数学人教B版必修5学案课堂探究2.1.1数列

课堂探究一、对数列通项公式的理解剖析：(1)数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如eq\r(2)的不足近似值，精确到1，0．1，0．01，0．001，0．0001，…，所构成的数列1，1．4，1．41，1．414，1．4142，…就没有通项公式．(4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，正如数列：－1，1，－1，1，－1，1，…，它可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n为奇数，,1，n为偶数，))还可以写成an＝(－1)n＋2(n＝1，2，3，…)等，这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一．二、函数思想在数列中的应用剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决．(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合．(2)数列的通项公式是项an与项数n的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值an与自变量n的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单．(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化．(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求数列的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了．总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果．三、教材中的“思考与讨论”是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于5的函数)剖析：存在这样的数列，如an＝－eq\f(1,n)，an＝5－eq\f(2,n)等均满足条件．题型一数列的概念【例1】下列哪些表示数列？哪些不表示数列？(1){1，5，2，3，6，7}；(2)方程x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝0的解；(3)f(x)＝x2－x＋2的函数值f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)；(4)当x＝1时，x，x＋1，x－2，x2，2x的值；(5)－3，－1，1，x，5，7，y，11．分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列．解：(1){1，5，2，3，6，7}表示的是一个数集，而不是数列；(2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列；(3)f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x＝1时，x，x＋1，x－2，x2，2x都是一些数，而且具有顺序，故是数列；(5)当x，y表示数时为数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列．反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的．题型二根据通项公式求项【例2】根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项．(1)an＝eq\f(n,2n＋1)；(2)an＝3n＋2n．分析：已知数列的通项公式，依次用1，2，3，…代替公式中的n，便可以求出数列的各项．解：(1)在通项公式an＝eq\f(n,2n＋1)中，依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a1＝eq\f(1,2×1＋1)＝eq\f(1,3)，a2＝eq\f(2,2×2＋1)＝eq\f(2,5)，a3＝eq\f(3,2×3＋1)＝eq\f(3,7)，a4＝eq\f(4,2×4＋1)＝eq\f(4,9)，a5＝eq\f(5,2×5＋1)＝eq\f(5,11)．(2)在通项公式an＝3n＋2n中，依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a1＝3×1＋21＝5，a2＝3×2＋22＝10，a3＝3×3＋23＝17，a4＝3×4＋24＝28，a5＝3×5＋25＝47．反思：数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值．题型三由数列的前几项写通项公式【例3】分别写出下列数列的一个通项公式：(1)－1eq\f(1,4)，3eq\f(2,9)，－5eq\f(3,16)，7eq\f(4,25)，－9eq\f(5,36)，…；(2)4，－eq\f(5,2)，2，－eq\f(7,4)，…；(3)5，55，555，5555，…；(4)1，1，eq\f(5,7)，eq\f(7,15)，eq\f(9,31)，…；(5)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r(3)，…．分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可．解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(－1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1，3，5，7，9，为奇数，分数的分子是1，2，3，4，5，正好是序号，分母是4，9，16，25，36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的通项公式为an＝(－1)neq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2n－1)＋\f(n,(n＋1)2)))．(2)将数列前4项改写成分数的形式：eq\f(4,1)，－eq\f(5,2)，eq\f(6,3)，－eq\f(7,4)，可得该数列的通项公式an＝(－1)n＋1eq\f(n＋3,n)．(3)由于9，99，999，9999，…的通项公式是10n－1，所以将题中数列各项改写可得：5＝eq\f(5,9)×9，55＝eq\f(5,9)×99，555＝eq\f(5,9)×999，5555＝eq\f(5,9)×9999，可得该数列的通项公式an＝eq\f(5,9)(10n－1)．(4)原数列可写成：eq\f(1,1)，eq\f(3,3)，eq\f(5,7)，eq\f(7,15)，eq\f(9,31)，…，得该数列的通项公式为an＝eq\f(2n－1,2n－1)．(5)原数列可写成eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，eq\r(3×9)，…，得该数列的通项公式为an＝eq\r(3×(2n－1))．反思：常见数列的通项公式如下：①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是an＝(－1)n；②数列1，2，3，4，…的通项公式是an＝n；③数列1，3，5，7，…的通项公式是an＝2n－1；④数列2，4，6，8，…的通项公式是an＝2n；⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是an＝2n－1；⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是an＝n2；⑦数列eq\f(1,1)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…的通项公式是an＝eq\f(1,n)；⑧数列1，3，6，10的通项公式是an＝eq\f(n(n＋1),2)．题型四判断数列的增减性【例4】已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x)．数列{an}满足f(an)＝－2n，且an＞0．(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的增减性．分析：先根据已知条件解方程求an，然后利用作差或作商法判断数列{an}的增减性．解：(1)∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，f(an)＝－2n，∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(2,n)＋2nan－1＝0，解得an＝－n±eq\r(n2＋1)，∵an＞0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n．(2)解法一(作差法)：∵an+1－an＝eq\r((n＋1)2＋1)－(n＋1)－(eq\r(n2＋1)－n)＝eq\r((n＋1)2＋1)－eq\r(n2＋1)－1＝－1＝eq\f((n＋1)＋n,\r((n＋1)2＋1)＋\r(n2＋1))－1，又eq\r((n＋1)2＋1)＞n＋1，eq\r(n2＋1)＞n，∴eq\f((n＋1)＋n,\r((n＋1)2＋1)＋\r(n2＋1))＜1．∴an+1－an＜0，即an+1＜an．∴数列{an}是递减数列．解法二(作商法)：∵an＞0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(\r((n＋1)2＋1)－(n＋1),\r(n2＋1)－n)＝eq\f(\r(n2＋1)＋n,\r((n＋1)2＋1)＋(n＋1))＜1．∴an+1＜an．∴数列{an}是递减数列．反思：数列{an}增减性的判定方法：(1)作差比较法①若an+1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；②若an+1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列；③若an+1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．(2)作商比较法eq\f(an＋1,an)＞10＜eq\f(an＋1,an)＜1eq\f(an＋1,an)＝1an＞0递增数列递减数列常数列an＜0递减数列递增数列常数列题型五数列与函数的联系【例5】设函数f(x)＝log2x－logx4(0<x<1)，数列{an}的通项an满足f(2an)＝2n(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式．(2)数列{an}中有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由．分析：第(1)问可用代入法求得an的关系式，再通过解方程求得an．第(2)问可利用函数的单调性来判断．解：(1)由已知，得log2－log2an4＝2n，即an－eq\f(2,an)＝2n，即aeq\o\al(2,n)－2nan－2＝0，解得an＝n±eq\r(n2＋2)．又0<x<1，∴0<<1．故an<0(n∈N＋)，∴an＝n－eq\r(n2＋2)(n∈N＋)．(2)有．∵eq\f(an＋1,an)＝eq\f((n＋1)－\r((n＋1)2＋2),n－\r(n2＋2))＝eq\f(n＋\r(n2＋2),n＋1＋\r((n＋1)2＋2))<1，又an<0，∴an＋1>an(n∈N＋)，即a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，∴数列的最小项为第1项，a1＝1－eq\r(3)．反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数，判断数列随n增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同．题型六易错辨析【例6】已知在数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，3)C．(－∞，2)D．(－∞，3]错解：因为an是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，故若{an}递增，则必有eq\f(k,2)≤1，故k≤2．故选A．错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数