《高等应用数学》016-0（曾慧平）课件 02-第二章 导数与微分

高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07导数与微分第2章2.1导数的概念2.2导数的运算2.3高阶导数2.4隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数2.5

函数的微分导学4本章将在函数和极限的基础上介绍微分学的两个基本概念：导数与微分。我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度（即函数的变化率），以及当自变量发生微小变化时函数的近似改变量。这两个问题就是我们本章所要讨论的主要内容——导数与微分。导学学习目标5理解导数的定义、几何意义；理解函数可导性与连续性的关系；掌握函数的和、差、积、商的求导法则；掌握反函数的求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的导数公式；理解高阶导数的概念；会求二阶导数和n阶导数；理解隐函数的概念，掌握隐函数的一般求导法与对数求导法；会求由参数方程所确定的函数的导数；理解微分的概念、几何意义；掌握微分的求解方法掌握微分在近似计算中的应用。素质目标6提高逻辑思维、辩证思维和创新思维能力。学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。弘扬实事求是、一丝不苟的科学精神。导数的概念2.12.1.1导数的定义8引例1速度问题设某物体做变速直线运动，运动方程为s=s(t)，现在求该物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)。物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为：

当时间t由t0变到t0+Δt时，物体的路程s(t)由s(t0)变到s(t0+Δt)，路程的增量Δs为：Δs=s(t0+Δt)-s(t0)2.1.1导数的定义9引例1速度问题

2.1.1导数的定义10引例2切线问题如图所示，设函数y=f(x)的图形为曲线L，在曲线L上取一定点M(x0,y0)，再取一动点N(x0+Δx,y0+Δy)，作割线MN。当点N沿着曲线L无限接近于点M时割线MN的极限位置MT就是曲线L在点M处的切线要确定切线MT只要确定曲线L在点M处的切线斜率kMT即可。2.1.1导数的定义11引例2切线问题

2.1.1导数的定义12

定义1

也可记作：

x=x0x=x0x=x02.1.1导数的定义13

若令x=x0+Δx，则当Δx→0时，有x→x0，故函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)也可以表示为

2.1.1导数的定义14极限定义2

函数y=f(x)在点x0处的左导数f’-(x0)函数y=f(x)在点x0处的左导数f’+(x0)函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件是函数y=f(x)在点x0处的左、右导数都存在且相等。2.1.1导数的定义15函数y=f(x)在区间（a,b）内每一点都可导，则称y=f(x)在区间（a,b）内可导。这时，对于任一x∈（a,b）,都对应着f(x)的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，该函数为函数f(x)的导函数，记作f’(x),即定义3

也可记作：

或

2.1.2导数的几何意义16由切线问题的讨论及导数的定义可知，函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0),在几何上表示曲线y=f(x)在点M（x0，y0）处的切线斜率，即f’(x0)=tanα其中α是切线的倾斜角，如图所示。2.1.2导数的几何意义17若f’(x0)≠0，则由直线的点斜式方程可知，曲线y=f(x)在点M（x0，y0）处切线方程为:法线方程为：

若f’(x0)=∞，则切线垂直于x轴，切线方程为：x=x0若f’(x0)=0，则法线垂直于x轴，法线方程为：x=x02.1.2导数的几何意义18

例1解：

2.1.3求导数举例19

2.1.3求导数举例20求f(x)=C(C为常数)的导数。例2

以上例子说明，常数函数的导数等于0。解：2.1.3求导数举例21求y=x2的导数。例3

解：一般地，对幂函数y=xu(u∈R)，有如下求导公式：

2.1.3求导数举例22求函数y=sinx的导数。例4

解：即：

用类似的方法，可求得：

2.1.3求导数举例23求函数y=lnx的导数。例5

解：即：

2.1.4函数可导性与连续性的关系24定理如果函数y=f(x)在点x0处可导，则函数y=f(x)在点x0处一定连续。

例6证：

课堂小结25导数的定义导数的几何意义求导数举例函数可导性与连续性的关系导数的运算2.22.2.1函数的和、差、积、商的求导法则27

定理1（1）（u±v)’=u’±v’。（2）（uv)’=u’v+uv’。

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则28求下列函数的导数。例1

(1)y'=(3x²-2x+1)'=(3x²)-(2x)'+1'=3(x²)'-2x'=6x-2

解：解：2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则29求y=tanx的导数

。例2

解：解：2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则30求y=tanx的导数

。例2解：

即，用类似的方法，还可以得到下列导数公式：

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则31设函数y=xtanx-2secx，求y’

。例3解：

例4根据对数的换底公式有解：

2.2.2反函数的求导法则32若函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导，且f’(y)≠0，则它的反函数y=f-l(x)在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导，且有定理2

或

2.2.2反函数的求导法则33求y=ax(a>0,a≠1)的导数。例5解：

所以

,即

2.2.3复合函数的求导法则34定理3复合函数求导法则若u=φ(x)在x处可导，函数y=f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也可导，并且

或记作

2.2.3复合函数的求导法则35

例6解：因为y=sin2x是由y=sinu，u=2x复合而成的，所以

例7

2.2.3复合函数的求导法则36

例8解：

例9解：

例10解：

2.2.4导数公式37（1）(C)’=0（2）(xu)’=uxu-1（3）(ax)’=axlna(a>0,a≠1)（4）(ex)’=ex（8）(cosx)’=-sinx（10）(cotx)’=-csc2x（12）(cscx)’=-cscxcotx常数函数和一些基本初等函数的导数公式：课堂小结38函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则导数公式高阶导数2.32.3.1高阶导数的概念40定义

类似地，二阶导数的导数称为函数f(x)的三阶导数；三阶导数的导数称为函数f(x)的四阶导数；······；（n-1）阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数．它们可分别记作y’’,y(4),···,y(n)也可分别记作f’’’(x),f(4)(x),···,f(n)(x)二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。2.3.2高阶导数的计算41设函数y=x4+x3-x2+1，求y”。例1解：

设函数y=e-xcos2x，求y”。例2解：y’=-

e-xcos2x-2e-xsin2x

2.3.2高阶导数的计算42设函数y=sinx，求y(n)

。例3解：

依此类推，可得

即

2.3.2高阶导数的计算43设函数y=ln(x-1)(x>1)，求y(n)

。例5解：设函数y=ex，求y(n)

。例4y’=ex,y’’=ex,···,y(n-1)

=ex,y(n)

=ex

依此类推，可得解：

(n=1,2,3···)课堂小结44高阶导数的概念高阶导数的计算隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数2.42.4.1隐函数的导数461.隐函数的概念显函数等号左端是因变量的符号，右端是含有自变量的式子，这种形式的函数。如y=x2+3。隐函数如方程x+y3-1=0也表示一个函数因为当变量x在（-∞，+∞）内取值时变量y有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数。2.4.1隐函数的导数471.隐函数的概念一般地，如果变量x,y满足一个方程F(x,y)=0在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足此方程的唯一的y值存在那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。2.4.1隐函数的导数482.隐函数求导对隐函数求导时，可以先将隐函数化成显函数（称为隐函数的显化），再求导。隐函数求导的一般方法将方程F(x,y)=0两边同时对x求导,遇到y时,把y看成x的函数y=f(x)，利用复合函数的求导法则,先对y求导，再乘以y对x的导数y’，得到一个含有y’的方程，由此解出y’即可。2.4.1隐函数的导数49

例1解：

例2解：

由上式解出y’便得到隐函数的导数，即

2.4.1隐函数的导数503.对数求导法先将y=f(x)两边同时取对数，再利用隐函数求导的一般方法进行求解导数的方法为对数求导法。求y=xsinx(x>0)的导数。例3解：

方程两边同时取对数，得

将上式两边同时对x求导，得

2.4.1隐函数的导数51

例4解：

方程两边同时取对数，得

将上式两边同时对x求导，得

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数52

即

或

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数53

例5解：因为所以

y’(t)=bcost，x’(t)=-asint，2.4.2由参数方程所确定的函数的导数54

例6解：因为

所以

因此，摆线在点P处的导数为

，即摆线在点P处的切线斜率为1。

即

课堂小结55隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数函数的微分2.52.5.1微分的概念57引例1

58

2.5.1微分的概念59

2.5.1微分的概念

602.5.1微分的概念函数的微分

从而有

由上式和微分定义可知，导数等于函数的微分与自变量的微分之商，因此导数也称为微商。612.5.1微分的概念

例1解：

函数y=x3在任一点x处的微分为

例2解：

622.5.2微分的几何意义

过点P作曲线的切线PT，它的倾角为α，则

63

2.5.2微分的几何意义642.5.3微分的运算1.函数的和、差、积、商的微分法则（1）d（u±v)=du±dv。（2）d（uv)=udv+vdu。

（3）d（Cu)=Cdu（C为常数）

。652.5.3微分的运算2.复合函数的微分法则由微分的定义可知，当u是自变量时，函数y=f(u)的微分是

662.5.3微分的运算设函数y=sin(1+2x3)，求dy。例3解：方法1：直接应用微分公式dy=y’dx计算，则有

方法2：把(1+2x3