光的反射光和入射光和界面法线

光的反射光和入射光和界面法线

1波法线和其他光的方向在均匀的各向同性介质中，光线和波法线是重复的。界面中的反射遵循斯涅耳规律，即反射光、入射光和界面法线是公共表面的反射，反射角等于入射角。在单轴晶体中,光分为寻常光(o光)和非常光(e光).对于o光来说,其光线和伴随的波法线方向一致;而对于e光,其光线和波法线方向仅在沿晶体光轴和垂直光轴方向传播时一致,一般情况下是不一致的;另外,二者对应的折射率,跟它们与光轴的相对取向有关.本文基于电磁波的边界条件,从几何光学的角度讨论和分析了在单轴晶体中光在界面上的反射,得到了确定光波法线反射方向的公式,并利用单轴晶体中光线与波法线的关系,说明了如何确定反射光的光线方向,同时指出了上述结果与由费马原理导出的结果是一致的.2ki和nkr分别对ki和nkr的分光光轴启示如图1,在单轴晶体中,根据电磁波的边界条件有:入射波法线、反射波法线以及反射界面法线三者共平面,且入射角θki和反射角θkr满足关系nkrsinθkr=nkisinθki(1)nki和nkr分别为入射光和反射光波法线对应的折射率.按惯例,取no和ne为单轴晶体的主轴折射率,并令ζki和ζkr分别为e光的入射光波法线和反射光波法线与光轴的夹角.当为o光时,nki=nkr=no.当为e光时,nkA=nk(ζkA)=(cos2ζkAn2o+sin2ζkAn2e)-1/2(A=i或r)(2)下足码A=i和A=r分别对应入射光和反射光的有关参量(下同),这里光轴方向O′用图1中的直角坐标系下的方向余弦表示为O′=(cosα0,cosβ0,cosγ0).我们约定γ0≤π/2,并取界面法向为z轴正向,入射面为O-xz平面.2.1反射角kr当入射光为o光时,一般说来,反射光存在有两种不同的状态,一束为o光,一束为e光,两光的波法线方向一般来说是不一致的.当反射光为o光时,由式(1)有θkr=θki(3)即反射角等于入射角.当反射光为e光时,nki=no,由式(1)和(2)有(cos2ζkrn2o+sin2ζkrn2e)-1/2sinθkr=nosinθki(4)注意到几何关系cosζkr=cosα0sinθkr+cosγ0cosθkr(5)由式(4)可解得cotθkr=n2k(γ0)n2o[(n2on2e-1)cosα0cosγ0+none(n2en2k(γ0)1sin2θki-n2r(β0)n2e)1/2](6)式中n2k(γ0)=(cos2γ0n2o+sin2γ0n2e)-1(7)n2r(β0)=n2ocos2β0+n2esin2β0(8)由式(6)可以看出,反射角θkr不仅与入射角θki有关,还与晶体两主轴折射率的比值no/ne有关,与光轴的取向O′(α0,β0,γ0)有关.作为一种特殊情况,假若要求反射的e光波法线沿x方向行进,即θkr=π/2,则由式(6)可得o光波法线的入射角应满足sinθki=nk(α0)/no;而又因为sinθki<1,故应有必要条件no>ne成立.2.2反射光为e光时的反射角当入射光为e光时,双反射也可能发生.当反射光为o光时,由式(1)和(2),此时有反射公式nosinθkr=(cos2ζkin2o+sin2ζkin2e)-1/2sinθki(9)将几何关系式cosζki=cosα0sinθki-cosγ0cosθki(10)代入式(9)解得cotθkr=[n2on2k(γ0)cot2θki+2(n2on2e-1)cosα0⋅cosγ0cotθki+(1-n2on2e)sin2α0]-1/2(11)当反射光为e光时,由式(1)和(2)有(cos2ζkrn2o+sin2ζkrn2e)-1/2sinθkr=(cos2ζkin2o+sin2ζkin2e)-1/2sinθki(12)将式(5)和(10)代入上式解得cotθkr=cotθki+2(n2o-n2e)n2ecos2γ0+n2osin2γ0cosα0cosγ0(13)由此可见,当入射光为e光时,反射的e光的反射角一般不等于入射角.no≠ne时两角相等的条件是α0=π/2(即光轴平行于图1中的O-yz平面)或γ0=π/2(即光轴平行于反射界面).3光轴平行入射面存在的光学特性在单轴晶体中,对o光来说,光线的方向与波法线的方向是一致的;对e光而言,一般是不同的.但是,我们知道,e光波法线与伴随的e光光线以及光轴三者共一个平面,且波法线与光轴的夹角ζkA和光线与光轴的夹角ζrA之间满足下述关系:n2otanζrA=n2otanζkA(A=i或r)(14)由式(5)和(10)知道了e光波法线的入射角θki或反射角θkr后,就能求出e光入射波法线或反射波法线与光轴的夹角,从而求出相应的光线与光轴的夹角以及光线与z轴的夹角.一般情况下的求解本文不作详细讨论.作为特殊情况,下面具体讨论一下光轴平行入射面,且入射光和反射光均为e光的情况.如图2,令ζri、ζrr分别为入射光线和反射光线与光轴O′的正向夹角,θri和θrr分别为入射光线和反射光线与z轴的夹角.因为入射光线和反射光线此时也位于波法线的入射面内,这样β0=0,cosγ0=sinα0,并由图1和图2知,e光波法线和光线相应的角量关系为ζki=π/2-θki+α0ζkr=-π/2+θkr+α0(15)ζri=π/2-θri+α0ζrr=-π/2+θrr+α0(16)由式(13)和(15)可得入射光与反射光波法线与光轴的角量之间的关系为tanζkr=(n2e-n2ocot2α0)tanζki+2n2ecotα02n2ocotα0tanζki-(n2e-n2ocotα0)(17)故利用式(14)和(16)可得入射光与反射光光线与光轴的角量之间的关系为tanζrr=(n2e-n2ocot2α0)tanζri+2n2ocotα02n2ecotα0tanζri-(n2e-n2ocotα0)(18)同样由式(14)和(16)可得光线的反射角θrr与入射角θri之间的关系为tanθrr=tanθri-2n2o-n2en2r(α0)sinα0cosα0(19)最后要指出的是,光线的行迹遵从Fermat原理.由光线在晶体中满足的Fermat原理,可导出在单轴晶体内表面上光线反射时遵从的规律,从而反过来确定波法线所遵从的规律.当光轴平行入射面,且入射光和反射光均为e光时,可以