计算机图形学5-1 几何变换

GeometricTransformation

AgendaConceptofgeometrictransformation2DgeometrictransformationBasictransformationMatrixrepresentationCompositetransformation复合变换Other2Dtransformations其他变换TransformationbetweenCoordinateSystemsRastermethodoftransformation变换的光栅方法25.1BasicTransformations基本变换Def.改变对象坐标描述的变换称为几何变换，例如改变对象的方向、尺寸和形状。Def.Geometrictransformationsaltercoordinatedescriptionsofobjects,suchaschangesinorientation,sizeandshape.TypesTranslation平移Rotation旋转Scaling缩放35.1.12D平移Translation平移Def.图形对象沿直线运动产生的变换Parameters:平移向量(tx,ty)Formula: x’=x+tx y’=y+tyxyPP’4矩阵表示

xx’txP=P’=T=yy’tyP’=P+TxyPP’55010050100(-20，20)308070120xyxyExample65.1.22D旋转Rotation旋转Def.图形对象沿园弧路径运动产生的变换Parameters基准点(pivot)，坐标原点或任意点旋转角θ方向,约定：逆时针为正7xy(x,y)(x’,y’)Φθrxy(x,y)(x’,y’)Φθr(Xr,Yr)绕原点旋转绕任意点旋转8Formula

针对坐标原点

x’=x*cosθ-y*sinθ

y’=x*sinθ+y*cosθ

如何得到上述公式?

针对任意点(xr,yr)旋转的计算公式?(P.191,Eq.5.9)xyPP’θФ

9矩阵表示

xx’

cosθ-sinθ

P=P’=R=yy’sinθcosθ

P’=RP1011Scaling缩放Def.改变图形对象大小的变换Parameters:缩放因子(Sx,Sy),基准点Formula:

针对坐标原点针对固定参考点(xf,yf) x’=x*Sx x’=xf+(x-xf)*Sx y’=y*Sy y’=yf+(y-yf)*Sy5.1.32D缩放12矩阵表示

xx’sx0

P=P’=S=yy’0sy

P‘=SP1311(2，1)12xyxy1Example142D缩放讨论如果|Sx|或|Sy|大于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向放大；如果|Sx|或|Sy|小于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向缩小；如果|Sx|=|Sy|，则表示均匀缩放；如果|Sx|<>|Sy|，则表示差值缩放；如果|Sx|或|Sy|等于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向不变；如果Sx或Sy小于零，则表示图形在X轴方向或Y轴方向作镜面变换。155.22D矩阵表示

对于平移、旋转和缩放变换，每个基本的变换都可表示为普通矩阵形式：

P'=M1*P+M2

P’、P表示变换前后两个点的坐标的列向量M1是一个包含乘法系数的2×2矩阵M2是一个包含平移项的两元素列矩阵165.22D矩阵表示齐次坐标1946年Maxwell.E.A从几何角度提出来基本思想是把一个n维空间的几何问题转换到n+1维空间中去从形式上来说，就是用一个n+1维的向量表示一个n维向量的方法，即n+1维向量表示n维空间中的点。175.22D矩阵表示如：二维空间中点的坐标(x,y)的齐次坐标表示为(h*x，h*y，h)(h≠0的任意实数)。只要给定一个点的齐次坐标表示(xh

，yh，h)，就能得到唯一的笛卡儿坐标(x,y)x=xh/h，y=yh/h

185.22D矩阵表示一个笛卡儿坐标表示的点，用齐次坐标表示时，是无穷的，但一个齐次坐标表示的点，用笛卡儿坐标表示时，是唯一的齐次坐标表示不是唯一的，通常当h=1是时，称为规格化齐次坐标用齐次坐标技术，可改写平移变换、缩放变换和旋转变换为统一的乘积形式195.22D矩阵表示

Point(x,y)-->(xh,yh,h)

-->(x,y,1)T2Dgraph-->[]3xn基本变换参数-->[]3x32D图形变换坐标计算：

P’最终坐标

=M变换矩阵*P原坐标20平移变换

x’10txx y’= 01tyy10011

P’=T(tx,ty)*P

21旋转变换

x’cosθ-sinθ0x y’= sinθcosθ0y10011

P’=R(θ)*P

22缩放变换

x’sx00x y’= 0sy0y10011

P’=S(sx,sy)*P

235.3复合变换

利用矩阵表示，就可通过计算单个变换的矩阵乘积，将任意顺序变换的矩阵建立为复合变换矩阵。形成变换矩阵的乘积被称为矩阵的合并(concatenation)或复合(composition)

245.3复合变换Translations连续平移Rotations连续旋转Scalings连续缩放Generalpivot-pointtransformations通用基准点的变换GeneralDirectionstransformations通用方向的变换Implementation255.3.1

Translations连续平移

两个连续的平移向量(tx1,ty1)和(tx2,ty2)被用于点P，那么最后的点坐标可计算为

P'=T(tx2,ty2)·

{T(tx1,ty1)·P} ={T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)}·

P计算时，可先计算两个平移变换矩阵的乘积

T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)=T(tx2+tx1,ty2+ty1)连续平移是可加的265.3.2

Rotations连续旋转

应用于点P的两个连续旋转，得到的点P'的坐标可计算为

P'=R(θ2)·

{R(θ1)·P}={R(θ2)·R(θ1)}

·PR(θ2)·R(θ1)=R(θ1+θ2)

则P’的坐标可计算为

P'=R(θ1+θ2)·P连续旋转是可加的275.3.3

Scalings连续缩放

两个连续缩放操作的变换矩阵连接，产生的复合变换矩阵

S(sx2,sy2)·S(sx1,sy1)=S(sx1·sx2,sy1·sy1)连续缩放操作是相乘的，非叠加的285.3.4通用基准点变换Solution平移使基准点移动到坐标原点针对原点做指定变换反向平移使基准点回到原始位置Examples29Example1针对固定点缩放xy(xf,yf)yxxyxy30Example1针对固定点缩放xy(xf,yf)yxxyxy

10xf

01yf

001

sx000sy0001

10-xf

01-yf

001

10-xf

01-yf

001

10-xf

01-yf

00131Example2针对固定点旋转xy(xf,yf)yxxyxy32Example2针对固定点旋转

10xf

01yf

001xy(xf,yf)yx

cosθ-sinθ

0sinθcosθ0001

10-xf

01-yf

001xyxy335.3.5通用方向变换Solution旋转对象使任意方向与坐标轴方向重合针对坐标轴方向做指定变换反向旋转使任意方向回到原方向ExamplexyS2S1θ34Example

cos-45

–sin-450Sin-45

cos-450001100020001xyS2S1xy11S1=1,S2=2θ=45x11ycos45

-sin450sin45

cos45

000135

3/2

1/20

1/2

3/20

0

0

1M=

0

3/2

2

1/2

0

1/2

2

3/2

1

1

11P’=M*

0

1

10

0

0

11

1

111=36

A*B*C=(A*B)*C=A*(B*C)A*B<>B*A

5.3.6连接特性37

x’rsxxrsxytrsxx y’= rsyxrsyytrsyy10011

ComputationalEfficiency计算效率 (P.200)

5.3.7通用复合变换矩阵385.3.8Implementation

P.203~P.207395.42D其他变换

Reflections反射Reflectionaboutx-axisX轴反射Reflectionabouty-axisY轴反射Reflectionabout(0,0)原点反射Reflectionaboutx=y45度线反射Shearing错切shearinginxX方向错切shearinginyY方向错切405.4.1

Reflection反射aboutx-axis1000-100011232‘3‘1‘41abouty-axis-1000100011231‘3‘2‘42about(0,0)-1000-100011231‘3‘2‘43Aboutx=y010100001y=x121‘2‘445.4.2shearing错切1SHx0010001xy1123(2,1)(3,1)xy11SHx=2(1,1)45100SHy10001xy11232(1,3)(1,2)xy11SHy=2(1,1)465.5坐标系间的变换xyx’y’x0y0θ

平移(x0,y0)到(0,0)

旋转轴x’使与x轴重合M=R(-θ)*T(-x0,-y0)47xyx’y’x0y0θy’方向的单位矢量