河北省保定市部分学校2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题（word版无答案）

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一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A．B．C．D．

2．若，且，则的最小值为（）

A．1B．5C．25D．12

3．某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A．频率分布直方图中的值为0.004

B．估计这20名学生考试成绩的下四分位数为75分

C．估计某校成绩落在内的学生人数为50人

D．估计这20名学生考试成绩的众数为75分

4．已知，，是直线，是平面，若，，则“，”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．若，则（）

A．B．C．D．

6．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是6和12，且，则关于该圆台下列说法错误的是（）

A．高为B．体积为

C．表面积为D．内切球的半径为

7．已知（且）在上单调，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（）

A．0B．C．D．3

二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A．

B．若，则

C．若，则

D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线

10．下列大小关系中正确的是（）

A．B．C．D．

11．在中，角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（）

A．B．

C．D．有最大值

12．已知正方体的棱长为1，则以下结论正确的是（）

A．若，分别为，的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面为六边形

B．若为线段上动点（包括端点），则三棱锥的体积为定值

C．当点为中点时，三棱锥的外接球半径

D．若点是正方体体对角线上异于的点，当为钝角时，

三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量，，若，则.

14．如图所示，我们古代珠算算具——算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，每珠代表数值5，梁下面5颗叫下珠，每珠代表数值1，若从个位档与十位档靠梁拨4颗珠（每档至少拨一珠，同一档不可拨两颗上珠），表示两位数，则所得的两位数大于60的概率为.

15．在中，，，，分别为，的中点，沿将折起到的位置，使平面平面，如图所示.若是的中点，则四面体外接球的体积是.

16．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是.

四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知点为的边上一点，.

(1)设，求的值，

(2)设，，，求的值.

18．向量，，其中，且，若的最小正周期为.

(1)求的值；

(2)求在上的单调递增区间.

19．甲乙两队进行排球比赛，已知每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结東）.

(1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不小于9”则选择方案一；否则选择方案二，判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；

(2)若选择方案一，求甲获胜的概率.

20．在中，角，，的对边分别为，，，若，.

(1)求，

(2)求的面积.

21．如图所示，四边形是圆柱下底面的内接四边形，是圆柱底面的直径，是圆柱的一条母线，，，点在线段上，.

(1)求证：平面平面.

(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.

22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如