中心力场与角动量课件

中心力场与角动量林志珺钱怡婷江扬帆李敏中心力场与角动量一、小结

中心力场

无论经典力学或是量子力学中,中心力场都占有重要的地位.最重要的几种中心力有：Coulomb场或万有引力场各向同性谐振子场无限深球方势阱这些场量子力学中能够精确求解的少数几个问题中的几个。粒子中心力场中运动的最重要特点是：角动量守恒。一、小结

中心力场无论经典力学或是量子中心力场中U=U(r),与无关，具有中心对称性在球坐标系中讨论1.球坐标系中薛定谔方程2.从量子力学角度说明主量子数n,角量子数l,磁量子数m,自旋量子数ms关系及物理意义3.氢原子（及类氢原子）4.无限深球方势阱5.各向同性谐振子6.角动量7.自旋中心力场中U=U(r),与无关，具有中心球坐标系中薛定谔方程

分离变量法令r:::(1)(2)(3)球坐标系中薛定谔方程

分离变量法令r:(1)(2)(3)球坐标系中薛定谔方程

1.角向方程解（3）式得：解（2）式得：关联勒让德函数：罗德里格公式：（4）（5）（6）（7）球坐标系中薛定谔方程

1.角向方程解（3）式得：（4）（7）球谐函数

对R和Y分别归一化：得归一化角波函数（球谐函数）：当m>=0时，；当m<=0时，。（8）球谐函数

对R和Y分别归一化：得归一化角波函数（球谐函数）：2.径向方程

对径向部分，由（1）式：令解出代入（1）式可得：（9）（10）（11）离心项：使粒子有向外的倾向（背离原点）2.径向方程对径向部分，由（1）式：令解出主量子数n,角量子数l,磁量子数m,

自旋量子数ms关系及物理意义

在解薛定谔方程的过程中,为了得到电子运动状态合理的解,必须引入某些特定的参数,称为量子数,它们是n,l,m和ms.

主量子数n=1,2,3,4……

角量子数l=0,1,2,3……(n-1)

磁量子数m=-l,-l+1,…-1,0,1,…l-1,+l

自旋量子数ms1.主量子数n

主量子数n是决定原子中电子能量以及离核的平均距离的主要因素.它只能取1,2,3,…等正整数.n越大,表示电子离核越远,能量越高.n相同的电子处于同一个电子层内.主量子数n,角量子数l,磁量子数m,

自旋量子数ms关系及物2.角量子数l:

角量子数l是确定原子轨道的形状并在多电子原子中和n一起决定电子的能级的量子数.

由

为使其有意义，l=0,1,2,……又所以l<=n-1.故：l=0,1,2,…,n-1.2.角量子数l:为使其有意义，l=0,1,2,……

3.磁量子数m：磁量子数m表示原子轨道或电子云在空间的伸展方向,每一个磁量子数代表一个伸展方向.

在中为使：

则m必须为整数：为使有意义,lml<=l,故：

m=-l,-l+1,…-1,0,1,…l-1,+l3.磁量子数m：则m必须为整数：为使有意义,lml<4.自旋量子数ms:

n,l,m三个量子数是由氢原子波动方程解出,与实验相符合,但用高分辨率的光谱仪得到的氢原子光谱大多数谱线其实是由靠得很近的两条谱线组成,这一现象用前三个量子数是不能解释的.所以引入了第四个量子数,称为自旋量子数ms,它表示电子的两种不同运动状态,这两种状态有不同的“自旋”角动量,其值只能取+1/2或-1/2,或者用箭头↑和↓来表示.4.自旋量子数ms:n,l,m三个量子数是由氢原子波动方程5.电子层,能级,原子轨道和运动状态与四个量子数的关系：1.电子层：n相同的电子处在同一层,即电子层由一个量子数(n)决定.2.能级(又称亚层)n和l相同的电子处在同一能级,即能级是由两个量子数(n,l)共同决定.3.原子轨道

n,l和m相同的电子处在同一条原子轨道上,即每条原子轨道由n,l和m三个量子数决定.4.电子运动状态

n,l,m和ms四个量子数共同决定一个电子的运动状态,而且是唯一的运动状态5.电子层,能级,原子轨道和运动状态与四个量子数的关系：氢原子势能：径向方程：令：则径向方程可写为：引入：和得到：氢原子势能：氢原子1.径向波函数在的渐近行为：

当时，

一般解为：（1）当时。

故较大时有：。（2）当时离心项起主要作用，近似的有：其一般解为：

当时，取。

故当很小时，。

氢原子1.径向波函数在的渐近行为：氢原子2.能级与波函数引入新函数解出和代入径向方程可得：假定。逐项求导确定展开系数：得氢原子2.能级与波函数得氢原子令同幂次项相等有：则递推公式为：若上式成立，则有：从而：当趋于无穷大时趋于无穷大。故级数必须在某处中断。固有使：所以：氢原子令同幂次项相等有：氢原子令则有：由可求得能级：n=1时，n=2时，氢原子令氢原子波函数

n=1,l=0,m=0得基态波函数：可求得归一化氢原子波函数为：

氢原子波函数无限深球方势阱在势阱外，波函数是零；在势阱里，径向方程为：边界条件：u(a)=0.当l=0时，又：R(r)=u(r)/r当r0时，[cos(kr)]/r无穷大。故选择B=0.无限深球方势阱在势阱外，波函数是零；在势阱里，径向方程为：无限深球方势阱又边界条件要求u(a)=Asin(ka)=0.故ka=nkE.能量为：归一化u(r)可得：可得：当l为任意值时，一般解为：l阶球贝塞尔函数定义为：l阶球诺伊曼函数定义：无限深球方势阱又边界条件要求u(a)=Asin(ka)=0.无限深球方势阱当x较小时，将sinx,cosx泰勒展开代入球被塞尔和球诺依曼函数有：在原点，球诺依曼函数为无穷大，故选择Bl=0。因此：加上边界条件故k必须满足：即（ka）是第l阶球贝塞尔函数的零点。球贝塞尔函数是振荡的，有无限多个零点。边界条件要求：是l阶球贝塞尔函数的第n个零点。无限深球方势阱当x较小时，将sinx,cosx泰勒展无限深球方势阱

能量为：波函数为：各向同性谐振子（见例题讲解）无限深球方势阱能量为：各向同性谐振子（见例题讲解）角动量1.本征值角动量L各个分量之间不对易：但与L各个分量对易:即因此，我们希望找到与L各个分量的共同本征函数。角动量1.本征值但与L各个分量对易:即角动量引入升降算符目的：寻找共同本征态和故：可求得：若f是和的本征函数，那么也是和的本征函数。角动量引入升降算符和故：角动量存在最高阶梯，使存在最低阶梯，使角动量存在最高阶梯，使角动量与Lz的共同本征函数由l和m表征：解释了球谐函数的正交性：它们是厄米算符属于不同本征值的本征函数。角动量与Lz的共同本征函数由l和m表征：解释了球谐函数的正交自旋1，自旋算符自旋1，自旋算符自旋（更多见知识拓展）2.泡利矩阵和自旋算符自旋（更多见知识拓展）2.泡利矩阵和自旋算符1，一电子静止在一振荡磁场中

其中和为常数。二、题目讲解1，一电子静止在一振荡磁场中

其中和中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件（c）如果测量，求出得到的概率。（c）如果测量，求出得到中心力场与角动量课件2、一个三维谐振子，其势函数为：给出其允许的能量值。解一：因为相同，有：可分离变量，令：2、一个三维谐振子，其势函数为：解一：因为相同，有可看出每个方程都是一个一维谐振子，所以有：可看出每个方程都是一个一维谐振子，所以有：解二：径向方程：为书写简单，采用自然单位：是方程的两个奇点，在的领域，方程渐进地表示为：方程有两解：后一解是物理上不可接受的，予以抛弃，所以：解二：径向方程：为书写简单，采用自然单位中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件中心力场与角动量课件4，对于（）的共同本征态Y10，求的可能值及相应概率。解：的可能测量值即本征值为、0、-，设相应概率、、，计算这三个概率（可以设法找出三个方程将概率解出）①总概率为1：++=14，对于（）的共同本征态Y10，求的可②为的本征态，属于本征值,则

基本对易式：求平均值：因此：即：47②为的本征态，属于本征值③此外，的本征方程为：基本对易式：可得：③此外，的本征方程为：基本对易式：可得：在态下，求平均值：即由于因此在态下，求平均值：即由于因此即由得在态下，的可能值为，概率各为1/250即由得在态下，的可能值为，概5，推广自旋1/2（式4.145和式4.147），自旋1（习题4.31）和自旋3/2（习题4.52）的情况，对于任意自旋是s,给出它们的自旋矩阵。解：此题为在，的共同表象中求自旋矩阵。对于任意自旋s,的取值为。用代表为的态，即矩阵元在自身表象是一对角矩阵515，推广自旋1/2（式4.145和式4.147），自旋1（习由式4.136得令升降算符52由式4.136得令升降算符52同理可得同理可得而所以54而所以54"Classical"beatphenomenainquantumoptics三、课外扩展"Classical"beatphenomenainJ-CmodelTheJaynes–Cummingsmodel(JCM)isatheoreticalmodelinquantumoptics.Itdescribesthesystemofatwo-levelatominteractingwithaquantizedmodeofanopticalcavity,withorwithoutthepresenceoflight(intheformofabathofelectromagneticradiationthatcancausespontaneousemissionandabsorption).J-CmodelTheJaynes–CummingsmCollapseandrevivalphenomenaintheRabioscillationsofatomicinversionintheJCM

CollapseandrevivalphenomenaDifferentwithearliersemi-classicaltheoryoffield-atominteraction,inJCM,bothatomandthefieldarequantized.TheJCMservestofindouthowquantizationoftheradiationfieldaffectsthepredictionsfortheevolutionofthestateofatwo-levelsystemincomparisonwithsemi-classicaltheoryoflight-atominteraction.Differentwithearliersemi-clFormulationTheHamiltonianthatdescribesthefullsystemFormulationTheHamiltoniantha中心力场与角动量课件EigenstatesAsthestatesandaredegeneratewithrespecttoforalln,thenextstepistofindthefinestatestodiagnolizeinthesubstatesUsingthedegenerateperturbationtheory,weget

WhereistheRabifrequencyEigenstatesAsthestatesTheeigenstatesassociatedwiththeenergyeigenvaluesaregivenbyWheretheangleisdefinedthroughTheeigenstatesaSchrödingerpicturedynamicsWe’vegotthefinestatesoftheJCMHamiltonian,ItisnowpossibletoabtainthedynamicsofageneralstatebyexpandingitontothenotedeigenstatesTheinitialstateofthesystemisthenthestatevectorfortimesisjustgivenbySchrödingerpicturedynamicsWeJCMwithaKerrnonlinearityHamiltonianisexpressedintheformWeassumethatthefieldisinitiallypreparedinasuperpositionJCMwithaKerrnonlinearityHa中心力场与角动量课件Inthestatevector(2)weobtaintheexpectationvalueofdenotedbyW(t)W(t)isaweightedsumofindividualRabioscillations.ThusitsbehaviorsstronglydependontheamplitudeA(n)andgeneralizedRabifrequencyQ(n)ofeachRabioscillator.Inthestatevector(2)weobifthefieldisinitiallypreparedinsuchstates,wheretheAVGoftheopticsisWewouldliketoputouremphasisonthefollowingcase:Theoscillatoratiscalledprincipaloscillator(PO)whilethecorrespondingfrequencyisreferredtoastheprincipalfrequency(PF).ifthefieldi