江苏省南京市江东中学2022年高三数学文模拟试题含解析

江苏省南京市江东中学2022年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（）A．

B．2C．

D．参考答案：C【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m，m），B（n，﹣），由2=，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==进行运算．

解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，

）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即?=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故选C．【点评】：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．2.若集合，集合，则M∩N=（

）A. B. C. D.参考答案：D由题意得，选D.3.设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=﹣x2+2}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．（1，2] C．[1，2） D．[1，2]参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，解得：x＞1，即A=（1，+∞），由B中y=﹣x2+2≤2，得到B=（﹣∞，2]，则A∩B=（1，2]，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.若,则A. B.

C.

D.参考答案：A5.实数，满足，则的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：D如图阴影部分，设，设阴影部分交点为，，，设，，，在处，取得最大值，，在处，取得最小值，，∴．故选．6.如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.若对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C考点：平面向量基本定理因为P在AB上，

;P在CD上，

;

P在AE或BF上，;

P在DE或CF上，

所以，综上可知当时，有且只有6个不同的点P使得成立。

故答案为：C7.已知A，B为抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两点，OA⊥OB(O为坐标原点)，若AB所在直线的斜率为，且与x轴交于(4，0)点，则抛物线C的方程为(

)A.y2＝2x

B.y2＝4x

C.y2＝8x

D.y2＝12x参考答案：B8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，则异面直线A1B1与AC1所成角的正切值为（

）A． B． C． D．参考答案：A在长方体中，直线与直线平行，则直线与所成角即为与所成角，在直角三角形中，，，所以，所以异面直线与所成角的正切值为．故选A．9.设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则a=

A.2

B.－2

C.

D.参考答案：B略10.设S={1，2，3}，M={1，2}，N={1，3}，那么（）∩（）等于（

）A、

B、{1，3}

C、{1} D、{2，3}参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP=__________参考答案：略12.已知等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）由题意，，得．

…………3分

，，，两式相减，得数列为等比数列，．

…………7分（Ⅱ）．

……………8分

……………13分

略13.若圆与圆的公共弦长为,则a=______参考答案：514.已知直线y＝a与函数及函数的图象分别相交于A,B两点，则A,B两点之间的距离为

．参考答案：15.设集合，，则

▲

．参考答案：

16.直三棱柱中，，AC=BC=1，，则直线与平面所成的角的正切值为_______________.参考答案：

解析：连结则为直线所成的角。

故17.在工程技术中，常用到双曲正弦函数和双曲余弦函数，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式

．参考答案：填入，，，四个之一即可．略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）令f′（1）=﹣1解出a，得出f（x）的解析式，在利用导数判断f（x）的单调性，得出最值；（II）令g′（x）=0有解且x0为g（x）的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h（x）=xf（x）+1+ax2，判断h（x）的单调性即可得出结论．【解答】解：（I）f′（x）=﹣2a，∵f（x）的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，∴f′（1）=1﹣2a=﹣1，即a=1．∴f（x）=lnx﹣2x，f′（x）=，令f′（x）=0得x=，当0时，f′（x）＞0，当x时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（）=﹣1﹣ln2．（II）g（x）=lnx﹣2ax+x2，g′（x）=x+﹣2a=，令g′（x）=0得x2﹣2ax+1=0，①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）无极值点，不符合题意；②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′（x）=0有两解x1，x0，∵x0是g（x）的极大值点，∴0＜x0＜x1，又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．又g′（x0）=x0+﹣2a=0，∴a=．∴x0f（x0）+1+ax02=x0lnx0﹣，设h（x）=xlnx﹣，则h′（x）=﹣x2++lnx，h″（x）=﹣3x+=，∴当0＜x＜时，h″（x）＞0，当x时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（）=ln＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x0）＞h（1）=0，即x0lnx0﹣＞0，∴x0f（x0）+1+ax02＞0．19.已知曲线C上任意一点P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣2的距离小1．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率k＞2的直线l过点F且交曲线C为A、B两点，当线段AB的中点M到直线l′：5x+12y+a=0（a＞﹣5）的距离为，求a的取值范围．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C为抛物线，即可求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）联立直线方程与抛物线方程，消去y，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，利用线段AB的中点M到直线l′：5x+12y+a=0（a＞﹣5）的距离为，用k表示a，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等∴由抛物线的定义得曲线C为抛物线，=1∴轨迹方程为：y2=4x．…4分（Ⅱ）由已知得直线l：y=k（x﹣1）（k＞2）联立直线方程与抛物线方程，消去y，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2）、M（x0，y0），则，∴于是点M到直线l′的距离为∴…由k＞2及a＞﹣5得：即a=﹣﹣﹣4=﹣10+由k＞2知＜∴﹣＜a＜﹣4∴由a＞﹣5得：a的取值范围为（﹣5，﹣4）．…12分20.直四棱柱的底面是菱形，，其侧面展开图是边长为的正方形.、分别是侧棱、上的动点，．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)在棱上，且，若∥平面，求.参考答案：⑴连接，因为是菱形，所以，

因为是直四棱柱，，，所以，因为，所以，

因为，所以……6分．

⑵连AC交BD与O，因为平面，所以EF//PO取中点，则，所以，所以为平行四边形，则，从而…12分21.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）先利用AC⊥BC，求出BC2=400﹣x2，再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．（2）先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可．【解答】解（1）由题意知AC⊥BC，BC2=400﹣x2，其中当时，y=0.065，所以k=9所以y表示成x的函数为（2），，令y'=0得18x4=82，所以x2=160，即，当时，18x4＜82，即y'＜0所以函数为单调减函数，当时，18x4＞82，即y'＞0所以函数为单调增函数．所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值．（注：该题可用基本不等式求最小值．）22.如图，在梯形ABCD中，，M为AD上一点，，.（1）若，求BC；（2）设，若，求.参考答案：（1）（2）【分析】(1)先由题中条件求出，再