概率论与数理统计（第6章）

第6章参数估计对总体的分布或分布的数字特征等做出统计推断。本章所要探讨的是这样一类问题，即在总体所服从的分布类型已知的条件下，估计某些未知的参数，如数学期望、方差等.这类问题称为参数估计.参数估计的方式有两种，一种是参数的值估计(点估计),另一种是参数的范围估计(区间估计).对于这类问题，关键是构造合理的方法将这些未知参数估计出来.第6章参数估计用一个数值来估计某个参数，这种估计就是点估计，例如，要考察某城市拥有用一个数值来估计某个参数，这种估计就是点估计，例如，要考察某城市拥有汽车的家庭所占的比例，抽查了1000个家庭，然后估计出这个比例值为0.28,这个值就是“比例”这个未知数的点估计.称为θ的点估计值.在不至于混淆的情况下，估计量和估计值统称为估计.合适的统计量，所谓合适是指既有合理性，又有计算上的方便性.这里只介绍两种常用的点估计方法：矩估计法和极大似然估计法.例4从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径(单位：若滚珠直径服从正态分布N(μ,α²)且μ未知，求滚珠直径方差σ²的置信度为95%的置信区间.解样本方差的观测值为根据给定的置信水平1-α=0.95,可得α=0.05;自由度n-1=10-1=9查x²分布表得所以，由式(6-10)求得滚珠直径方差α²置信度为95%的置信区间为即(0.0177,0.1243).,由上面的讨论可知，η~N(μ,σ²),分布.现分别从两台机床所加工的轴中随机抽取200根和150根，测量其椭圆度，经信度为95%,试求两台机床加工的轴的平均椭圆度之差的置信区间.故得两台机床加工的轴的平均椭圆度之差μ-μ₂的置信度为95%的置信区间为2)σ₁,σ₂未知，且σ₁=σ2=σ由式(6-12)可知，分布，但若σ²未知，这时该怎么样构造统计量呢?根据统计量的抽样分布定理知故给定置信度1-α,由式(6-7)得正态总体均值差μ-μ₂的置信区间为间.得这时可用估计量来近似代替σ²,用估计量第6章参数估计6.4.2双正态总体均值与方差的区间估计2.两个正态总体方差比的区间估计设两个独立正态总体为X-N(,²),Y~N(μ₂,c₂),其中,,(2)μ,μ未知·或例7某自动机床加工同类型套筒，假设套筒的直径服从正态分布.现在从A和B两个不同班次的产品中各抽取了5个套筒，测量它们的直径，得如下数据(单位：mm):A班：2.066,2.063,2.068,2.060,2.067;B班：2.058,2.057,2.063,2.059,2.060.试求两个班所加工套筒直径的方差之比的置信度为0.90的置信区间.解由于两个班所加工套筒直径的均值未知，由式(6-21)知两个班所加工套筒直径的方差之比的置信度为1-α的置信区间为又由已知数据计算得因此，方差之比的置信度为0.90的置信区间为(0.3159,12.9)第6章参数估计则称随机区间(6,+)为θ的置信度为1-α的单侧置信区间，并称6为置信度为1-α的单侧置信下限；若统计量B(X₁,X₂,L,X,)满足则称随机区间(-o,e)为θ的置信度为1-α的单侧置信区间，并称8,为置信度为1-α的单侧置信上限.的置信度为1-α(0<α<1)的单侧置信下限.解根据统计量的定理知于是，对给定置信度1-α,存在za使即所以，μ的置信度为1-α的单侧置信下限为.将上例所求得的单侧置信下限与同一置信度的双侧置信区间的置信下限比较发现，只是与α的差别。此种规则对前面介绍的各种条件下的正态总即只需将双侧置信区间的置信上(或下)限中的换成α,就是相应条件下相应参数的同一置信度的单侧置信区间上限或下限。陈希孺(1934—2005年),湖南省望城县人，是我国著名数理统计学家、中国科学院院士.他1956年毕业于武汉大学数学系，1957年在波兰科学院进修，师从著名统计学家菲兹，之后长期任教于中国科学技术大学，任教授、博士生导师.主要贡献陈希孺一生致力于数理统计学的研究和教育事业，带领国内统计学界学者做了许多具有国际影响的重要工作，为我国培养数理统计学人才做出了不可磨灭的贡献.陈希孺主要从事线性模型、U统计量、参数估计与非参数密度、回归估计和判别等研究.他对线性模型做了深入且系统的研究，解决了一般损失函数下M估计的强、弱相合问题.在非参数计量特别是极重要的U统计量的研究中，他获得了U统计量分布的非一致收敛速度(具有国际领先水平).在参数估计这个分支中，他解决了国际统计学界当