江苏省江阴市长泾二中学2024届数学九年级第一学期期末统考试题含解析

江苏省江阴市长泾二中学2024届数学九年级第一学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，菱形ABCD中，∠B＝70°，AB＝3，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为（）A．π B．π C．π D．π2．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（）A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12）C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6）3．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．84．下列计算正确的是（）A． B． C． D．5．两相似三角形的相似比为，它们的面积之差为15，则面积之和是（）A．39 B．75 C．76 D．406．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在．和，则该袋子中的白色球可能有()A．6个 B．16个 C．18个 D．24个7．如图所示的中心对称图形中，对称中心是（）A． B． C． D．8．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．如图所示的几何体的主视图为()A． B． C． D．10．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（

）A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.911．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（）A．0 B．1 C． D．12．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是________．14．二次函数（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有______（请将结论正确的序号全部填上）15．方程x2=2的解是．16．抛物线的对称轴是________．17．掷一枚硬币三次，正面都朝上的概率是__________．18．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AB＝3cm，则线段EB′的长为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）计算：cos30°•tan60°+4sin30°．20．（8分）解方程：x2﹣6x﹣40＝021．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3(1)求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；(2)根据图象直接回答：当y＜0时，求x的取值范围；当y＞﹣3时，求x的取值范围．22．（10分）如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=，D是BC的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．23．（10分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：EB=DC；（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．24．（10分）富平因取“富庶太平”之意而得名，是华夏文明重要发祥地之一.某班举行关于“美丽的富平”的演讲活动.小明和小丽都想第一个演讲，于是他们通过做游戏来决定谁第一个来演.讲游戏规则是：在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b、c，(除颜色外其它均相同)，小丽从袋子中摸出一个球，放回后搅匀，小明再从袋子中摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则小丽获胜，否则小明获胜，请你用树状图或列表的方法分别求出小丽与小明获胜的概率，并说明这个游戏规则对双方公平吗？25．（12分）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？26．（1）解方程（2）计算

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝70°，AD＝AB＝3，得出OA＝OD＝1.5，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝40°，再由弧长公式即可得出答案．【题目详解】连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B＝70°，AD＝AB＝3，∴OA＝OD＝1.5，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝180°﹣2×70°＝40°，∴的长=.故选:A.【题目点拨】此题考查菱形的性质、弧长计算，根据菱形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长.2、D【分析】已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm，根据矩形的面积公式即可解答．【题目详解】解：已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm．

则y=x（6-x）化简可得y=-x2+6x，（0＜x＜6），

故选：D．【题目点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．3、B【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果．【题目详解】解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，∵点B与点D关于AC对称∴FD=FB∴FD+FE=FB+FE=BE最小又∵正方形ABCD的面积为16∴AB=1∵△ABE是等边三角形∴BE=AB=1．故选：B．【题目点拨】本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段．4、D【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【题目详解】解：A、无法计算，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、2﹣，无法计算，故此选项错误；D、﹣＝，正确．故选：D．【题目点拨】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5、A【分析】由两相似三角形的相似比为，得它们的面积比为4：9，设它们的面积分别为4x，9x，列方程，即可求解.【题目详解】∵两相似三角形的相似比为，∴它们的面积比为4：9，设它们的面积分别为4x，9x，则9x-4x=15，∴x=3，∴9x+4x=13x=13×3=39.故选A.【题目点拨】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键.6、B【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【题目详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，

∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.4，

故口袋中白色球的个数可能是40×0.4=16个．

故选：B．【题目点拨】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．7、B【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．【题目详解】解：如图所示的中心对称图形中，对称中心是O1．故选：B．【题目点拨】本题考查中心对称图形，解题关键是熟练掌握中心对称图形的性质.8、B【解题分析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.9、B【分析】根据三视图的定义判断即可.【题目详解】解：所给几何体是由两个长方体上下放置组合而成，所以其主视图也是上下两个长方形组合而成，且上下两个长方形的宽的长度相同.故选B.【题目点拨】本题考查了三视图知识.10、D【解题分析】A.种植10棵幼树，结果可能是“有9棵幼树成活”，故不正确；B.种植100棵幼树，结果可能是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”，故不正确；C.种植10n棵幼树，可能有“9n棵幼树成活”，故不正确；D.种植10n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9，故正确；故选D.11、B【分析】将x=1代入方程即可得出答案.【题目详解】将x=1代入方程得：，解得a=1，故答案选择B.【题目点拨】本题考查的是一元二次方程的解，比较简单，将解直接代入即可得出答案.12、A【解题分析】根据黄金比的定义得：，得.故选A.二、填空题（每题4分，共24分）13、且【解题分析】一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠1且△=b2-4ac=（-3）2-4×a×1=9-4a＞1，解不等式组即可求出a的取值范围．【题目详解】∵关于x的一元二次方程ax2-3x+1=1有两个不相等的实数根，

∴a≠1且△=b2-4ac=（-3）2-4×a×1=9-4a＞1，

解得：a＜且a≠1．

故答案是：a＜且a≠1．【题目点拨】考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根与△=b2-4ac有如下关系：（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜1⇔方程没有实数根．14、①③．【解题分析】解：①∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴当x=﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；故①正确；②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，∵P（﹣5，y1），Q（，y2），﹣1﹣（﹣5）=4，﹣（﹣1）=3.5，由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，∴则y1＜y2；故②不正确；③∵=﹣1，∴b=2a，当x=1时，y=0，即a+b+c=0，3a+c=0，a=﹣c；④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=，与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=，与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；同理当AC=BC时，在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．经解方程组可知有两个b值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是①③．故答案为①③．点睛：本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）．15、±【解题分析】试题分析：根据二次根式的性质或一元二次方程的直接开平方法解方程即可求得x=±．考点：一元二次方程的解法16、【分析】根据二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝−计算．【题目详解】抛物线y＝2x2＋24x−7的对称轴是：x＝−＝−1，故答案为：x＝−1．【题目点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝−是解题的关键．17、【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式，即可求解.【题目详解】画树状图如下：∵掷一枚硬币三次，共有8种可能，正面都朝上只有1种，∴正面都朝上的概率是：.故答案是：【题目点拨】本题主要考查求简单事件的概率，画出树状图，是解题的关键.18、1cm【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而求出AD，DE，AE的长，则EB′的长可求出．【题目详解】解：由旋转的性质可知：AC＝AC'，∵D为AC'的中点，∴AD＝AC，∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD＝30°，∵AB∥CD，∴∠CAB＝30°，∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠DAE＝30°，∵AB＝CD＝3cm，∴AD＝cm，∴DE＝1cm，∴AE＝2cm，∵AB＝AB'＝3cm，∴EB'＝3﹣2＝1cm．故答案为：1cm．【题目点拨】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．三、解答题（共78分）19、．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【题目详解】原式＝×+4×，＝+2，＝．【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20、x1＝10，x2＝﹣1．【分析】用因式分解法即可求解.【题目详解】解：x2﹣6x﹣10＝0，（x﹣10）（x+1）＝0，∴x﹣10＝0或x+1＝0，∴x1＝10，x2＝﹣1．【题目点拨】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．21、（1）顶点坐标为(1，4)，与x轴的交点坐标为(﹣1，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，﹣1)，作图见解析；（2）当﹣1＜x＜1时，y＜0；当x＜0或x＞1时，y＞﹣1．【分析】(1)利用配方法得到y＝(x﹣1)2﹣4，从而得到抛物线的顶点坐标，再计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过解方程x2﹣2x﹣1＝0得抛物线与x轴的交点坐标，然后利用描点法画函数图象；(2)结合函数图象，当y＜0时，写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围；当y＞﹣1时，写出函数值大于﹣1对应的自变量的范围．【题目详解】解：(1)∵y＝x2﹣2x﹣1＝(x﹣1)2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣1＝﹣1，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，﹣1)，当y＝0时，x2﹣2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1，则抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1，0)，(1，0)，如图，(2)由图可知，当﹣1＜x＜1时，y＜0；当x＜0或x＞1时，y＞﹣1．【题目点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.22、（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF的最小值为1【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得，，再根据三角形内角和性质，得；结合AB=AC=1，D是BC的中点，推导得，即可完成解题；（2）由（1）可知：EB=EF=EC，得到B，F，C三点共圆，点E为圆心，得∠BCF=∠BEF=10°，从而计算得，完成求解；（3）由（1）和（2）知，CF∥AB，因此得点F的运动路径在CF上；故当点E与点A重合时，AF最小，从而完成求解.【题目详解】（1）∵将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F∴，∴，即∵AB=AC=1，D是BC的中点∴,∴，∴，∴∴∴（2）如图，连接BE、EC、BF、EF由（1）可知：EB=EF=EC∴B，F，C三点共圆，点E为圆心∴∠BCF=∠BEF=10°∵，∴∴∴，（1）中的结论仍然成立（3）由（1）和（2）知，∴点F的运动路径在CF上如图，作AM⊥CF于点M∵∴点E在线段AD上运动时，点B旋转不到点M的位置∴故当点E与点A重合时，AF最小此时AF1=AB=AC=1，即AF的最小值为1．【题目点拨】本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．23、（1）证明见解析；（2）110°【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质可得∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可证出≌，从而证出结论；（2）根据等边三角形的判定定理可得为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出结论．【题目详解】解：（1）∵是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在和中，∵，∴≌．∴EB＝DC．（2）如图，由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，∴为等边三角形．∴∠AED＝60°，由（1）得≌，∴∠AEB＝∠ADC．∵∠BED＝50°，∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，∴∠ADC=110°．【题目点拨】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键．24、小丽为，小军为，这个游戏不公平，见解析【分析】画出树状图，得出总情况数及两次模到的球颜色相同和不同的情况数，即可得小丽与小明获胜的概率，根据概率即可得游戏是否公平.【题目详解】根据题意两图如下：共有种等情况数，其中两次模到的球颜色相同的情况数有种，不同的有种，小丽获胜的概率是小军获胜的概率是，所以这个游戏不公平.【题目点拨】本题考查游戏