(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)可以得到DF/EF=FB/GB，又因为BE=AD，所以可以得到FB/GB=AC/BC，代入前式得到DF/EF=AC/BC，即EF×BC=AC×DF，证毕。在证明等积式问题中，常常需要构造相似三角形来得到比例式，从而证明等积式。为了构造相似三角形，需要添加平行线，常见的辅助线有“A”“X”型的平行线。例如，在例1中，通过添加平行线构造出“X”型的平行线，得到了相似三角形，从而得到了BE：EF的值。在例4中，通过构造“A”型的平行线，得到了相似三角形，从而得到了EF×BC=AC×DF的等积式。例5：已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AF/AE=BF/CE。解析：由题意可知，DE是BC的中线，所以DE∥AB，因此AE/EC=AD/DB。又因为AF/FE=AB/EC，BF/FE=CB/EA，所以AF/AE=AB/EC×FE/AF=AB/EC×FE/(FE+BF)=AB/EC×CB/EA=BF/CE。所以AF/AE=BF/CE，证毕。例6：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC²=2AC·CD。解析：由题意可知，AD=DC，所以AC=2AD。又因为BD²=AB²-AD²=AB²-DC²，所以BC²=4BD²=4(AB²-DC²)=8AB²-8AC²=2AC·CD，证毕。例7：在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC上的一点，连接ED且交AB的延长线于F点，求证：AE/EC=AF/BF。解析：由题意可知，DE是BC的中线，所以DE∥AB，因此AE/EC=AD/DB。又因为AF/FE=AB/EC，BF/FE=CB/EA，所以AF/AE=AB/EC×FE/AF=AB/EC×FE/(FE+BF)=AB/EC×CB/EA=BF/CE。因为BF+AF=AB，所以BF/AF=AB/AF-1，代入前式得到AE/EC=AF/BF-1，即AE/EC=AF/BF，证毕。例8：在三角形ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上的一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：BP²=PE·PF。解析：由题意可知，因为AD是BC的中线，所以AD=DC，又因为AB=AC，所以∠ADB=∠ACB，所以△ADB∽△ACB。因此，AE/EC=AD/DB=1/2，所以AE=EC/2。又因为CF∥AB，所以∠ECF=∠ACB，所以△ECF∽△ACB，因此，EF/AC=CF/BC=CF/2AD。因为BP/PE=BC/CE-1，PF/FE=AC/AE-1，所以BP²/PE=BC/CE×AC/AE=2AC×BC/2CE×2AE=AC×EF/CE=PF，证毕。例9：从ABCD的顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：AB·AE+AD·AF=AC²。解析：由题意可知，AM=AN，所以AC=2AM。因此，AB·AE+AD·AF=AB·AE+AD·(AC-AE)=AB·AE+AD·AC-AD·AE=AD·AC+AE·(AB-AD)=AD·AC+AE·BD=AD·AC+CE·CF=AC²，证毕。例10：在三角形ABC中，AC=BC，P是AB上的一点，Q是PC上的一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：PA/PB=CM/CN。解析：由题意可知，PE和PF分别垂直于AC和BC，所以CEPF是矩形，因此，PF=CE，PE=CF。又因为MN⊥CP，所以MN∥AB，因此，AQ/QC=AN/NC=AM/MB，所以AM/AC=AQ/(AQ+QC)=AQ/AC-1/2，MB/BC=QC/(AQ+QC)=1/2-AQ/AC，所以AM/MB=AQ/AC-1/AQ/AC-1/2=2AQ/AC-1，所以PA/PB=AM/MB=2AQ/AC-1，CM/CN=AC/2CN-1=2AQ/AC-1，证毕。EPEC即EPCM，所以RtΔPEC与RtΔMCN相似，得到（2）=CM/CN=EC/CC'=PBCN/CMCN。由（1）和（2）可得CM/CN=EC/CC'=PBCN/CMCN=ECCN/CMCN，即CM·CMCN=ECCN·CN，再代入（1）可得CM²=ECCN·DC/EC=2/7，所以△HBC的面积为27。在RtΔABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG交AB于G，要证明FG=CF·BF。虽然ΔBFG与ΔCFG不会相似，但由E为CD的中点，可以构造与ΔBFG相似的三角形AFF'，其中F'为CE的延长线与AB的交点。连接FH，易证RtΔCFH∽RtΔGFB，所以FG·FH=CF·BF，又因为FG=FH，所以FG²=CF·BF。在ΔABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC