2023年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用版)：专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型（原卷版）

专题14圆中的重要几何模型-隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见的有以下四种形式，动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆（对角互补或等弦对等角），上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、动点定长模型（圆的定义）若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．例1．（2020·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2例2．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．例4．（2022·广东·汕头市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．模型2、定边对直角模型（直角对直径）固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．例1．（2022·湖北·武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．例1．（2021·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．例2．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A． B．6 C． D．例3．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．的最小值为模型4、四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．条件：线段同侧张角相等．例1．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．例2．（2022陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．例3．（2022江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（

）A． B． C． D．课后专项训练1．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．2．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（

）A．3 B． C． D．3．（2020·西藏中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．4．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______．5．（2022·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．6．（2022·安徽蚌埠·一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（

）A． B．2 C． D．7．（2022·成都市·九年级专题练习）如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．8．（2022·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（

）A．π B．π C．π D．2π9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（

）A．2 B．π C．2π D．π10．（2022·山西·九年级课时练习）如图，在等腰Rt∆ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（

）A． B．2 C． D．411．（2022·山东·烟台九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．12．（2022·湖北·九年级期中）如图，中，，，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为__________________．13．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么___________________．14．（2022·黑龙江·九年级阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．15．（2020·四川成都·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝_____．16．（2022·成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．18．（2022·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．19．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．20．（2022·广东汕头·二模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．21．（2022·重庆·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是________．22．（2022·湖北·二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．①若AP＝2，求△APC的面积；②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．23．（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长