曲面的面积重心转动惯量引力市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

曲面面积重心转动惯量引力§1重积分应用1/2610/6/1求由方程所确定曲面S面积对区域D作分割T,一、曲面和面积2/2610/6/2曲面面积计算公式先计算Ai面积.3/2610/6/3所以若曲面方程为则该曲面面积S为4/2610/6/4说明:

则曲面面积S：假如曲面方程为假如曲面方程为则有公式：5/2610/6/5例1求圆锥在圆柱体内那一部分面积.解所求面积曲面方程为所以6/2610/6/6例.计算双曲抛物面

被柱面所截

解:曲面在xoy面上投影为则出面积A.7/2610/6/7设空间有n个质点,由力学知,分别位于其质量分别为该质点组重心坐标为二、重心8/2610/6/8设空间物体V,有连续密度函数采取“分割,近似代替,求和,取极限”可导出其重心坐标公式.求V重心坐标.将V

分成n小块,将第k块看作质量集中于点重心坐标.比如,此质点组重心坐标就近似该物体质点,其质量为在第i块上任取一点9/2610/6/9令各小区域最大直径即得其中m为物体V质量，同理可得

10/2610/6/10则其中V表示区域V体积11/2610/6/11若物体为占有xoy面上区域D平面薄片,(SD为D面积)则则它重心坐标为其面密度为

12/2610/6/12例.求位于两圆

和之间均匀薄片重心.解:

利用对称性可知而13/2610/6/13质点A对于轴l转动惯量J

惯量可用积分计算.质点组转动惯量等于各质点和A与转动轴l距离r平方乘积,即

三、转动惯量转动惯量之和,故连续体转动等于A质量m

14/2610/6/14设在该物体位于(x,y,z)处取一微元，所以该物体对z轴转动惯量:对z轴转动惯量为其体积记为dV，质量为

到z轴距离为从而为空间物体V密度函数，求V对

z轴转动惯量.15/2610/6/15类似可得:对x轴转动惯量对y轴转动惯量对原点转动惯量普通说来，若V中点(x,y,z)到转动轴l距离为则转动惯量为16/2610/6/16对坐标平面转动惯量分别为对xy平面转动惯量对yz平面转动惯量对xz平面转动惯量17/2610/6/17假如物体D是平面薄片,

面密度为

则转动惯量表示式是二重积分.普通说来，若D中点(x,y)到转动轴l距离为则转动惯量为18/2610/6/18例4求密度均匀圆环D对于垂直于圆环面中心轴转动惯量解设圆环D为密度为ρ，则D中任一点(x,y)与转轴距离为于是转动惯量19/2610/6/19例.求半径为a均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片质量转动惯量.设薄片密度为ρ，则20/2610/6/20例6.设某球体密度与球心距离成正比，

求它对于切平面转动惯量解建立坐标系如图,设球体为密度为

k为百分比常数.切平面方程为z=R,则球体对于该切平面转动惯量为21/2610/6/21求密度为物体V对物体外质量为1单位质点A引力在该物体位于(x,y,z)处取一微元，其体积记为dV，质量为

对质点A引力为设A点坐标为四、引力22/2610/6/22该引力在坐标轴上投影为其中k为引力常数，于是所求力在坐标轴上投影分别为23/2610/6/23所以24/26