微积分6省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第六章定积分§6.1定积分概念和性质§6.2微积分基本定理§6.3定积分换元积分法和分部积 分法§6.4定积分应用§6.5反常积分初步习题课第1页1§6.1定积分概念和性质一、问题提出二、定积分定义三、函数可积几个定理四、定积分几何意义五、定积分基本性质六、小结思索题第2页2abxyo实例1

（求曲边梯形面积）

一、问题提出第3页3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，分得越细，矩形总面积越靠近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第4页4曲边梯形如图所表示，(1)分割(2)近似代替（以直代曲）第5页5曲边梯形面积近似值为曲边梯形面积为(3)求和(4)取极限第6页6实例2

（求变速直线运动旅程）思绪：把整段时间分割成若干小段，每小段上把变速看成是匀速，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值．第7页7（1）分割部分旅程值某时刻速度（3）求和（4）取极限旅程准确值(2)近似代替（以不变代变）第8页8二、定积分定义定义6.1第9页9被积函数被积表示式积分变量记为积分下限积分和积分上限第10页10注：（1）与不定积分不一样，定积分是个数。第11页11第12页12定理1（充分条件）定理2（充分条件）三、函数可积几个定理定理3（必要条件）第13页13曲边梯形面积曲边梯形面积负值四、定积分几何意义第14页14几何意义：第15页15解第16页16第17页17例2.利用定积分几何意义，说明以下等式：第18页18第19页19例3.将和式极限：表示成定积分.解原式第20页20五、定积分基本性质性质6.1证第21页21补充：不论相对位置怎样,上式总成立.例若（定积分对于积分区间含有可加性）则性质6.2第22页22证命题性质6.3第23页23证第24页24解解第25页25证（此性质可用于预计积分值大致范围）性质6.3推论：第26页26解第27页27解第28页28第29页29证性质6.4第30页30证由闭区间上连续函数介值定理知性质6.5（定积分中值定理）积分中值公式第31页31使即积分中值公式几何解释：第32页32证由积分中值定理知有第33页33证第34页34六、小结思索题１．定积分实质：特殊和式极限．２．定积分思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限准确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限第35页353．定积分性质（注意单调性质、绝对值不等式、估值性质和积分中值定理应用）4．经典问题（１）预计积分值（２）不计算定积分比较积分大小（3）积分中值定理常与介值定理和微分中值定理结合证实不等式和根问题.第36页36思索题第37页37思索题答案1.由积分中值定理知有使第38页38例第39页39§6.2微积分基本定理一、问题提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式四、小结思索题第40页40变速直线运动中位置函数与速度函数联络变速直线运动中旅程为另首先这段旅程可表示为一、问题提出第41页41考查定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数积分上限变量，在上改变积分变量，在上改变（变上限积分）第42页42积分上限函数性质1：证第43页43第44页44证积分上限函数性质2：第45页45由积分中值定理得第46页46注1：定理主要意义：（1）必定了连续函数原函数是存在.（2）初步揭示了积分学中定积分与原函数之间联络.故定理6.2又称原函数存在定理第47页47推论6.3证第48页48例1求解注2：求含有变限积分函数极限，若是型不定式，应用洛必达法则.第49页49例2求解第50页50例3求解第51页51例4求解第52页52证令第53页53定理6.3（微积分基本定理）证三、牛顿—莱布尼茨公式第54页54令令牛顿（Newton）—莱布尼茨(Leibniz)公式或微积分基本公式第55页55微积分基本原理表明：注4求定积分问题转化为求原函数（求不定积分）问题.第56页56例6求

原式解例7求

解第57页57例8设

,求.解第58页58例9求

解第59页59例10求

解由图形可知第60页60例11解第61页613.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数导数四、小结思索题牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间关系．（★）（★）4.掌握分段函数定积分计算第62页62思索题第63页63思索题答案第64页64第65页65§6.3定积分换元积分法

与分部积分法一、定积分换元积分法二、定积分分部积分法三、小结思索题第66页66定理6.4一、定积分换元积分法第67页67证第68页68例1计算解（法1）令

（法2）原式第69页69注1：应用换元公式时应注意:（1）（2）换元必换限第70页70例2计算解第71页71例3计算解（法1）原式第72页72（法2）令原式第73页73例4计算解令原式第74页74例5计算解原式＝第75页75证第76页76第77页77奇函数例7计算解原式偶函数单位圆面积第78页78例8第79页79证（1）设第80页80（2）设第81页81第82页82例10解第83页83定积分分部积分公式证二、定积分分部积分法第84页84例11

计算解第85页85例12

计算解第86页86例13

设求解第87页87例14

求定积分解第88页88当n≥3时，用分部积分法建立递推公式第89页89第90页90第91页912.奇偶函数和周期函数定积分公式及1.定积分换元法（能用凑微分直接用）三、小结3.定积分分部积分公式（注意与不定积分分部积分法区分）第92页92思索题第93页93解第94页94§6.4定积分应用一、微元法二、平面图形面积三、立体体积四、定积分在经济学简单应用五、小结思索题第95页95一、微元法第96页96微元法普通步骤：此法通常叫做微元法（或元素法）．应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等．第97页97二、平面图形面积仅讨论用定积分计算在直角坐标系下平面图形面积.第98页98第99页99解两曲线交点面积微元选为积分变量第100页100解两曲线交点选为积分变量第101页101解两曲线交点选为积分变量第102页102解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．第103页103第104页104

设空间某立体由一曲面和垂直于轴两平面围成.三、立体体积第105页105解第106页106xyo旋转体体积为第107页107第108页108第109页109解第110页110解第111页111第112页112四、定积分在经济学中简单应用第113页113解第114页114第115页115第116页116解第117页117第118页118解第119页119（注意恰当选择积分变量有利于简化积分运算）三、小结微元法平面图形面积立体体积定积分在经济学简单应用第120页120思索题第121页121思索题解答xyo两边同时对求导第122页122积分得所以所求曲线为第123页123§6.5反常积分初步一、无穷限积分二、瑕积分三、函数与函数四、小结思索题第124页124一、无穷限积分第125页125第126页126第127页127例1

计算无穷限积分解第128页128第129页129第130页130例2

计算无穷限积分解第131页131证第132页132证第133页133第134页134发散注第135页135二、瑕积分第136页136第137页137第138页138第139页139例7

计算广义积分解（法1）第140页140第141页141证第142页142例9

计算瑕积分解瑕点第143页143例10

计算瑕积分解（注：不能忽略内部瑕点而看成普通定积分来求）第144页144例11

计算瑕积分解原式第145页145三、函数与函数第146页146第147页147解例12

计算第148页148第149页149瑕积分无穷限积分三、小结（注不能忽略内部瑕点而看成普通定积分来求）第150页150思索题1、积分瑕点是哪几点？2、计算反常积分第151页151思索题解答案1、积分可能瑕点是不是瑕点,瑕点是第152页152习题课基本内容经典例题第153页153问题1:曲边梯形面积问题2:变速直线运动旅程定积分应用广义积分定积分定积分性质定积分计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容换元和分部积分法第154页154例1解二、经典例题第155页155例2解第156页156例3解分析为去绝对值，必须讨论t第157页157例4解第158页158例5解第159页159例6证第160页160第161页161例7解第162页162例8解第163页163例