离散数学模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第八章离散模型8.1层次分析模型8.2循环比赛名次8.3社会经济系统冲量过程8.4效益合理分配y1/84离散模型离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、……分析社会经济系统有力工具只用到代数、集合及图论（少许）知识2/848.1层次分析模型背景日常工作、生活中决议问题包括经济、社会等方面原因作比较判断时人主观选择起相当大作用，各原因主要性难以量化3/84层次分析法层次分析法是对一些较为复杂、较为含糊问题作出决议简易方法，它尤其适合用于那些难于完全定量分析问题。当我们面对决议问题时，轻易发觉，影响我们作决议原因很多，其中一些原因存在定量指标，能够给以度量，但也有些原因不存在定量指标，只能定性地比较它们强弱。Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一个定性与定量相结合、系统化、层次化分析方法4/841）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将相关原因自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各原因基本上相对独立。2）结构成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，结构各层对上一层每一原因成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若经过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决议定量依据。一.层次分析法基本步骤5/841建立层次结构模型在用层次分析法研究问题时，首先要依据问题因果关系并将这些关系分解成若干个层次。同一层次诸原因隶属于上一层原因或对上层原因有影响,同时又支配下一层原因或受下层原因作用。较简单问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案办法层（最低层）。中间可有1个或几个层次。与其它决议问题一样，研究分析者不一定是决议者，不应自作主张地作出决议。6/84目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例.选择旅游地怎样在3个目标地中按照景色、费用、居住条件等原因选择.7/84“选择旅游地”思维过程归纳将决议问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间关系用相连直线表示。经过相互比较确定各准则对目标权重，及各方案对每一准则权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决议问题定量结果。8/842结构成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采取相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O主要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O权向量选择旅游地9/84成对比较不一致情况一致比较不一致正互反阵A称一致阵允许不一致，但要确定不一致允许范围10/8411/84定理2若A为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。（2）A转置矩阵AT也是一致矩阵。（3）A任意两行成百分比，百分比因子（即wi/wj）大于零，从而rank（A）=1（一样，A任意两列也成百分比）。（4）A最大特征根λmax=n，其中n为矩阵A阶。A其余特征根均为零。（5）若A最大特征根λmax对应特征向量为W=（w1,…,wn）I，则aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。定理1

正互反矩阵A最大特征根λmax必为正实数，其对应特征向量全部分量均为正实数。A其余特征根模均严格小于λmax。（证实从略）12/84对于不一致(但在允许范围内)成对比较阵A，提议用对应于最大特征根

特征向量作为权向量w，即依据定理1,2，我们能够由λmax是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。因为特征根连续地依赖于aij，故λmax比n大得越多，A非一致性程度也就越为严重，λmax对应标准化特征向量也就越不能真实地反应出X={x1,…,xn}在对原因Z影响中所占比重。所以，对决议者提供判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接收它。13/842468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强显著强绝对强aij=1,1/2,,…1/9主要性与上面相反心理学家认为成对比较原因不宜超出9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例结构成对比较阵，算出权向量，与实际对比发觉，1~9尺度较优。便于定性到定量转化：14/843一致性检验对A确定不一致允许范围已知：n阶一致阵唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR<0.1时，经过一致性检验Saaty结果以下15/84“选择旅游地”中准则层对目标权向量及一致性检验准则层对目标成对比较阵最大特征根

=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1经过一致性检验16/84组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）权向量为一样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)权向量方案层对C1(景色)成对比较阵方案层对C2(费用)成对比较阵…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)17/84第3层对第2层计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可经过一致性检验w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T18/84组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pm第2层对第1层权向量第3层对第2层各元素权向量结构矩阵则第3层对第1层组合权向量第s层对第1层组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成矩阵19/84二.层次分析法广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决议，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决议、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决议层参加。结构成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强教授给出。20/84国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择岗位例1国家实力分析例2工作选择21/84过河效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节约时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3

横渡江河、海峡方案抉择22/84过河代价A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水污染C8对生态破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3

横渡江河、海峡方案抉择23/84待评价科技结果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技结果评价例4科技结果综合评价24/84三.层次分析法若干问题正互反阵最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反应正互反阵靠近一致阵程度？怎样简化计算正互反阵最大特征根和特征向量？为何用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？25/841.正互反阵最大特征根和特征向量性质定理1正矩阵A最大特征根

是正单根，对应正特征向量w，且定理2n阶正互反阵A最大特征根

n,

=n是A为一致阵充要条件。正互反阵最大特征根是正数，特征向量是正向量。一致性指标定义合理26/842.正互反阵最大特征根和特征向量简化计算准确计算复杂和无须要简化计算思绪——一致阵任一列向量都是特征向量，一致性尚好正互反阵列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下平均。和法——取列向量算术平均列向量归一化算术平均准确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.01027/84根法——取列向量几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度

2)计算3）归一化5)计算简化计算4）若，停顿；不然，k:=k+1,转228/843.特征向量作为权向量——成对比较多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与

aij相差尽可能小（对全部i,j)。用拟合方法确定w非线性最小二乘线性化——对数最小二乘结果与根法相同29/84按不一样准则确定权向量不一样，特征向量有什么优点。成对比较Ci:Cj(直接比较）aij~1步强度aisasj~Ci经过Cs与Cj比较aij(2)

~2步强度更能反应Ci对Cj强度多步累积效应表达多步累积效应定理1特征向量表达多步累积效应当k足够大,Ak第i行元素反应Ci权重求Ak行和30/844.不完全层次结构中组合权向量计算完全层次结构：上层每一元素与下层全部元素相关联不完全层次结构设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得讨论由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3）方法贡献O教学C1科研C2P2P1P3P4例:评价教师贡献层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素数目不等31/84不考虑支配元素数目不等影响仍用计算支配元素越多权重越大用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正若C1,C2主要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用计算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T支配元素越多权重越小教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人主动性考查一个特例：32/845.残缺成对比较阵处理mi~A第i行中

个数

为残缺元素辅助矩阵33/846.更复杂层次结构递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。

更复杂层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。制动底盘车轮方向盘发动机减震装置刹车转向运行加速性能汽车行驶性能汽车1汽车2汽车n……例34/84层次分析法优点

系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合思维方式进行决议——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；

实用性——定性与定量相结合，能处理传统优化方法不能处理问题；

简练性——计算简便，结果明确，便于决议者直接了解和掌握。层次分析法局限

囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案；

粗略——定性化为定量，结果粗糙；主观——主观原因作用大，结果可能难以服人。35/848.2循环比赛名次

n支球队循环赛，每场比赛只计胜败，没有平局。依据比赛结果排出各队名次方法1：寻找按箭头方向经过全部顶点路径。123456312456146325方法2：计算得分：1队胜4场，2,3队各胜3场，4,5队各胜2场，6队胜1场。无法排名2,3队，4,5队无法排名6支球队比赛结果……32，45排名132456合理吗36/84123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循环比赛结果——竞赛图每对顶点间都有边相连有向图3个顶点竞赛图名次{1，2，3}{(1,2,3)}并列{1,2,3,4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4),2}4个顶点竞赛图名次{(1,2),(3,4)}{1,2,3,4}?37/84123412341234(1)(2)(3)1234(4)竞赛图3种形式含有唯一完全路径，如(1)；

双向连通图——任一对顶点存在两条有向路径相互连通，如(4)；其它，如(2)，(3)。竞赛图性质必存在完全路径；若存在唯一完全路径，则由它确定顶点次序与按得分排列次序一致，如(1)。38/841234(4)双向连通竞赛图G=(V,E)名次排序邻接矩阵得分向量39/84双向连通竞赛图名次排序对于n(>3)个顶点双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵A满足Ar>0，A称素阵素阵A最大特征根为正单根

，对应正特征向量s，且排名为{1，2，4，3}用s排名1234(4){1,2,3,4}?40/841234566支球队比赛结果排名次序为{1，3，2，5，4，6}41/8442/8443/84v1—能源利用量；v2—能源价格；v3—能源生产率；v4—环境质量；v5—工业产值；v6—就业机会；v7—人口总数。8.3社会经济系统冲量过程系统元素——图顶点元素间影响——带方向弧影响正反面——弧旁+、–号带符号有向图影响——直接影响符号——客观规律；方针政策例能源利用系统预测+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v544/84带符号有向图G1=(V,E)邻接矩阵AV~顶点集E~弧集定性模型-vivj+某时段vi增加造成下时段vj增加降低带符号有向图G1+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v545/84加权有向图G2及其邻接矩阵W定量模型某时段vi增加1单位造成下时段vj增加wij单位v70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加权有向图G246/84冲量过程（PulseProcess)研究由某元素vi改变引发系统演变过程vi(t)~vi在时段t值；pi(t)~vi在时段t改变量(冲量)冲量过程模型或47/84231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系统预测简单冲量过程——初始冲量p(0)中某个分量为1，其余为0冲量过程若开始时能源利用量有突然增加，预测系统演变设能源利用系统p(t)和v(t)-110-11-100011-10000010000001000000048/84简单冲量过程S稳定性任意时段S各元素值和冲量是否为有限(稳定)S不稳定时怎样改变能够控制关系使之变为稳定S冲量稳定~对任意i,t,|pi(t)|有界S值稳定~对任意i,t,|vi(t)|有界值稳定冲量稳定S稳定性取决于W特征根记W非零特征根为

49/84

S冲量稳定

|

|1

S冲量稳定

|

|1且均为单根

S值稳定

S冲量稳定且

不等于1对于能源利用系统邻接矩阵A特征多项式能源利用系统存在冲量不稳定简单冲量过程简单冲量过程S稳定性50/84简单冲量过程稳定性改进玫瑰形图S*

~带符号有向图双向连通，且存在一个位于全部回路上中心顶点。回路长度~组成回路边数回路符号~组成回路各有向边符号+1或-1之乘积ak~长度为k回路符号和r~使ak不等于0最大整数S*冲量稳定

若S*冲量稳定，则S*值稳定

+-+-++++--+v2v1v3v4v6v7v551/84简单冲量过程S*稳定性a1=0,

a2=(-1)v1v2

(-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5S*冲量稳定

(-1)v1v2

(+1)v1v2(由勉励利用变为限制利用)

a2

=-1+S*冲量不稳定A特征多项式S*冲量稳定S*冲量稳定

|

|1且均为单根v1~利用量,v2~价格v7+-+-++++--+v2v1v3v4v6v552/84若S*冲量稳定，则S*值稳定

S*冲量稳定

v3—能源生产率v5—工业产值(-1)v3v5违反客观规律S*值不稳定S*值稳定(+1)v3v5

(-1)v3v5能源利用系统值不应稳定？-+-+++++--+v2v1v3v4v6v7v5+53/848.4效益合理分配例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作赢利7元，甲丙合作赢利5元，乙丙合作赢利4元，三人合作赢利11元。又知每人单干赢利1元。问三人合作时怎样分配赢利？记甲乙丙三人分配为解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)……54/84(1)

Shapley合作对策[I,v]~n人合作对策，v~特征函数~n人从v(I)得到分配，满足v(s)~子集s赢利55/84特征函数实质上描述了各种合作产生效益，也意味着全部合作对象参加合作是最好。关键(Core):对任意子集,记,都有用向量表示合作后效益分配，其中是分配给第个合作人部分。56/84Shapley提出了以下公理：

设V是I上特征函数，是合作对策，则有公理1合作赢利对每人分配与此人标号无关。

公理2，即每人分配数总和等于总赢利数。公理3若对全部包含i子集S有：V(S-{i})=V(S)，=0。即若第i人在他参加任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中赢利公理4若此n个人同时进行两项互不影响合作，则两项合作分配也应互不影响，每人分配额即两项合作单独进行时应分配数和。

57/84公理化方法

s

~子集s中元素数目，Si~包含i全部子集~由

s

决定“贡献”权重Shapley值~i对合作s“贡献”Shapley合作对策58/84三人(I={1,2,3})经商中甲分配x1计算1/31/61/61/311213I17511011416471/312/37/3x1=13/3类似可得x2=23/6,x3=17/6122359/84合作对策应用例1污水处理费用合理分担20km38km河流三城镇地理位置示意图123污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L60/84污水处理5种方案1）单独建厂总投资2）1,2合作3）2,3合作4）1,3合作总投资总投资合作不会实现61/845）三城合作总投资D5最小,应联合建厂建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道费：d2=0.6650.5120=3023管道费：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3提议：d1按5:3:5分担,d2,d3由城1,2担负城2提议：d3由城1,2按5:3分担,d2由城1担负城1计算：城3分担d15/13=174<C(3),

城2分担d13/13+d33/8

=132<C(2),城1分担d15/13+d35/8+d2

=250>C(1)不一样意D5怎样分担？62/84特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约投资~三城从节约投资v(I)中得到分配Shapley合作对策63/84计算城1从节约投资中得到分配x111213I0400640002504003912231/31/61/61/3

06.7

013

x1=19.7,城1C(1)-x1=210.4,城2C(2)-x2=127.8,城3C(3)-x3=217.8三城在总投资556中分担x2=32.1,x3=12.2x2最大，怎样解释？64/84合作对策应用例2派别在团体中权重90人团体由3个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决时需过半数赞成票方可经过。即使3派人数相差很大若每个派别组员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中权重。团体I={1,2,3}，依次代表3个派别îíì=不然，组员超出定义特征函数045,1)(ssv65/84优点：公正、合理，有公理化基础。如n个单位治理污染,通常知道第i方单独治理投资yi和n方共同治理投资Y,及第i方不参加时其余n-1方投资zi(i=1,2,…n).确定共同治理时各方分担费用。其它v(s)均不知道,无法用Shapley合作对策求解Shapley合作对策小结若定义特征函数为合作赢利(节约投资)，则有缺点：需要知道全部合作赢利，即要定义I={1,2,…n}全部子集(共2n-1个)特征函数，实际上常做不到。66/84设只知道无i参加时n-1方合作赢利全体合作赢利求解合作对策其它方法例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作赢利7元，甲丙合作赢利5元，乙丙合作赢利4元，三人合作赢利11元。问三人合作时怎样分配赢利？67/84（2）协商解11将剩下赢利平均分配模型以n-1方合作赢利为下限求解~xi下限68/84（3）Nash解为现实状况点（谈判时威慑点）在此基础上“均匀地”分配全体合作赢利B模型平均分配赢利B3）Nash解

2）协商解69/84（4）最小距离解模型第i方边际效益若令4）最小距离解

2）协商解70/84（5）满意解di~现实状况点(最低点)ei~理想点(最高点)模型5）基于满意度解

2）协商解71/84（6）Raiffi解与协商解x=(5,4,2)比较72/84求解合作对策6种方法（可分为三类）Shapley合作对策A类B类协商解Nash解最小距离解满意解di~现实状况,ei~理想B类4种方法相同73/84例：有一资方(甲)和二劳方(乙,丙),仅当资方与最少一劳方合作时才赢利10元，应怎样分配该赢利？Raiffi解C类74/84B类：计算简单，便于了解，可用于各方实力相差不大情况；普通来说它偏袒强者。C类：考虑了分配上下限，又吸收了Shapley思想，在一定程度上保护弱者。A类：公正合理；需要信息多，计算复杂。求解合作对策三类方法小结75/84

8.5公平选举是可能吗?

什么是选举所谓选举，其实质就是在评选人对候选人先后（优劣）次序排队基础上，依据某一事先要求选举规则决定出候选人一个先后次序，即得出选举结果。现用I={1,2,…,n}表示评选人集合，用有限集A={x,y,…}表示候选人集合，用>,=,<分别表示优于、等于、劣于，用(x>y)i表示评选人i认为x优于y，用(x>y)表示选举结果为x优于y并用pi表示评选人i排序，p表示选举结果。

A排序应满足以下性质：(1)择一性

关系式(x>y)、(x=y)、(x<y)有且仅有一个成立(2)传递性

若x≥y,y≥z,则必有x≥z76/84

简单多数规则

几个选举规则它要求当且仅当(x>y)i评选人超出半数时选举结果才为(x>y)。

有时要超出2/3多数等

例1

设I={1,2,3},A={x,y,u,v}，三位评选人选票为

p1:x>y>u=vp2:y>x>u>vp3:x=u>v>y依据选举规划，结果应为

P:x>y>u>v

例2

设I={1,2,3},A={x,y,z}p1:x>y>zp2:y>z>xp3:z>x>y依据规则，自然应有(x>y),(y>z)和(z>x)违反传递性（2）简单多数规则主要优点是简单易行，使用方便。但可惜是这一规则有时会违反传递性77/84

Borda数规则

记Bi(x)为p1中劣于x候选人数目，记，称B(x)为xBorda数，Borda数规则要求按Borda数大小排列候选人优劣次序，即当B(x)≥B(y)时有(x≥y)，两关系式中等号必须同时成立。

对于例子，计算出B(x)=B(y)=B(z)=3故选举结果为x=y=z用Borda数规则得出结果更合乎常理

例3

I={1,2,3,4},A={x,y,z,u,v}，选票情况为p1p2p3:x>y>z>u>vP4:y>z>u>v>x

计算得B(x)=12，B(y)=13

故选举结果为

y>x但有三人认为x优于y

用Borda数规则得出结果未必合理

78/84能找到一个在任何情况下都“公平”选举规则吗什么是“公平”选举规则“公平”选举规则应该满足以下公理公理1投票人对候选人排出全部可能排列都是能够实现。公理2

假如对全部i，有(x≥y)i，则必须有(x≥y)。公理3假如在两次选举中，对任意I,由，。公理4假如两次选举中，每个投票人对x、y排序都未改变，则对x、y排序两次结果也应相同。79/84公理5不存在这么投票人i，使得对任意一对候选人x、y，只要有(x≥y)i,，就必有(x≥y)。有满足上述公