2022-2023学年广东省茂名市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省茂名市高一下学期期中数学试题一、单选题1．设复数满足，则它的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．【详解】，复数的虚部为．故选：B．2．关于向量，，下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】B【分析】利用向量的概念可判断ABD选项，取可判断C选项.【详解】对于A选项，若，但、不一定相等，A错；对于B选项，若，则，B对；对于C选项，取，则，成立，但、不一定共线，C错；对于D选项，若，但、不能比较大小，D错.故选：B.3．在中，，则中最小的边长为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】易得，再根据正弦定理计算最小角的对边即可.【详解】由题意，，故中最小的边长为.由正弦定理，故.故选：B4．已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为7，从而可求出其侧面积．【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为7，所以该圆柱的侧面积为．故选：B．5．已知点，向量，则向量等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出，从而根据，即可求出向量的坐标．【详解】由题意，点，所以，则，故选:A．6．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，作出原平面图形，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案．【详解】根据题意，作出原图，

由斜二测画法，在原图中，，，所以，故的周长为.故选：C．7．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【分析】利用可得到，然后分和两种情况进行讨论即可求解【详解】∵，∴，∴，①当时，，为直角三角形．∵，，∴；②当时，则有，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，综上，或．故选：C．8．在边长为1的正六边形中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解.【详解】延长交于点，过过交于，过过交于，过过交于，在中，，在中，，易得所以是等边三角形，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为，其中，所以，因为，所以，所以，当点与点重合时，此时,取得最大值为；当点与点重合时，此时，取得最小值为，的取值范围是．故选：B二、多选题9．已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（

）A．z的模等于13 B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为 D．若是纯虚数，则【答案】BD【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解.【详解】解：由题意得：对于选项A：，故A错误；对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为，位于第四象限，故B正确；对于选项C：根据共轭复数的定义z的共轭复数为，故C错误；对于选项D：，若是纯虚数，则，解得：，故D正确.故选：BD10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则向量在上的投影向量为D．若，则向量与的夹角为锐角【答案】BC【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB选项，根据投影向量定义可得判断C选项，由可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.【详解】解：已知平面向量，，，对于A，若，可得，即，解得，所以A选项错误；对于B，若，根据平面向量共线性质，可得，即，所以B选项正确；对于C，若，则，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，所以C选项正确；对于D，若，则，所以；但当时，，此时向量与的夹角为，所以D选项错误；故选：BC.11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（

）A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的侧面积为D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为【答案】ACD【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D.【详解】对于，由，且，可得，高，则圆台轴截面的面积为，故A正确；对于B，圆台的体积为，故B错误；对于C，圆台的体积为，故C正确；对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角．设的中点为，连接，可得，则．所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．故选：ACD．12．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A，结合内角和定理和条件及余弦函数的性质判断B，C，由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，又为锐角三角形，所以，，所以，正弦函数在上单调递增，所以，所以，A正确；因为为锐角三角形，所以，，，所以，，，所以，B正确；因为，所以，所以，所以，因为，所以，C错误；因为，由余弦定理可得，所以，所以，D正确，故选：ABD.三、填空题13．设，向量，，且，则．【答案】【分析】利用两个向量共线的性质，求出的值，再由两个向量和的坐标运算，利用模长公式计算.【详解】，向量，，且，，，向量，，．故答案为：．14．复数的共轭复数是．【答案】/【分析】先根据复数的除法求z，再根据共轭复数的概念求解.【详解】由题意可得：，故z的共轭复数是1＋i.故答案为：1＋i.15．已知平面四边形ABCD中，，，，且是正三角形，则的值为．【答案】2【分析】根据图形由数量积的运算律直接求解即可.【详解】由已知可得故答案为：2四、双空题16．如图，为边长为2的正的重心，，为的外心，则;的面积为.【答案】【分析】由题意易知的外心为斜边的中点，在三角形中利用余弦定理及三角形面积公式得到结果.【详解】连接，则，∵，，，∴，∴，∴，∴的外心为斜边的中点，∴三点共线，且，又，在中，，∵为正的重心，∴，又∵为的外心，∴，∴是等边三角形，∴，∴，在中，由余弦定理可得，根据三角形面积公式，故答案为：，.五、解答题17．已知复数，是实数．(1)求复数；(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用复数的运算法则，再结合条件即可求出结果；（2）由（1）知，，再求出，根据复数在复平面内所表示的点在第二象限，得到关于的不等式组，解出即可．【详解】（1）因为，所以，因为是实数，所以，解得，故；（2）由（1）知，，所以，故在复平面内所表示的点为，又复数在复平面内所表示的点在第二象限，所以，解得：，故实数的取值范围是．18．（1）已知，，若，求实数的值．（2）已知平面向量，满足：，，，求与的夹角的大小．【答案】（1）；（2）【分析】（1）可根据的坐标求出：，然后根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值；（2）根据进行数量积的运算可求出的值，然后即可求出的值，从而可得出的夹角．【详解】（1），又，可得，，解得；（2），，，，且，．19．在中，角的对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若的面积为，，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；（2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长.【详解】（1）由正弦定理得：，，，，，则.（2），，由余弦定理得：，解得：，的周长.20．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时，求：(1)堑堵的侧棱长；(2)鳖臑的体积；(3)阳马的表面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设堑堵的侧棱长为，根据阳马体积等于求解即可；（2）根据棱锥的体积计算即可；（3）分别计算的侧面积与底面积即可【详解】（1）因为，，，所以．所以△为直角三角形．设堑堵的侧棱长为，则，则，所以，所以堑堵的侧棱长为．（2）因为，所以．所以鳖臑的体积为．（3）因为，，，，，所以阳马的表面积的表面积为．21．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】（1）索道AB的长为1040m；（2）t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.【详解】试题分析：（1）在△ABC中，由cosA和cosC可得sinA根和sinC，从而得sinB，由正弦定理，可得AB；（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，由余弦定理得d2＝200(37t2－70t＋50)，结合二次函数即可得最值.试题解析：（1）在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.

从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.

由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm

所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．实际应用题一般是关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，转化为数学模型，列出数学表达式