数学人教A版选修2-3问题导学第二章2.1.2离散型随机变量的分布列

.2离散型随机变量的分布列问题导学一、离散型随机变量的分布列活动与探究1某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．迁移与应用1．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是__________．2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列．(2)求出赢钱的概率，即X＞0时的概率．(1)求离散型随机变量的分布列的步骤：①找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；②求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi；③列出表格．(2)求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：①确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．②在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．二、离散型随机变量分布列的性质活动与探究2设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表．求常数q．ξ－101P1－2qq2迁移与应用1．(2013山东济南模拟)设离散型随机变量X的概率分布列如下表：X1234Pp则p等于()A．eq\f(1,10)B．eq\f(2,10)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)2．设随机变量X的分布列P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1,2,3)，则P(X≥2)＝__________．利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．三、两点分布活动与探究3一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，,1，摸出红球.))求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求迁移与应用1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的分布列为__________．2．在购物抽奖活动的随机试验中，令X＝1表示中奖；X＝0表示不中奖．如果中奖的概率为0.6，试写出随机变量X的分布列．两点分布的几个特点：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)两点分布又称为0－1分布，应用十分广泛，如彩票抽取问题，婴儿性别问题，投篮是否命中问题等．(3)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．四、超几何分布活动与探究4某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．迁移与应用1．箱中装有50个零件，其中有40个是合格品，10个是次品，从箱子中任意拿出10个，其中的次品数为随机变量ξ，求ξ的分布列．2．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)概率分布列分布列pi，i＝1,2，…，n图象(2)①≥②1预习交流1(1)提示：①X23456789101112Peq\f(1,36)eq\f(1,18)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(5,36)eq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(1,9)eq\f(1,12)eq\f(1,18)eq\f(1,36)②P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(1,18)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,6)．(2)提示：2．P(X＝1)预习交流2提示：不服从两点分布，因为X的取值不是0或1．3．预习交流3提示：D课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：(1)先分析不进货包括哪些情况，再运用互斥事件的概率加法公式求出概率；(2)分析确定出X的可能取值，再用概率加法公式求出对应的概率．解：(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10)．(2)由题意知，X的可能取值为2,3．P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4)．故X的分布列为X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)迁移与应用1．X123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)解析：依题意可知，杯子中球的最多个数X的所有可能取值为1,2,3．当X＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当X＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当X＝3时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放三个球的情形．P(X＝1)＝eq\f(A\o\al(3,4),43)＝eq\f(3,8)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,4)·C\o\al(1,3),43)＝eq\f(9,16)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4),43)＝eq\f(1,16)．可得X的分布列为X123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)2．解：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；当取到1白1黑时，随机变量X＝1；当取到2黄时，X＝0；当取到1黑1黄时，X＝2；当取到2黑时，X＝4．则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4．P(X＝－2)＝＝eq\f(5,22)，P(X＝－1)＝＝eq\f(2,11)，P(X＝0)＝＝eq\f(1,66)，P(X＝1)＝＝eq\f(4,11)，P(X＝2)＝＝eq\f(4,33)，P(X＝4)＝＝eq\f(1,11)．从而得到X的分布列如下：X－2－10124Peq\f(5,22)eq\f(2,11)eq\f(1,66)eq\f(4,11)eq\f(4,33)eq\f(1,11)(2)P(X＞0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(4,11)＋eq\f(4,33)＋eq\f(1,11)＝eq\f(19,33)．∴赢钱的概率为eq\f(19,33)．活动与探究2思路分析：求常数q，利用各随机变量的概率和为1，列出q的方程即可求解，注意检验．解：由离散型随机变量分布列的性质可得，eq\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1±eq\f(\r(2),2)，又当q＝1＋eq\f(\r(2),2)时，1－2q＝－1－eq\r(2)＜0，∴q＝1＋eq\f(\r(2),2)舍去，∴q＝1－eq\f(\r(2),2)．迁移与应用1．D解析：由eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,10)＋p＝1，解得p＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)．2．eq\f(3,7)解析：由已知得随机变量X的分布列为X123Peq\f(k,2)eq\f(k,4)eq\f(k,8)∴eq\f(k,2)＋eq\f(k,4)＋eq\f(k,8)＝1，∴k＝eq\f(8,7)．∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(k,4)＋eq\f(k,8)＝eq\f(2,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(3,7)．活动与探究3思路分析：两问中X只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可．解：(1)由题意知P(X＝0)＝eq\f(3,7)，P(X＝1)＝eq\f(4,7)．∴X的分布列如下表：X01Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)由题意知P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(6,7)．∴X的分布列如下表：X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)迁移与应用1．X10P解析：用随机变量X表示“每次罚球所得分值”，根据题意，X可能的取值为0,1，且取这两个值的概率分别为0.3，0.7，因此所求的分布列是X10P2．解：购物抽奖活动中，是否中奖只有两个结果，即中奖和不中奖，因为中奖的概率为0.6，所以根据分布列的性质，得不中奖的概率为0.4，其分布列为X10P活动与探究4思路分析：(1)根据频率分布直方图可得重量超过505克包含(505,510]，(510,515]两个区间，由对应小矩形的高及组距求出频率，频率与样本容量的乘积即为所求；(2)分析可知Y服从超几何分布，分布列易求．解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为40×××5)＝40×0.3＝12．(2)Y的可能取值为0,1,2，且Y服从参数为N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布，故P(Y＝0)＝＝eq\f(63,130)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(Y＝2)＝＝eq\f(11,130)．所以Y的分布列为Y012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)迁移与应用1．解：ξ可能取的值为0,1,2，…，10．由题意知P(ξ＝m)＝eq\f(C\o\al(m,10)C\o\al(10－m,40),C\o\al(10,50))(m＝0,1,2，…，10)．∴ξ的分布列为ξ01…k…10Peq\f(C\o\al(0,10)C\o\al(10,40),C\o\al(10,50))eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(9,40),C\o\al(10,50))…eq\f(C\o\al(k,10)C\o\al(10－k,40),C\o\al(10,50))…eq\f(C\o\al(10,10)C\o\al(0,40),C\o\al(10,50))2．解：X的可能取值为1,2,3，X＝1表示取出的3个球中有1个白球2个黑球，此时的概率P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(3,28)；X＝2表示取出的3个球中有2个白球1个黑球，此时的概率P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)；X＝3表示取出的3个球中有3个白球0个黑球，此时的概率P(X＝3)＝＝eq\f(5,14)，其分布列为X123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)当堂检测1．随机变量X的分布列如下，则m等于()X1234PmA．B．C．D．答案：D解析：由分布列性质得＋m＋＋＝1，∴m＝．2．某射手射击所得环数X的分布列如下：X45678910P则此射手“射击一次命中环数大于7”A．0.28B．0.88答案：C3．为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛．某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人．现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于的是()A．P(X＝2)B．P