2022-2023学年广东省五校联盟（茂名市等）高一年级下册学期期末联考数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省五校联盟（茂名市等）高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先对化简，然后求出复数，从而可求出的共轭复数在复平面内对应的点，进而可得答案.【详解】由，得，所以，对应的点为.的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.2．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，将集合分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.【详解】由题意得，，，所以.故选：B.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由条件可得，然后由中间量“0”，“1”即可得到结果.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A.4．在平行四边形中，是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】用表示，根据计算求解即可．【详解】因为，是线段的中点，所以.故选：D.5．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式.以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之，为实.一为从隅开方得积.如果把以上这段文字写成公式，就是：.在中，已知角所对边长分别为，其中为棱长为的正方体的体对角线的长度，为复数的模，为向量的模，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知求出，然后代入公式计算即可.【详解】因为为棱长为的正方体的体对角线的长度，为复数的模，为向量的模，所以，所以.故选：C.6．把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为，内切球的表面积为，外接球的表面积为，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆柱的轴截面分析可得，，进而结合表面积公式运算求解.【详解】设圆柱的母线长为，内切球的半径为，外接球的半径为，则其轴截面如图所示，则，，则，所以.故选：C.

7．为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（

）A．若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8B．若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4C．若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4D．若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为10【答案】B【分析】根据分层样本的平均数公式和方差公式分别计算两组数据的总体的平均数或方差即可判断.【详解】设甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为，混合后的新数据的平均数为，方差为，则，对于，新的一组数据平均数，故A正确；对于，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式，可知无法确定新的一组数据方差，故B错误；对于C，因为乙组数据的平均数为8，方差为4，即，所以，所以，故C正确；对于D，因为乙组数据的平均数为4，方差为8，即，所以，所以10，故D正确.故选：B.8．巴普士（约公元世纪），古希腊亚历山大学派著名几何学家.生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存下来.《数学汇编》一共卷，在《数学汇编》第卷中记载着这样一个定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，表示闭合图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知在四边形中，于点，，，，利用上述定理可求得四边形的重心到点的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】计算出四边形分别绕、旋转一周所形成的几何体的体积，并计算出四边形的体积，根据题意分别计算出重心到的距离、重心到的距离的值，即可得出的长.【详解】由题意得四边形为上底边的长为，下底边的长为，高为的直角梯形，为两个直角边长分别为和的直角三角形，所以四边形的面积为，四边形绕旋转一周所得几何体的体积为，设重心到的距离为，则，解得；过点作直线，垂足为点，如下图所示：

因为，，，故四边形为矩形，所以，，，所以，，四边形绕旋转一周所得几何体为以直角梯形绕着直角腰旋转所形成的圆台中挖去一个以为底面圆半径，高为的圆锥，所以，四边形绕旋转一周所形成的几何体的体积为，设重心到的距离为，则，所以，所以.故选：C.二、多选题9．我国经济结构处于转型升级阶段，当前的汽车保有量仍处于较低水平，未来增量市场发展空间依旧广阔.根据公安部数据统计，截至2022年末，我国汽车保有量达到3.19亿辆.因此，无论是从增量维度还是存量维度，我国消费者需求足以推动着市场继续发展.下图为2015-2022年全国汽车保有量及增长率情况，则（

）

A．2015-2022年全国汽车保有量的极差大于一亿辆B．2016-2022年全国汽车保有量的中位数大于2.5亿辆C．2016-2022年全国汽车保有量的增长率平均值低于D．2016-2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，一定能说明每年买汽车的人越来越少【答案】AB【分析】根据极判断A；根据中位数为2019年的汽车保有量判断B，根据平均数范围判断C；根据保有量的增长率逐年降低，但汽车保有量是逐年增加判断．【详解】2015-2022年全国汽车保有量最多为2022年，超过3亿辆，最少为2015年，大约1.7亿辆，极差大于一亿辆，故A正确；2016-2022年全国汽车保有量的中位数为2019年的汽车保有量，由图知大于2.5亿辆，故B正确；2016-2022年全国汽车保有量的增长率前三个数据大于，两个大于或等于，一个在，一个在，故平均数大于，故C错误；虽然2016-2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，但汽车保有量是逐年增加的，另外还有每年报废一部分的汽车，所以不一定能说明每年买汽车的人越来越少，故错误.故选：AB.10．下列命题为真命题的是（

）A．的三个内角所对应的边分别是，若，则B．若角是锐角的三个内角，则C．若幂函数的图象过点，则D．若，则的最小值为2【答案】AC【分析】对于A，利用诱导公式和正弦定理分析判断，对于B，利用诱导公式分析判断，对于C，设，将代入可求出，从而可求出解析式，对于D，利用基本不等式分析判断.【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，根据正弦定理得，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，设，则，得，所以，故C正确；对于D，，当且仅当时，即时等号成立，故D错误.故选：AC.11．已知为坐标原点，点，，，则（

）A．B．C．若，则D．若，则【答案】ACD【分析】利用诱导公式化简、，即可表示出，，，，再根据平面向量坐标运算及和（差）角公式一一判断即可.【详解】，，，，，，，，因为，，所以，故A正确；因为，故B错误；若，则，即，所以，故C正确；若，则，即，故D正确.故选：ACD.12．在正方体中，点分别是棱的中点，点是棱上的动点，则（

）A．直线与直线交于一点B．点满足时，异面直线与所成的角的余弦值为C．点满足时，平面D．当点满足时，直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【分析】对于，连接，易得四边形为梯形判断；对于，取棱的中点，连结，取的中点，连接，易得（或补角）为异面直线与所成的角判断；对于，连接，易得平面与平面为同一个平面，再由垂直于同一直线的两个平面平行判断；对于D，结合平面，取的中点，连接，易得为所求的角判断.【详解】对于，如图所示：连接，由于点分别是棱的中点，故，在正方体中，，故，且，故四边形为梯形，故直线与直线交于一点，故正确；对于，如图所示：取棱的中点，连结，则，又取的中点，连接，则，所以（或补角）为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为6，则，由余弦定理得，故B正确；对于，如图所示：连接，则，又，所以，故平面与平面为同一个平面，平面，若平面，则平面平面，这与平面平面矛盾，故C错误；对于D，如图所示：由选项的证明知，平面，设正方体的棱长为6，则，故点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，取的中点，连接，则平面，所以，所以直线与所成的角的正弦值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．某染发剂生产厂家生产了一种新型植物染发剂，现在有35000名女性，21000名男性用了此染发剂.销售科为了了解使用过的顾客对此染发剂的评价，决定按性别比例抽取80名顾客做调查，则应抽取女性名.【答案】50【分析】根据题意，由分层抽样的计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】，故为50名.故答案为：50.14．已知函数，若复数是纯虚数，则.【答案】【分析】先根据纯虚数求出m,再应用分段函数求值即可.【详解】若复数是纯虚数，则，所以，所以.故答案为:.15．如图，有一底面边长为，高为的正六棱柱形粮仓，侧面的中心点为，此时一只蚂蚁正在处，它要沿棱柱侧面到达所经过的最短路程是.

【答案】【分析】将此棱柱沿剪开，侧面的中心在上的投影为，由题意可知在展开图中的长是所求的最短路程.【详解】如图，将此棱柱沿剪开，其展开图为一个长为，宽为的矩形，侧面的中心在上的投影为，所以若要最短，应沿着侧面走直线到处，由图可知，，所以.故答案为：.

16．已知均是单位向量，若不等式对任意实数都成立，则与的夹角的最小值是.【答案】【分析】根据模长公式平方转化为数量积，再应用二次函数恒非负对判别式的要求求解计算向量夹角可得.【详解】不等式对任意实数都成立，即对任意实数都成立，即对任意实数都成立，因为均是单位向量，所以上式可整理为对任意实数都成立，所以，即，所以，得，所以，得与的夹角的最小值为.故答案为：.四、解答题17．已知向量满足.(1)求；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得结果；（2）因为平行求出，再根据向量的数量积求出模长，最后应用二次函数的最值求出模长最值.【详解】（1）由，得，同相减得，，代入中，得.所以，所以.（2）因为，所以，所以当时，取最小值.18．如图，底面边长为6的正三棱锥的表面积为，点分别满足，平面交于点.(1)判断点的位置，并证明；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，由线面平行的性质定理即可得到结果；（2）取的中点，连接，然后由三棱锥的表面积即可得到的长，再结合棱锥的体积公式，即可得到结果.【详解】（1）；证明如下：又平面平面，平面，又平面，平面平面，.（2）取的中点，连接，则，令，此三棱锥的表面积为，得，因为三棱锥为正三棱锥，所以S在底面的投影为的中心，连接，所以，所以，.19．在①分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，且满足______.(1)求角；(2)已知，当取最小值时，求内切圆的半径.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，由三角形的面积公式结合余弦定理，即可得到结果；若选②，由向量数量积的运算律结合三角形的面积公式即可得到结果；若选③，由正弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理与基本不等式化简，然后结合正弦定理即可得到结果.【详解】（1）选①依题意即，由余弦定理.选②由题意，得.，即，.选③，由正弦定理得，，，，可得，因为，所以.（2）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，，设内切圆的半径为，则，所以所以内切圆的半径为.20．深州蜜桃，又称“贡桃”，是河北省深州市的特产，中国国家地理标志产品，因其个头硕大，果型秀美，色泽鲜艳，皮薄肉细，汁甜如蜜，深受老百姓的喜欢.深州市某蜜桃种植村从该村某种植户的蜜桃树上随机摘下了200个蜜桃进行测重，测得其质量（单位：克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图，利用样本估计总体的思想，同一组中的数据用该组区间中点值作代表.(1)求出直方图中的值，估计该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数和第75百分位数（第75百分位数精确到0.01）；(2)已知该种植户的蜜桃树上大约还有10000个蜜桃待出售，现有甲､乙两个收购商要与该种植户签订合同：甲收购商：所有蜜桃均以40元/千克收购；乙收购商：质量低于200克的蜜桃不收购，质量落在区间内的以8元/个的价格收购，质量落在区间内的以14元/个的价格收购，质量落在区间内的以24元/个的价格收购，质量落在区间内的以36元/个的价格收购，质量高于或等于600克的以50元/个的价格收购.请你通过计算，帮助该种植户确定应与哪个收购商签订合同.【答案】(1)，平均数为365，第75百分位数为433.33(2)应与乙收购商签订合同【分析】（1）先根据频率分布直方图频率和为1求出，再应用频率分布直方图求百分位数求解即得；（2）分别按照加以两个收购商计算总收益比较计算即可.【详解】（1）由，得.由题中频率分布直方图可知，蜜桃质量在区间的频率为，同理，蜜桃质量在区间，的频率依次为，所以平均数为因为所以第75百分位数在第4组，设第75百分位数为，则，解得，所以该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数为365，第75百分位数为433.33.（2）若按甲收购商的方案收购：由（1）可知每个蜜桃的平均质量为365克，所以这10000个蜜桃大约重3650千克，于是总收益为（元）.若按乙收购商的方案收购：由题意知各区间的蜜桃个数