2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(八)

2022年全国卷I高考数学理科模拟试题卷

班级：姓名：座号：

评卷人得分

一、选择题（共12题，每题5分，共60分）

2

1.已知集合4=[1,2（3,4,5,6）,B=（x\x-3x<0},则AnB=

A.『0,3]B.[1,31C.[0,1,2,3]D.1123}

2.设复数z满足（l+2i）"l-3i,则z在复平面内对应的点所在的象限是

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在中,角4,8,C的对边分别为a,b,c,且才在,b=2,sin所，J（l-cos夕，贝UsinA=

A.立B.渔C.立D.立

444空

■2x+y-4<0

4.若实数x,y满足约束条件x-y+4>0，则z=2x-y的最小值是

,3x+2y-3>0

A.16B.7C.-4D.-5

5.定义在（o,+8）上的函数/"（工）满足/"（%）>2o+其中广（动为f（x）的导函数，则

下列不等式中，一定成立的是

凡〃1）>02>号B.4l>竽〉与

C.f⑴<9（向D.@<向（应

6.若函数必叶Inx在区间（1,+9）上单调递增，则4的取值范围是

A.（-8,-2]B.（-8,-1]C.[2,+°°）D.[1,+°O）

7.已知A,B,C是半径为1的球0的球面上的三个点,且ACA.BC,AOBO\,则三棱锥）/a1的

体积为

A.二B.亚C.爽D.史

12124A

8.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序

框图（图中"mMOD"”表示m除以〃的余数），若输入的m，〃分别为72,15,则输出的6=

A.12B.3

C.15D.45

9.已知等差数列｛a”｝的第8项是二项式(x+：+y)4展开式的常数项，则&9一；％1=

A.三B.2C.4D.6

10.已知函数片f(x)的定义域为R,对任意的x、yeR,等式f(x)+/(力=/.(户。恒成立,且当

X0时，F(x)>0,若数歹U｛aj满足团="0),且“1口,)+/U+2)=0(〃CN*),则a2ois的值为

A.-2B.0C.4036D.-4036

11.若函数f(x)=sini+V3cos攀(-a,a)(a>0)上单调递增，则a的取值范围是

A.(0,巧B.(0,当C.(0,话D.(0,工)

2222

12.设a,b两条不同的直线,a,6是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是

A.若a1b,a1a,则”/aB.若a〃a,a16,则a〃6

C.若a//a,a//p,则a//6D.若a〃瓦aJ.a,b1.6,贝Ua//6

第n卷(非选择题)

请点击修改第n卷的文字说明

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二、填空题(共4题，每题5分，共20分)

13.已矢口o<«〈、-m<0<O,cos(&+H)=±,cosU-g)=^,^Jcos(?+g)=

14.已知单位向量ZJ互相垂直,且SF入i-j,tp2j-i,若aLb,则la+引=.

15.已知数歹!J{&}的前〃项和为S,且满足&+2s•5H=0(〃22),4=之贝！J&二,

16.若a>0,b>0,点4(0,0盾圆“二+y2+2、Gx+4—a—b=O的外部，则a+2b的范围

是.

评卷人得分

三、解答题(共7题，共70分)

17.已知△46C的内角4氏。所对的边分别为a,6,c,2acos加2AosA=c.

⑴求c的值；

(2)若心；,3+占20,求△力回的面积.

18.如图1,在直角梯形ABCD中,AD//BC,ABLBC,BDLDC,点£是回边的中点,将△/物沿BD

折起,使平面/加上平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.

图1

图2

(1)求证:股，平面

(2)若二面角小力比〃的平面角的正切值为死,求二面角比/"的余弦值.

19.某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价,从该校学生中选出300人进行统

计,其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%,对教师管理水平给出好评的学

生人数为总数的75%,其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.

(1)填写教师水平和教师管理水平评价的2X2列联表：

对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计

对教师教学水平好评

对教师教学水平不满意

合计

问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好

评有关？

(2)若将频率视为概率,有4人参与了此次评价,设对教师教学水平和教师管理水平全好评的

人数为随机变量X：

①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数》的分布列(概率用组合数算式表示)；

②求X的数学期望和方差.

P(K2^k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

I仁，其中x+x+d)j.

一(a+b)、(心c+d)(嗨a+c)(产b+d)I

20.已知椭圆C《+《=l(a>〃0)的离心率为与椭圆C与y轴交于点48(点8在x轴下

方)，〃(0,4),以荡为直径的圆过点£(-a,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过〃点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M,N,设直线如V,与8M交于点T,证明：点7

在直线y=l上.

21.己知函数f(x)=e-ax"-x.

(1)当小1时,求曲线尸/Xx)在点(1,A1))处的切线方程；

(2)若函数尺牙卜丹⑥+》有两个极值点Xi,X2,求证:xi&<(ln(2a))：

请考生在第22、23三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按

所做的第一个题目计分。

22.在直角坐标系“0中，曲线G的方程为片用x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为。2+2。cos0-3=0.

(1)求&的直角坐标方程；

(2)若G与&有且仅有三个公共点,求心的方程.

23.已知函数/1(数=21尸1-|x|.

(1)解不等式Hx)〉0;

(2)记max{a,6}为a,6中的较大者,若后max{/'(x),*}对xGR恒成立,求实数小的取值范围.

参考答案

l.D

【解析】本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算.因为B=(x|%=-3x<0}=[0,3],

S.A=(1,2,3,4,5,61，所以4aB=[1,2,3)故选D.

【备注】无

2.C

【解析】本题考查复数的代数形式、复数相等的充要条件、复数的几何意义,考查考生对基

础知识的掌握情况.

由复数代数形式的四则运算及复数相等的充要条件求解z,然后根据复数的几何意义可得结

果.

解法一设复数z=a^-bi(a,6GR),则(l+2i)2=(l+2i)(界历)=a-2>(21a+6)i=l-3i,所以

La'ib.=I、解得R=-；'则复数z在复平面内对应的点所在的象限是第三象限,故选c.

(2Q+b=-3,<b=-1.

解法二益旦=02"=N=-l-i,则复数Z在复平面内对应的点所在的象限是第三

l+2i(l+2i)(l-2i)5

象限,故选C.

【备注】无

3.C

【解析】由sin^V3(l-cos而得Sin(加写=立,因为2分工〈处,所以分心生,所以庐二由正

32333333

弦定理，4上得,sin看也吧=虫,故选C.

sinAsinSb4

【备注】无

4.D

【解析】本题主要考查线性规划,考查的核心素养是数学运算、直观想象.画出可行域如图中

阴影部分所示，作出直线2x-尸0并平移,当平移到经过可行域的边界CC-1,3)处时,z取得最

第5页

小值,止匕时2=-2-3=T,故选D.

5.B

【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.构造函数式动=倦，则

g'M=为+?］，邙空因为f(x)>2(x+返)广(x),所以2G+疝)f'(x)-/(X)<o,即

2v2x(14-vxj

比坦但二至<0,即g'(x)<0,所以函数g(x)=俾在区间(0,+8)上单减;而1<4<9,

2金(1+G)1+V”

所以g(9)<g(4)<g(l),即3>#>地,即41>3.选B.

1+1*•+13+1~24

【备注】无

6.D

【解析】因为ru)=^-in*,所以f'(x)=A-2因为f(x)在区间(1,+8)上单调递增,所以当

X

x>l时,f'(x)=h>0恒成立，即42地区间(1,+8)上恒成立.因为>1,所以0<i<l,所以

XX%X

故选D.

【备注】无

7.A

第6页

【解析】如图所示,因为ACA-BC,所以四为截面圆a的直径,且4庐在.连接06,则06U面

ABC,O(x=J1垮>=Jl-(^)==与所以三棱锥仍极?的体积

片00\=—x—X1X1X—=—.

332212

【备注】【考查目标】必备知识:本题主要考查球的结构特征、锥体的体积公式.关键能力:

运算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性思维、数学探索.

8.B

【解析】本题考查流程图,辗转相除法求最大公约数.由流程图可得:该流程图的功能:求

72,15的最大公约数;而72,15的最大公约数为3.所以输出的m=3.选B.

【备注】无

9.C

【解析】无

【备注】无

10.A

【解析】本题主要考查抽象函数的性质、数列的周期性等知识.

取y=0,则/1(x)"(0)=f⑸,；/(0)取

对任意的不，X2《R,若X15,则X\-X2<0,则/'(X「X2)A),

f(覆)=/[(由-X2)+&]-f{x\-X2)+f(*2)"(12),

在R上是减函数.

,/Aan+1)+f1a>=/'&+#4+2)=0=/(0),•,.册+J&+2=0,

第7页

即册+1*&=一2①，册+:依升【二一2②，

②-①得。升2-4巾，。叶二二为，

・,•数列｛4｝的周期为2,：•瓯018=饱.

•.•&=/'(0)4),42炀=丹2二-2,

**•改(H8=-2.故选A.

【备注】【解题思路】令片0,可求出f(0),由x<0时,f(x)X)可推出/.(X)在R上是减函数,

又由MM+P"X&+2)=F(册+J&+2)4)=F(0),可得Qn+Ja/2a进而可得a计二二4,即数列

｛4｝的周期为2,从而可求讥0!8的值.

【解题关键】解答本题的关键是通过等式Ax)"104(x+y)及当x<0时,f(x)X)得到f｛x｝

在R上是减函数,然后由”(③发)-/(an+1^an-^2)=0得到册+/劣=-2,进而得｛4｝是

周期数列,得到电018的值.

11.A

【解析】Hx)=sinC+V，3cos*C2sine*>+P2),由上•»+24nW^C+Q2vZC+24n(A£Z),得

--+4AnWXWN+44丸(4仁Z),所以(一a,a)c[-—,-],(0,故选A.

33333

【备注】无

12.D

【解析】无

【备注】无

1Q5v,3

第8页

【解析】•.•()<0<^<o,：.-<6+工史m约,又

2244.414.422

cos(。+2)=2,cos(上与=”...sin("9=也,sin(匕2)="则

4342343423

cos(。+士cos[(6+9-U-幻]=2.

244.29

【备注】无

14.g

【解析】不妨令广(1,0),户(0,1),则a=(九T),ZF(-1,2),由2_1_/>得a•ZF-乂-2=0,解得

儿=-2,贝!)a+Z^(-3,1),所以，a+6]=>/IU.

【备注】无

：(n=l)，

15.《

【解析】『哲酸⑺皿，...-S+ST=2S*(〃22),:旧。，；，-」2(心2).

。％]

解法一,•,上=J_—_2_+-・+二一二+£=2(n-1)+2=2/7,AS二.当

。%X。IS12、25>2n

拘=1)，

时，&=氏黑尸就了当rF\时，团苦，...a,二

-—^―(n>2).

I2ng1)'J

解法二又*2,.・•｛寺是以2为首项,2为公差的等差数列,可线=2+2(1)=2“5喙

其篦=1)，

当后2时，丽氏黑尸就丁当柿时，团肯..・吩

【备注】无

16.(2,8)

【解析】本题主要考查点与圆的位置关系以及线性规划中利用可行域求目标函数的最值.

第9页

因为点4（0,0）在圆x，+y2+2\[ax+4-Q-b=O的外部，

所以甘一之一匕>2,画出U-2的可行域,如图,

12a+b-4>0l2a+b-4>0

由图知,a+2b在（0,4）处有最大值8,a+2b在⑵0）处有最小值2,

因为此可行域在边界处不能取值,所以a+2b的取值范围是（2,8）.

【备注】无

17.解：（1）由2acos8+26cos/=1及正弦定理，得2sinAcos班2sin&osJ=csinC,（正弦

定理的应用）

.♦.2sinC4+8=csinC,（两角和的正弦公式的逆用）

A+B=T^-C,.♦.2sin（it-0=2sinOcsin以（三角形内角和定理及诱导公式的应用）

又CG（0,n）,，sin10,...片2.（方程两边同除以相同项时必须说明相同项不为

0）

⑵；若,a+炉2g,

由余弦定理c=a~+t）-2abcosC,得4=a+t}-ab=5垃~-3ab=8-3ab,

解得

比'的面积S=-absinx-X—=

22323

【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及三角形面积公式,考查的

学科素养是理性思维和数学探索.

第10页

(1)首先利用正弦定理将已知条件化边为角，然后利用三角形内角和定理及诱导公式进行化

简，进而可得C的值；⑵利用余弦定理和小炉2在解出ab,再利用sin。求出的

面积.

【备注】无

18.(1)因为平面4被_1平面BCD,平面ABDC平面BCD=BD,

又BDLDC,所以2aL平面ABD.

因为9=平面ABD,所以DCVAB.

又折叠前后均有ADVAB,DCCAD=D,

所以平面4c.

(2)由⑴知/此平面ADC,所以ABYAC,又ABVAD,所以二面角。修〃的平面角为

又平面第9,平面ABD,所以DCLAD.

依题意tan/OZt^=①.

AD"

因为AD^\y所以CD^yf^.

设/庐X(X>0),贝ljB庐y/FH

依题意△力如△比我所以丝二丝,即三*=.

ADBD1收+1

又x>0,解得产&\故AB=yf2.)BC=\；BD24-CD-~3.

解法一如图a所示,建立空间直角坐标系Axyz,

则〃(0,0,0),庾代0,0)，以0,V6,0),£'(g0),4(”0,内，所以

2233

电舞。),共争争

第11页

由(1)知平面BAD的一个法向量为舁(0,1,0).

设平面力应的法向量为22F(X,匕Z),

由何匹=。,得总

m-DA=0—x+—z=0

'33

令^y/6,得尸-^5,Z=~\/3,

所以炉(①,-VX-V5).

所以cos<z7,nj>--'m

I"l-|m|2

由图可知二面角比力止£的平面角为锐角，

所以二面角小406的余弦值为之

解法二因为"工平面4做

过点〃作EF//DC交劭于F,如图b所示.

图b

则阮L平面ASD.

因为被=平面ABD,

所以5F1/1D.

过点/作用_L/〃于G,连接圈又EFCFG于点F,

所以加，平面EFG,因此ADLGE.

所以二面角比的平面角为/£成

由平面几何知识求得，

E臼恪,FG^A啜,

所以E(^y/EF2+FG-y/2.

所以cos/EGF^——.

EG2

第12页

所以二面角比的余弦值为士

【解析】本题主要考查空间几何体的折叠问题,考查空间点、线、面的位置关系，二面角的余

弦值等知识,考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

【备注】【方法总结】立体几何主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间

的位置关系及简单几何体的体积和数量关系等,采用建立空间直角坐标系用空间向量来解决

问题,或采用公理、定理进行推理证明.

19.(1)由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2x2列联表:

对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计

对教师教学水平好评12060180

对教师教学水平不满意10515120

合计22575300

K==a16.667>10,828,

180X120X225X75

可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关;

(2)对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为三,且X的取值可以是0,1,2,3,4,

5

其中P(X=0)=(沪P(X=1)=C峙审;P(X=2)=C：铲令；

P(X=3)=C?(于(»P(X=4)=

X的分布列为：

X01234

P20(1)词用嘀国

由于贝

X~B(4(),IJEX=4x：==,DX=4x二5x(V1一二5,)=-—25,.

第13页

【解析】本题主要考查独立性检验,随机变量的分布列与数学期望.（1）画出2x2列联表,求

得心=16,667>10,828,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为教师教学水平好评

与教师管理水平好评有关；（2）X~B（4,3则EX=：,DX=祗.

【备注】无

20.解:（1）设椭圆C的半焦距为c,贝ija=^+c①,

由题意得£=二,即a^2c②.（椭圆的离心率分0斤占二2一）

a22

V以劭为直径的圆过点EGa,0）,8（0,-6）,〃（0,4）,

C.EBLED,：.EB-ED=0,即（a,~6）•（a,4）=0,

：.a-4^0③.（将几何条件转化成代数形式）

由①②③可得a?=8,戌=4,.•.椭圆C的标准方程为二+三1.

84

（2）由题意可知，直线血V的斜率存在，设其方程为片M4,"（为,力），八心⑵州）.

(y=kx+42,,

由口2得(24+l)x+16M24=0,4=(164)-4X24X(2A2+l)>0,即A■乂.

I—+—=1=

I94

16fc

%I+A2=-■-——，M&：

2k2+l

•.•4(0,2),6(0,-2),

直线4V的方程为广维卢2（兹工0,-2〈度〈2）,直线8"的方程为.尸旺『2（毛20,-2<-〈2）,

y=—x+2

由，消去x得二（尸2）二三」（产2）,解得产也昆

y=红工算.2力々力+，3*2*1

<ak16k

广厂空冉土斗上马.-1=加B2+3（*，+*2）=运&里且三匹0,（将证片1转化为证尸1=0）

3必“13*2』

・••产1,・••点7在直线j=l上.

第14页

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素

养是理性思维和数学探索.

(1)由a=l}+c,离心率心公以川为直径的圆过点Eda,0)得到关于a,b,c的三个方程，

解出a,4的值即可得到椭圆C的标准方程；(2)设直线也V的方程为

产〃户4,以天,71),N(X2,72),将直线方程与椭圆方程联立,得到Xi+X2,旗热的表达式,再求出直

线AM,aV’的方程并联立,求出这两直线交点的纵坐标，证明纵坐标为1即可.

【备注】无

21.解：(1)当a=l时，f(x)=e'-x-x,贝ljf'(x)=e-2x-l,

所以f'⑴=e-3,又Al)=e-2,

所以切线方程为产(e-3)(尸l)+e-2,即产(e-3)肝1.

(2)由题意得F[x)-e-ax,则尸'(x)=e'-2ax.

因为函数网入)有两个极值点%i,x2,

所以r(x)=o有两个不相等的实数根覆,X%

令力(x)=e*-2ax,则力'(x)=e"-2a.

①当aWO时,方'(x)>0恒成立,则函数Mx)为R上的增函数，

故方(x)在R上至多有一个零点,不符合题意.

②当a>0时,令h'(x)=0,得A=ln(2a),

当xC(-<»,ln(2a))0t,A"(x)<0,故函数方(x)在(-8,In(2a))上单调递减,

当(ln(2a),+°°)0t,h\x)>0,故函数Mx)在(In(2a),+8)上单调递增.

因为函数A(x)=O有两个不相等的实数根由,X2,

所以h{x}min=A(ln(2a))=2a-2aln(2a)<0,得a>三

不妨设XI<X2,则Xi〈ln(2a),X2〉ln(2a)>l.

又A(0)=l>0,所以为e(0,In(2a)).

令(7(%)=A(x)-A(21n(2a)-x)=e*-4a『三+4aln(2a),

第15页

则C'(x)=e，+三-4a22Je*X^-4a=0,

所以函数6(x)在R上单调递增.

由版>ln(2a)可得6(*2)>6(1n(2a))=0,即A(x2)>/?(21n(2a)-x2).

又%i,兹是函数方(x)的两个零点,即又及)=方(⑥,

所以h(x\)>//(21n(2a)-x2).

因为A2>ln(2a),所以21n(2a)-&〈ln(2a),

又覆<ln(2a),函数又x)在(-8,J(2a))上单调递减,

所以xi<21n(2a)-A2,即由+题<2111(2a).

又x[+x2>2y/x^.,所以2SEW〈21n(2a),因此由兹<(In(2a))；

【解析】本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.

【备注】无

22.(1)由矛―cos9，尸Osin。得G的直角坐标方程为(A+DV/N.

(2)由(1)知C是圆心为4(T,0),半径