2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数第2课时指数幂及其运算教师用书新人教A版必修第一册

第2课时指数幂及其运算1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1．通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养．国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%．你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？知识点1分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：aeq\s\up10(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：aeq\s\up10(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up10(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)0的任何指数幂都等于0． ()(2)5eq\s\up10(eq\f(2,3))＝eq\r(53)． ()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq\r(4,a2)＝aeq\s\up10(eq\f(1,2))． ()(4)aeq\s\up10(eq\f(m,n))可以理解为eq\f(m,n)个a相乘． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．将下列根式化为分数指数幂：(1)eq\r(3,16)＝________；(2)eq\r(5,x2)＝________；(3)eq\r(6,m－5)＝________(m≥0)．[答案](1)16eq\s\up10(eq\f(1,3))(2)xeq\s\up10(eq\f(2,5))(3)meq\s\up10(－eq\f(5,6))知识点2有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(eq\r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq\r(a)－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A．]知识点3无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)5eq\s\up10(eq\r(3))是一个确定的实数． ()(2)指数幂aα的指数α只能取无理数． ()(3)(2eq\s\up10(eq\r(3)))eq\s\up10(eq\r(3))＝8． ()[答案](1)√(2)×(3)√类型1根式与分数指数幂的互化【例1】(对接教材P106例题)将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)eq\r(a\r(a))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,beq\s\up10(－\f(2,3)))))eq\s\up10(－eq\f(2,3))(b>0)．[解](1)原式＝eq\r(a·aeq\s\up10(\f(1,2)))＝eq\r(aeq\s\up10(\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aeq\s\up10(\f(3,2))))eq\s\up10(eq\f(1,2))＝aeq\s\up10(eq\f(3,4))．(2)原式＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up10(\f(2,5))2))＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up10(\f(4,5))))＝eq\f(1,\r(3,xeq\s\up10(\f(9,5))))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up10(\f(9,5))))eq\s\up10(\f(1,3)))＝eq\f(1,xeq\s\up10(\f(3,5)))＝xeq\s\up10(－eq\f(3,5))．(3)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(beq\s\up10(－\f(2,3))))eq\s\up12(\f(1,4))))eq\s\up12(－eq\f(2,3))＝beq\s\up10(－eq\f(2,3))×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝beq\s\up10(eq\f(1,9))．根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[跟进训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解](1)a3·eq\r(3,a2)＝a3·aeq\s\up10(eq\f(2,3))＝aeq\s\up10(3＋eq\f(2,3))＝aeq\s\up10(eq\f(11,3))．(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))＝eq\r(a－4b2·ab2eq\s\up10(\f(1,3)))＝eq\r(a－4b2aeq\s\up10(\f(1,3))beq\s\up10(\f(2,3)))＝eq\r(aeq\s\up10(－\f(11,3))beq\s\up10(\f(8,3)))＝aeq\s\up10(－eq\f(11,6))beq\s\up10(eq\f(4,3))．类型2利用分数指数幂的运算性质化简求值【例2】计算下列各式(式中字母均是正数)：(1)(2aeq\s\up10(eq\f(2,3))beq\s\up10(eq\f(1,2)))(－6aeq\s\up10(eq\f(1,2))beq\s\up10(eq\f(1,3)))÷(－3aeq\s\up10(eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(5,6)))；(2)(meq\s\up10(eq\f(1,4))neq\s\up10(－eq\f(3,8)))8；(3)(eq\r(3,a2)－eq\r(a3))÷eq\r(4,a2)．[解](1)(2aeq\s\up10(eq\f(2,3))beq\s\up10(eq\f(1,2)))(－6aeq\s\up10(eq\f(1,2))beq\s\up10(eq\f(1,3)))÷(－3aeq\s\up10(eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(5,6)))＝[2×(－6)÷(－3)]aeq\s\up10(eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6))＝4ab0＝4a．(2)(meq\s\up10(eq\f(1,4))neq\s\up10(－eq\f(3,8)))8＝(meq\s\up10(eq\f(1,4)))8(neq\s\up10(－eq\f(3,8)))8＝m2n－3＝eq\f(m2,n3)．(3)(eq\r(3,a2)－eq\r(a3))÷eq\r(4,a2)＝(aeq\s\up10(eq\f(2,3))－aeq\s\up10(eq\f(3,2)))÷aeq\s\up10(eq\f(1,2))＝aeq\s\up10(eq\f(2,3))÷aeq\s\up10(eq\f(1,2))－aeq\s\up10(eq\f(3,2))÷aeq\s\up10(eq\f(1,2))＝aeq\s\up10(eq\f(2,3)－eq\f(1,2))－aeq\s\up10(eq\f(3,2)－eq\f(1,2))＝aeq\s\up10(eq\f(1,6))－a＝eq\r(6,a)－a．指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．[跟进训练]2．化简求值：(1)0.027eq\s\up10(eq\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\f(1,4)))eq\s\up10(eq\f(1,2))＋256eq\s\up10(eq\f(3,4))＋(2eq\r(2))eq\s\up10(eq\f(2,3))－3－1＋π0；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(3)2eq\r(3,a)÷4eq\r(6,ab)×3eq\r(b3)．[解](1)原式＝(0.33)eq\s\up10(eq\f(1,3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)))eq\s\up12(eq\f(1,2))＋(44)eq\s\up10(eq\f(3,4))＋(2eq\s\up10(eq\f(3,2)))eq\s\up10(eq\f(2,3))－eq\f(1,3)＋1＝0.3－eq\f(5,2)＋43＋2－eq\f(1,3)＋1＝64eq\f(7,15)．(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－eq\f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－eq\f(1,3)ac－1＝－eq\f(a,3c)．(3)原式＝2aeq\s\up10(eq\f(1,3))÷(4aeq\s\up10(eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(1,6)))·(3beq\s\up10(eq\f(3,2)))＝eq\f(1,2)aeq\s\up10(eq\f(1,3)－eq\f(1,6))beq\s\up10(－eq\f(1,6))·3beq\s\up10(eq\f(3,2))＝eq\f(3,2)aeq\s\up10(eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(4,3))．类型3条件求值问题【例3】已知aeq\s\up10(eq\f(1,2))＋aeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2．代数式“aeq\s\up10(eq\f(1,2))＋aeq\s\up10(－eq\f(1,2))”与“a＋a－1，a2＋a－2”间存在怎样的关系，如何实现他们间的转化与化归？[解](1)将aeq\s\up10(eq\f(1,2))＋aeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14．(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194．[母题探究]1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3)．2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解]由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3)．解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[跟进训练]3．已知aeq\s\up10(eq\f(1,2))－aeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝m，求a＋a－1及a2＋a－2的值．[解]∵aeq\s\up10(eq\f(1,2))－aeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝m，∴(aeq\s\up10(eq\f(1,2))－aeq\s\up10(－eq\f(1,2)))2＝a＋a－1－2＝m2，即a＋a－1＝m2＋2．∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．1．把根式aeq\r(a)化成分数指数幂是()A．(－a)eq\s\up10(eq\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up10(eq\f(3,2))C．－aeq\s\up10(eq\f(3,2)) D．aeq\s\up10(eq\f(3,2))D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，故选D．]2．(多选)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是()A．(－1)eq\s\up10(eq\f(1,3))和(－1)eq\s\up10(eq\f(2,6)) B．3eq\s\up10(eq\f(4,3))和eq\f(1,3eq\s\up10(－\f(4,3)))C．2eq\s\up10(eq\f(1,2))和4eq\s\up10(eq\f(1,4)) D．4eq\s\up10(－eq\f(3,2))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)BC[A不符合题意，(－1)eq\s\up10(eq\f(1,3))和(－1)eq\s\up10(eq\f(2,6))均符合分数指数幂的定义，但(－1)eq\s\up10(eq\f(1,3))＝eq\r(3,－1)＝－1，(－1)eq\s\up10(eq\f(2,6))＝eq\r(6,－12)＝1；B符合题意，eq\f(1,3eq\s\up10(－\f(4,3)))＝3eq\s\up10(eq\f(4,3))；C符合题意，4eq\s\up10(eq\f(1,4))＝eq\r(4,22)＝2eq\s\up10(eq\f(1,2))；D不符合题意，4eq\s\up10(－eq\f(3,2))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)均符合分数指数幂的定义，但4eq\s\up10(－eq\f(3,2))＝eq\f(1,4eq\s\up10(\f(3,2)))＝eq\f(1,8)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)＝23＝8．故选BC．]3．已知xeq\s\up10(eq\f(1,2))＋xeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝5，则eq\f(x2＋1,x)的值为()A．5B．23C．25D．27B[∵xeq\s\up10(eq\f(1,2))＋xeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝5，∴x＋x－1＝23，即eq\f(x2＋1,x)＝23．故选B．]4．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝_____