圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！？定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴（或平行于坐标轴),焦点为F，设倾斜角为的直线经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长;（2)当焦点在y轴上时,弦AB的长。推论：（1)焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时,；当圆锥曲线是抛物线时，。(2）焦点在y轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时，。典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆，抛物线（＞0），且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.（Ⅰ）当轴时，求p，m的值,并判断抛物线的焦点是否在直线AB上;OABxy（Ⅱ)若且抛物线的焦点在直线AB上，求m的值及直线ABOABxyABCDOxyP例2(07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且,垂足为ABCDOxyP（1)设P点的坐标为，证明：＜1.（2）求四边形ABCD的面积的最小值.例3(08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O,焦点在x上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点。已知、、成等差数列，且与同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率;AByOFxNM(AByOFxNM金指点睛1.已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点,则=_________.2.过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，则=_________。3。已知椭圆，过左焦点F作直线交A、B两点，O为坐标原点,求△AOB的最大面积。BBOxyAFyOFxAB4.已知抛物线（＞0)，弦AB过焦点F，设,△AOB的面积为S，求证：为定值。yOFxAB5.(05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形PQMN的面积的最大值和最小值。OxOxNPyMQF 6.(07重庆文第22题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；（Ⅱ）若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交轴于点P，证明为定值，并求此定值。yyOFxABDECmP7。点M与点的距离比它到直线的距离小1.（1)求点M的轨迹方程;FOxABDCy（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；CFOxABDCy8。已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同，且以抛物线的准线为其中一条准线。（1）求双曲线的方程;yAOxBCD(2）若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；CyAOxBCD参考答案：证明：设双曲线方程为（＞0，＞0),通径,离心率,弦AB所在的直线的方程为(其中，为直线的倾斜角），其参数方程为。代入双曲线方程并整理得：。由t的几何意义可得：例1.解:(Ⅰ）当轴时，点A、B关于x轴对称，,直线AB的方程为。从而点A的坐标为或。点A在抛物线上,即此时抛物线的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上。（Ⅱ)设直线AB的倾斜角为，由（Ⅰ）知.则直线AB的方程为.抛物线的对称轴平行于轴，焦点在AB上，通径,离心率，于是有

又AB过椭圆的右焦点,通径，离心率。OABOABxy解之得：。抛物线的焦点在直线上，，从而.当时,直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为例2.（1)证明：在中，。O是的中点，得点P在圆上。显然,圆在椭圆的内部.故＜1。（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为,由可知，直线AC的倾斜角.通径，离心率。又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、，于是ABABCDOxyP四边形ABCD的面积。。故四边形ABCD面积的最小值为。例3,解:（Ⅰ）设双曲线的方程为（＞0，＞0）.、、成等差数列，设，公差为d，则，，。即.。从而，。又设直线的倾斜角为，则。的方程为。而AByOFAByOFxNM解之得：（Ⅱ)设过焦点F的直线AB的倾斜角为，则.。而。通径.又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有：。即。解得,从而.所求的椭圆方程为.1。解：,离心率，通径，直线的倾斜角。。2.解：，离心率，通径，直线的倾斜角。.3。解：，，左焦点,离心率，通径.当直线的斜率不存在时,轴,这时，高，△AOB的面积。当直线的斜率存在时,设直线的倾斜角为,则其方程为，即,原点O到直线AB的距离。。BOxyAF△AOBBOxyAF0＜＜，＞0。从而。.当且仅当,即时，“="号成立。故△AOB的最大面积为。4。解：焦点为,通径。当直线AB的斜率不存在时，轴,这时,高，△AOB的面积。，是定值.当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点O到直线AB的距离。.yOFxAB△AOB的面积yOFxAB。不论直线AB在什么位置,均有（为定值)。5.解：在椭圆中,由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点,且.如图，设直线PQ的倾斜角为，则直线MN的倾斜角。OxNPyMQFOxNPyMQF四边形PQMN的面积。。故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为和2.6。（Ⅰ）解：，抛物线的焦点F的坐标为，准线的方程为.（Ⅱ)证明：作于C,于D。通径。yOFxAByOFxABDECmP.。,从而..故为定值，此定值为8.7。解:（1）根据题意,点M与点的距离与它到直线的距离相等，点M的轨迹是抛物线,点是它的焦点，直线是它的准线。从而，。FOxABDCyFOxABDCy(2）两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点，它们的斜率都存在。如图，设直线AB的倾斜角为，则直线CD的倾斜角为.抛物线的通径,于是有：。四边形ACBD的面积当且仅当取得最大值1时,，这时。四边形ACBD的最小面积为128。8。解：(1)在椭圆中,，其焦点为、。在抛物线中，，其准线方程为。在双曲线中，，.所求的