∴m(m－1)(m－2)＝8×eq\f(mm－1,2)，m≥3，∴m－2＝4，解得m＝6.7．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有Ceq\o\al(1,2)种方法；再选3名男生，有Ceq\o\al(3,6)种方法；然后排队长、副队长位置，有Aeq\o\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理知，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,4)＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有Ceq\o\al(2,6)种方法；然后排队长、副队长位置，有Aeq\o\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理知，共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,4)＝180(种)选法．由分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)种不同的选法，而没有女生的选法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)种，故至少有1名女生的选法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(种)．8．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．答案12解析从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有Ceq\o\al(4,6)种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成Ceq\o\al(4,6)－3＝12(个)四面体．9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？解(1)有Aeq\o\al(5,5)＝120(种)不同的方法．(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(种)不同的方法．(3)按人数分配方式分类：①3,1,1，有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝60(种)方法；②2,2,1，有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90(种)方法．故共有60＋90＝150(种)分配方法．10．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？解本题分两种情况讨论．(1)4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24(种)不同的情况．(2)4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝12(种)不同的情况．综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．11．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有()A．6种B．10种C．8种D．16种答案B解析记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式有其中经过5次传球后，球仍回到甲手中的有5种，同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式，共有10种传球方式．12．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有()A．96个B．78个C．72个D．64个答案B解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有Aeq\o\al(4,4)＝24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B.13．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168答案B解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品＝120(种)安排方法．14．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有________种．答案432解析第一类：每相邻两节文化课之间都间隔1节艺术课，有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)种排法；第二类：三节文化课相邻，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)种排法；第三类：三节文化课中有两节相邻，与另一节之间间隔1节艺术课，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种排法．故共有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝432(种)排法．15．若自然数n使得n＋(n＋1)＋(n＋2)不产生十进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生十进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生十进位现象．那么，小于1000的“良数”的个数为()A．27B．36C．39D．48答案D解析如果n是良数，则n的个位数字只能是0,1,2，非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0)，而小于1000的数至多三位，一位数的良数有0,1,2，共3个；二位数的良数个位可取0,1,2，十位可取1,2,3，共有3×3＝9(个)；三位数的良数个位可取0,1,2，十位可取0,1,2,3，百位可取1,2,3，共有3×4×3＝36(个)．综上，小于1000的“良数”的个数为3＋9＋36＝48.16．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，求：(1)不定方程正整数解的组数；(2)不定方程自然数解的组数；(3)不定方程满足x1≥3，x2≥－2，x3，x4∈N的解的组数．(x1，x2∈Z)解(1)问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为Ceq\o\al(3,11)＝165.(2)令X1＝x1＋1，X2＝x2＋1，X3＝x3＋1，X4＝x4＋1，则X1＋X2＋X