新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积课件

6.2.4

向量的数量积课标定位素养阐释1.通过物理中功的实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义.2.会计算平面向量的数量积.3.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.加强数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习

自主预习·新知导学一、两个向量的夹角与垂直【问题思考】1.如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么?提示:力、位移都是矢量,夹角为θ.2.填表:两个向量的夹角与垂直

答案:A二、向量的数量积【问题思考】1.【问题思考1】中,力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?提示:由物理知识容易得到W=|F||s|cos

θ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量.2.填表:两个非零向量的数量积

3.特别提醒:(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;(2)数量积的结果为数量,不再是向量;(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.答案:C三、投影向量【问题思考】1.如图,已知线段AB和直线l,过线段AB的两个端点A,B,分别作直线l的垂线,垂足分别为A1,B1,得到线段A1B1,那么线段A1B1叫做什么?提示:线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段.2.设直线AB与直线l的夹角为θ,那么|A1B1|与|AB|,θ之间有怎样的关系?提示:|A1B1|=|AB|cos

θ.4.做一做:已知非零向量a与b的夹角为45°,|a|=2,与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c=

.四、平面向量数量积的性质【问题思考】已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为与b方向相同的单位向量.1.根据数量积公式,计算a·e,a·a.提示:a·e=|a||e|cos

θ=|a|cos

θ,a·a=|a||a|cos

0°=|a|2.2.若a·b=0,则a与b有什么关系?提示:∵a·b=|a||b|cos

θ=0,a≠0,b≠0,∴cos

θ=0,θ=90°,a⊥b.3.当θ=0°和180°时,数量积a·b分别是什么?提示:当θ=0°时,a·b=|a|·|b|;当θ=180°时,a·b=-|a|·|b|.4.填空:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.

(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.

答案:30°五、平面向量数量积的运算【问题思考】1.根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律(如下表),这些结果正确吗?提示:除结合律中的(a·b)·c=a·(b·c)是错误的,其他都是正确的.2.向量数量积的运算律

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)0·a=0a.(

×

)(2)若a·b=0,则a与b至少有一个为零向量.(

×

)(3)若a·c=b·c(c≠0),则a=b.(

×

)(4)对于任意向量a,都有a·a=|a|2.(

√

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

计算平面向量的数量积【例1】

已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夹角是120°,a,c的夹角是45°.求:(1)a·b;(2)(a-2b)·(3a+b);分析:根据向量数量积的定义和运算律进行求解.求向量数量积的一般步骤:(1)运用数量积的运算律展开、化简;(2)确定向量的模与夹角;(3)套用数量积的定义式代入计算即得.

【变式训练1】

已知|a|=4,|b|=7,且向量a与b的夹角为120°,求(2a+3b)·(3a-2b).解:(2a+3b)·(3a-2b)=6a2-4a·b+9b·a-6b2=6|a|2+5a·b-6|b|2=6×42+5×4×7×cos

120°-6×72=-268.探究二

求投影向量【例2】

已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则向量a在向量e上的投影向量是

;向量e在向量a上的投影向量是

.

向量a在向量b上的投影向量的求法将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos

θe(e是与b方向相同的单位向量,且

)中计算即可.【变式训练2】

已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是

.

探究三

利用数量积解决向量的夹角和垂直问题【例3】

(1)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(

)解析:由题意,得a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即a·b=-2a2,设a与b的夹角为θ,答案:C(2)已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.分析:(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解;(2)可考虑夹角公式和数形结合两种方法求解.解法一:由向量运算的几何意义知a+b,a-b是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线.解法二:根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=4|a|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.解:因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,所以k|a|2+2(2k-1)|a|2-32|a|2=0,化简得k+2(2k-1)-32=0,解得1.求平面向量夹角的方法:(1)利用公式

,求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.2.非零向量a·b=0⇔a⊥b是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效,应熟练掌握.探究四

求向量的模根据数量积的定义a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得

,这是求向量的模的一种方法,即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.【变式训练4】

已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=16,所以a2+2a·b+b2=16.①因为|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,易

错

辨

析错用两向量的夹角致误

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?答案:B1.在一个平面图形中求两个向量的夹角时,切记不能直接将该平面图形的某个内角理解为两个向量的夹角,必须将两向量的起点平移到一个点上,根据向量的方向得出向量的夹角.如△ABC中,

的夹角不是∠B,而是∠B的补角.2.向量的夹角与直线的夹角范围不同,它们分别是[0,π]和

.3.积累直观想象和数学抽象素养的经验.

答案:-4随

堂

练

习答案:C答案:A3.若向量a与b的夹角为6