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第三章线性方程组第1页§3.1 线性方程组线性方程组及其相关解结构理论是线性代数关键内容之一,前面所介绍行列式与矩阵理论都是为了处理方程组求解问题而引入一个数学工具。因为现实世界中许多问题都可归结为方程组来求解，所以本章应重点掌握。

但因为本章内容比较抽象，所以，大家应该结合详细例子，认真对待。第2页一、线性方程组方程组(3.1)称为线性方程组。为了简化其表示形式，我们可用矩阵表示以下：形如Ax=b简记第3页称为方程组（3.1）增广矩阵.其中第4页当b≠0时，称Ax=b为非齐次线性方程组，即当b＝0时，称Ax=0

为齐次线性方程组，即尤其地：第5页则称Ax=b

为n元非齐次线性方程组,即而称

Ax=0

为齐次线性方程组，即当m=n时：特点：方程个数与未知量个数相同。第6页二、克莱姆法则

早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教,1734年成为几何学教授,1750年任哲学教授。他一生先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会组员。并为数学宝库留下大量有价值文件。

克莱姆法则［Cramer‘sRule］是1750年,在他著作《线性代数分析导言》中为处理怎样确定五个点二次曲线方程A+Bx+Cy+Dy2+Exy+x2=0系数时而提出。瑞士数学家1704年生于日内瓦1752年卒于法国塞兹河畔巴尼奥勒第7页回顾：二元一次线性方程组系数行列式且则有将其推广到普通情形,则我们就有第8页考虑n元线性方程组定理（克莱姆法则）若方程组（1）系数行列式则此方程组有唯一解第9页其中要证实这一定理,需证实两点:1)方程组(1)有解(存在性);2)解惟一(唯一性);分析：这是阶行列式第10页1）证只需证实等个式子成立.上式等价于这是个阶行列式代数和为此，结构阶行列式两行相同第11页将其按第一行展开即类似证第列是第一个方程解，第12页证

2）解惟一性.即，若将第列乘

，加到第列第列乘第13页证实2在把个方程依次相加，得第14页由代数余子式性质可知,于是当时,方程组有唯一一个解第15页因为方程组与方程组等价,故也是方程组解.第16页例1解线性方程组解于是第17页由此例可体会到该法则并不实用，因为要计算n+1个n阶行列式.但它仍含有极为主要理论价值.——根存在性和唯一性假如线性方程组（1）系数行列式,则（1）一定有解，且解是唯一.定理定理假如线性方程组（1）无解或有两个不一样解，则它系数行列式一定为零.互逆对于齐次线性方程组.第18页对于齐次线性方程组一定是它解非零解？定理假如齐次线性方程组系数行列式,则它仅有零解.定理

假如齐次线性方程组有非零解,则它系数行列式第19页例2当取何值时，齐次线性方程组有非零解,有唯一零解。解：当或时，方程组有非零解。当或时，方程组有唯一零解。第20页例3问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解由定理可知，假如方程组有非零解，则其系数行列式为零，即.故当时，方程组有非零解第21页解设所求二次多项式为由题意得由克莱姆法则，得于是，所求多项式为第22页例5设曲线经过四点求系数.解把四个点坐标代入曲线方程，得线性方程组其系数行列式这是范德蒙德行列式，由定理，有非零解.据克莱默法则，得唯一解所求曲线方程即为解得第23页三、高斯消元法

在中学里，我们已学过用消元法解二元、三元线性方程组，现在我们把它推广到m个方程n个未知量普通情形，即高斯消元法。基本思想：经过消元变形把方程组化为轻易求解同解方程组。而且对求解未知量较多线性方程组，此消元步骤既规范而又简便。第24页例1 解方程组解：方程组(1)中第2个方程减去第1个方程2倍，第3个方程减去第1个方程，得再将方程组(2)中第2个方程减去第3个方程4倍，得第25页将方程组(3)中第2，3方程交换，得易算出它是原方程组解.阶梯形方程组回代过程仍是初等变换第26页例2 解线性方程组4个未知量3个方程解：利用初等变换方法求解(1)结构增广矩阵,并作初等变换化为阶梯形矩阵第27页(2)写出同解线性方程组(3)讨论同解线性方程组显然,在同解线性方程组(2)中,若k≠5,则k－5≠0从而,产生矛盾。所以,只有当k＝5

时,同解线性方程组才可能有解。第28页(4)求同解线性方程组解令:我们知道:两个方程只能求出二个未知数故我们通常称x3,x4为自由未知量。从而可得方

程组解为:第29页（一）线性方程组初等变换：2、用一个非零数乘某一方程；3、把一个方程k倍加到另一个方程上.1、交换两个方程位置；相当于对该方程组增广矩阵重复施以初等行变换化成阶梯形矩阵.消元过程实际上是方程组(3.1)经过一系列初等变换化成阶梯形方程组,再经一系列初等变换求出解；是否同解?定理3.1 初等变换总是把方程组变成同解方程组.第30页上述求解过程可用方程组(1)增广矩阵初等行变换表示:由最终一个矩阵得方程组解第31页（二）用初等变换解方程组(3.1)步骤：

继续进行必要时交换未知量次序第32页4、最终得到以下阶梯形矩阵，不妨设（3.3）第33页其对应同解阶梯形方程组为（3.4）r——初等变换后阶梯形方程组非0方程个数.第34页（三）讨论方程组（3.1）解情况：则方程组（3.1）无解.这时方程组（3.4）可写成（3.5）则方程组（3.1）有唯一解.对(3.5)进行回代过程,得唯一解第35页这时方程组(3.4)可写为则方程组(3.1)有没有穷多解.（3.6）一样对(3.6)进行回代过程,可解出（3.7）第36页它是方程组(3.1)普通解形式.方程组(3.7)有以下无穷多个解（3.8）第37页于是得到与原方程组同解阶梯形方程组【例3

】解方程组【解】第38页则若取x2=c(任意常数),则方程组全部解为第39页解：（1）对方程组增广矩阵(Ab)施行出等行变换，化为阶梯形矩阵：第40页最终矩阵所对应方程组为取则方程组全部解为第41页线性方程组(3.1)解法：00rn小结第42页（四）用矩阵秩判断方程组(3.1)解情况：000rn