第二章动力学

第二章动力学1第1页，课件共152页，创作于2023年2月牛顿力学的理论框架基础：牛顿三定律演绎：力的时间积累力的空间积累动量和角动量定理动能定理三个守恒定律对象：质点→质点系→刚体第2页，课件共152页，创作于2023年2月2)分析“马拉车，车又拉马”的问题，试问车为什么能前进？

思考1)有人说拔河比赛不是比谁的力气大小，从某种意义上说是比体重的大小，这种说法对吗？3)如果一辆大型吊车和一辆小汽车相撞，哪辆车受到的冲击力大？第3页，课件共152页，创作于2023年2月§2－1牛顿运动定律一、牛顿第一定律（惯性定律）惯性参照系

定律内容：一切物体都将维持其静止或运动状态不变，直到力的作用迫使它改变。◆两个概念：“惯性”和“力”。

惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有的属性。

力：物体间的相互作用。

惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动

惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。第4页，课件共152页，创作于2023年2月？问题：惯性定律是否在任何参照系中都成立？

左图中，地面观察者和车中观察者对于惯性定律运用的认知相同吗？a1a1

什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速直线运动时，该参照系为惯性系。◆区分出两类参考系：

如何确定惯性系──只有通过力学实验。第5页，课件共152页，创作于2023年2月*1地球是一个近似程度很好的惯性系但

相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。

一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。*2太阳是一个精度很高的惯性系太阳对银河系核心的加速度为

马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系──因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。第6页，课件共152页，创作于2023年2月

定律内容（运动定律）物体受到外力作用时，它所获得加速度的大小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力F的方向相同。二、牛顿第二定律惯性质量其数学形式为1、关于力的概念（定量）1）力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，也可使物体获得加速度。第7页，课件共152页，创作于2023年2月2）物体之间的四种基本相互作用；力的概念是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。3)力的叠加原理

若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。第8页，课件共152页，创作于2023年2月2、关于质量的概念（定量）

3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定量关系.１）质量是物体惯性大小的量度：惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。２）引力质量与惯性质量的问题:调节引力常数Ｇ，使m引，m惯的比值为一第9页，课件共152页，创作于2023年2月三、牛顿第三定律

1）作用力与反作用力是分别作用在两个不同物体上的力，不是一对平衡力。2）作用力与反作用力是同一性质的力。3）作用力与反作用力没有主从、先后之分。它们是同时产生，同时消失。

定律内容（作用力与反作用力定律）当物体A以力F1作用在物体B上时，物体B必定同时以力F2作用在物体A上，

F1与F2大小相等，方向相反，且力的作用线在同一直线上。第10页，课件共152页，创作于2023年2月四、牛顿三定律的关系、意义和适用范围

牛顿第一定律是经典力学的前提和基础，表述了力和运动之间的定性关系，着重阐述不受力的情形。牛顿第二定律是对第一定律的发展和深入，表述了力及质量和运动之间的定量关系，着重阐述受力的情形。牛顿第三定律是对机械运动状态变化描述的补充，揭示了物体间的作用力的本质和定量关系侧重于几个物体间相互联系和制约关系。牛顿第一，二定律适用惯性系牛顿第三定律适用任何惯性系第11页，课件共152页，创作于2023年2月1、万有引力:

万有引力恒量

五、力学中几种常见的力：引力（重力），弹力，摩擦力万有引力定律只对质点模型成立。(6.510.12)10-11N·m2·

kg-2M1M2rMmr第12页，课件共152页，创作于2023年2月均匀球体（或有规则形状的物体），此时可把物体的质量看成集中于球心的质点。

2、物体在地表附近所受引力，通常称为重力。在忽略地球自转时，质量为m的物体所受重力为式中Ｍe是地球的质量，Ｒ是地球的半径。第13页，课件共152页，创作于2023年2月

3、弹性力:

两相互接触的物体，彼此产生形变的作用力为弹性力。

方向：垂直于接触点的切面（也叫正压力）。

绳的张力也是弹性力如果m=0，或a=0,则有T1＝T2第14页，课件共152页，创作于2023年2月4、摩擦力:1）、两物体有一粗糙接触面，沿着这接触面的方向有相对滑动时，每个物体在接触面上都受到对方的作用的一个阻止相对滑动的力，这种力称滑动摩擦力。方向：与相对运动方向相反滑动摩擦系数第15页，课件共152页，创作于2023年2月2）、物体在外力作用下，产生了相对滑动趋势时，它们之间有静摩擦力。f=-FF↑→f↑；F↓→f↓F=0，f=0。F→∞；f→fmax问：一梯子搁在墙上，梯子受几个力？f可以从0→fmax究竟f=？要根据平衡条件决定。静摩擦力的方向：总是与物体运动趋势方向相反。

0

称静摩擦系数第16页，课件共152页，创作于2023年2月＊湿摩擦的几个特点：（1）湿摩擦是速度的显函数，即（2）湿摩擦没有静摩擦力（3）在流体中运动的物体，若受到一个恒力作用，其速度将趋于一个极限值。＊湿摩擦的概念：干摩擦－固、固间的摩擦湿摩擦－固、流间的摩擦（４）沿某一方向滑动的物体，其侧向摩擦力具有湿摩擦的性质。第17页，课件共152页，创作于2023年2月六、牛顿定律的应用1、牛顿定律只适用于惯性系；2、牛顿定律只适用于质点模型；3、具体应用时，要写成坐标分量式。基本方程第18页，课件共152页，创作于2023年2月

5、解题步骤（16字）1）确定对象2）分析受力（“受，合，外”）3）选取坐标4）列解方程。※牛顿定律只适用于惯性系４、要根据力函数的形式选用不同的方程形式若F=常量，则若F=F(v)，则

若F=F(r)，则

第19页，课件共152页，创作于2023年2月例1已知：M,m,θ,桌面水平，各接触面光滑。求：m对M的压力；m相对M的加速度。mMθMθYXNMNMgaMNa’aMmgxy解：分别以m,Ｍ为对象，选地为惯性系对M：对m：M,m受力及坐标如图。a/是m对M的加速度，aM是M对地的加速度第20页，课件共152页，创作于2023年2月结果分析：2）特例：m平放在光滑平板上;

m靠在光滑竖直面上，自由下落。结果合理！1）量纲无误；第21页，课件共152页，创作于2023年2月例2-1一根细绳跨过一光滑的定滑轮，绳的两端挂质量为M和m的物体(M>m)，试求物体的加速度以及悬挂滑轮的张力.(滑轮和绳的质量可忽略不计,绳不可伸长)解：分别以两物为研究对象mgT2MgT1aMamxo

由牛顿第二定律，有

用x1和x2分别表示m和M的坐标，L和R分别表示绳子的长度和滑轮的半径，由绳不可伸长T’1T’2T’第22页，课件共152页，创作于2023年2月投影到坐标轴解得mgT2MgT1aMamT’1T’2xoT’第23页，课件共152页，创作于2023年2月例2-2一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量为m＝M/2，若人相对于绳以加速度a0向上爬，则人相对于地面的加速度是多少？解：分别以人、物为对象mgTa0MgTaa则人对地的加速度为设物体向下的加速度为a，顺时针方向为正，

由牛顿第二定律，有联立，得于是人对地的加速度为第24页，课件共152页，创作于2023年2月如图体重相同的猴和香蕉在定滑轮的两边，当猴往上爬时，香蕉上移？下移？不动？思考？第25页，课件共152页，创作于2023年2月例3图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1>m2>m3(m1>m2+m3)绳轻且不可伸长，滑轮质量不计，求每个物体对地的加速度及绳中张力。

解：设m2,m3对滑轮的相对加速度为a/，向下为Ｘ轴正方向,a1为m1对地加速度，则可得

对m1对m3对m2AB对动滑轮因为

T2＝T2/第26页，课件共152页，创作于2023年2月第27页，课件共152页，创作于2023年2月1、已知运动情况求力例4长l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小球。使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度v0开始运动。用牛顿定律求小球沿逆时针方向转过

角时的角速度和绳中的张力。

解：取小球为研究对象；小球受重力mg，及绳子的张力T。

取自然坐标系，将重力mg、张力T沿、n方向分解.列方程两类问题第28页，课件共152页，创作于2023年2月将①式两边同乘d

，并约去等式两边m可得对上式两边求积分有解得将v=l

代入②式第29页，课件共152页，创作于2023年2月解：设向下为Ｘ轴正向，且由牛顿第二定律得例5在地球表面附近自由下落的物体，所受空气阻力与速率平方成正比，求其速度表示式。

2、已知力求运动若令则有第30页，课件共152页，创作于2023年2月故即讨论：第31页，课件共152页，创作于2023年2月1、

单位制：基本量、导出量

单位制的任务是：规定哪些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。

七个基本量为

长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度2、SI制中三个基本量的操作型定义长度时间

1秒=铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁时对应辐射的9，192，631，770个周期。

从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。五、国际单位制和量纲（自学提纲）质量

千克质量

第32页，课件共152页，创作于2023年2月3、量纲：

因为导出量是由基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式.

通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位制中基本物理量的方次。例如：在SI制中第33页，课件共152页，创作于2023年2月牛顿定律只在惯性系中成立。任务：寻求一普遍物理方法，可使用统一的动力学规律，研究惯性系和非惯性系中的力学问题。引入惯性力如何求得？非惯性系中的如何研究运动的动力学规律？如图：光滑平板车上的小球，水平无外力。地：球a=0;加速车：球a’=－a0，但未受力。§2-2非惯性系惯性力第34页，课件共152页，创作于2023年2月一.平动加速参考系S’

(相对惯性系有加速度a0)惯性系S：①代入①并移项形式仍为牛顿第二定律两类非惯性系：加速平动转动相对运动关系：惯性力（平动）！—惯性系中的加速度；—非惯性系中的加速度。与参考系无关；而加速度因参考系而异。第35页，课件共152页，创作于2023年2月惯性力：非惯性系中的附加力作用：使非惯性系中可用牛顿第二定律。性质：既虚拟又真实。“虚拟”（牛顿力学观点）:无相互性。“真实”:同真实力一样产生加速度。其大小∝惯性质量（因而所产生的加速度与质量无关）◆对惯性力的认识：第36页，课件共152页，创作于2023年2月例以斜面为参考系重解前斜面例。mMθMθYXNMNMgMaMNa’maMmgxy解：在斜面参考系中M,m

均将受惯性力。对M：对m：只有四力平衡！与前解法相比，方程形式仅是移项，结果相同第37页，课件共152页，创作于2023年2月例6加速度计——

小车上系有一物，当小车以恒加速度运动时，重物与竖直方向成

角，求小车之加速度。解：以小车为参照系（非惯性系），而处平衡态，故有联立，得因为a/=0,这时动力学可简化为静力学重物受3个力:重力mg，惯性力f﹡，Tmgf﹡

xy张力T，第38页，课件共152页，创作于2023年2月

匀角速转动的非惯性系中的——惯性离心力*惯性离心力的引入：

如图所示，在光滑水平圆盘上，用一轻弹簧栓一小球，圆盘以角速

匀速转动，这时弹簧被拉伸后而静止。

地面观察者：小球受到弹性力，且指向圆心，作圆周运动；

圆盘上观察者：小球受到弹簧拉力，指向圆心，但小球仍处于静止状态，为解释这一现象引入

此时即称为惯性离心力。第39页，课件共152页，创作于2023年2月二.均匀转动参考系S’角速度矢量S’S中代入两种惯性力：惯性离心力科里奥利力加速度之差有两项第40页，课件共152页，创作于2023年2月*地球自转对重力的影响引力F引、支持力N

、惯性离性力ƒ*c作用下处于平衡态，

而地面上的观察者通常总是把地面上的物体作二力平衡来处理，即认为物体在重力W和支持力N作用下达到平衡态，

因此重力W实际上应是F引和ƒ*c的合力，即：由是得

N

F引ƒ*cW

以地球为参照系，考虑地球的自转,于是地面上任何一个物体都是在三个力：第41页，课件共152页，创作于2023年2月我们知道，在地球的两极，地球自转半径为零，故物体重力不受自转影响，该处重力=引力，设该处重力加速度为g0,则F=mgo,于是，式中

是物体所在处的纬度，

F引ƒ*cWrRN

第42页，课件共152页，创作于2023年2月即 是一个无穷小量，略去高阶无穷小量

得利用二项式定理再次略去高阶无穷小，得第43页，课件共152页，创作于2023年2月

可见地面上物体的重力大小随纬度而变化，其方向也不严格指向地心，——故常说重力方向为铅垂方向，但由结果看出，重力随纬度变化并不明显，通常可以忽略。第44页，课件共152页，创作于2023年2月一、质点的动量定理１、动量的引入在牛顿力学中，物体的质量可视为常数故即§2-3冲量、动量、动量定理力的瞬时效应→力的积累效应──加速度：牛顿定律１）式中 叫做动量，是物体运动量的量度。指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。第45页，课件共152页，创作于2023年2月２）动量是矢量，方向与 同；动量是相对量，与参照系的选择有关。

２、冲量的概念１）恒力的冲量

２）变力的冲量此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。力在某一段时间间隔内的冲量

冲量的方向与力的方向相同。

作用力F＝恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，第46页，课件共152页，创作于2023年2月即物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。3、质点的动量定理在直角坐标系中的分量式第47页，课件共152页，创作于2023年2月平均冲力概念１）峰值冲力的估算ff¯0tt+△tt

３）当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。

４、动量定理的应用２）当动量的变化是常量时，有第48页，课件共152页，创作于2023年2月

例7作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3,如果物体在这一力的作用下，沿直线运动，则在0

2.0s时间内，这个力作用在物体上的冲量I=

；2秒末物体的速度值v=____。第49页，课件共152页，创作于2023年2月例8一根细绳跨过一光滑的定滑轮，绳的两端挂质量为M和m的物体(M>m)，试求M下落h高度时的速度.(滑轮和绳的质量可忽略不计,绳不可伸长)解：分别以两物为研究对象由动量定理mgT2MgT1aMamxoT’1T’2T’第50页，课件共152页，创作于2023年2月二、质点系的动量定理1、内力与外力

i质点所受的内力i质点所受合力

2、i质点动量定理第51页，课件共152页，创作于2023年2月3、质点系的动量定理（对i求和）内力成对出现说明内力对系统的总动量无贡献，但对每个质点动量的增减是有影响的。第52页，课件共152页，创作于2023年2月质点系合外力的冲量=质点系动量的增量。

于是有或第53页，课件共152页，创作于2023年2月三、动量守恒定律

若系统所受的合外力系统总动量守恒

一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。

注意：动量守恒式是矢量式(1)守恒条件是而不是第54页，课件共152页，创作于2023年2月若，但若某一方向的合外力零(或某一方向的合外力«内力，则该方向上动量守恒；(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；

(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，运用动量守恒。(2)若

系统与外界无动量交换，系统与外界的动量交换为零。系统无论沿哪个方向的动量都守恒；第55页，课件共152页，创作于2023年2月

MMLM例9质量为Ｍ的木块在光滑的固定斜面上，由Ａ点从静止开始下滑，当经过路程Ｌ运动到Ｂ点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，立即陷入木块内，设子弹的质量为m，速度为v，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度。解：木块由Ａ至Ｂ的过程，木块、地球系统机械能守恒，木块在B点的末速度

以子弹，木块为一系统，沿斜面方向为Ｘ轴，则该方向上动量守恒。（图中f，f/为内力，支持力Ｎ在Ｘ方向中没有分力，重力在Ｘ方向中的分力可略去）第56页，课件共152页，创作于2023年2月

为什么在水平方向动量不守恒？因为此时约束反力Ｎ在水平方向的分力不为零。子弹击中瞬间，Ｘ方向有第57页，课件共152页，创作于2023年2月uuMMMABC例10三只小船的质量（包托载重）均为M，以相同速率v0在一条直线上航行。如中船的人以水平相对速率u将质量为m的两个小包同时分别投向前后两只船，不计水对船的阻力，求投后各船的速率。解：解此题的关键是将质点系内各量统一到同一惯性系中。

以小船前进方向为正方向，设B船投出小包时的速度为v2，则分别投向A、C两船的小包对地速度为

第58页，课件共152页，创作于2023年2月

分别以A、C、B船及小包为对象，由于水平方向动量守恒，可得

解得

第59页，课件共152页，创作于2023年2月解：设人对船的速度为v1,船对静止水的速度为v2。

0＝m1(v1+v2)+m2v2负号表示船移动的方向与人前进的方向相反。例11一质量m1=50kg的人，站在质量m=200kg、长为L＝4m的船的船头上，开始时船静止。试求当人走到船尾时，船移动的距离。水的阻力不计。水平方向动量守恒

v1v2第60页，课件共152页，创作于2023年2月思考？人对船的不同运动形式如匀速、匀加速、任意速度，其结果一样吗？一样体现动量定理和守恒定律解决问题的优势，即不需要考虑其中间的具体运动过程。第61页，课件共152页，创作于2023年2月

一、功的概念功率1、恒力的功

即某力的功等于力与质点在该力作用下位移的标积。(中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。由矢量标积定义式，有§2-４功动能势能

（一）功：力对空间的累积效应第62页，课件共152页，创作于2023年2月功值的图示法2、变力的功１）力的元功

XYZObaL

设质点沿X轴运动，则力Ｆ在区间x1,x2内做的功，即为图中有阴影部分的面积。

物体在变力的作用下从a运动到b

b第63页，课件共152页，创作于2023年2月2)dA在F-S图上的几何意义0absF(s)dA3）变力在一段有限位移上的功

功的直角坐标系表示式因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。

dA=F（s）ds，其在F－s图上即为有阴影的小方块的面积。第64页，课件共152页，创作于2023年2月★一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关0所以一般情况下

式中drij为相对位移第65页，课件共152页，创作于2023年2月二、功率力在单位时间内所作的功瞬时功率等与力与物体速度的标积单位：瓦特W第66页，课件共152页，创作于2023年2月（二）、保守力的功m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.初态量末态量1、重力的功第67页，课件共152页，创作于2023年2月2、弹簧弹性力的功力函数元位移oXo初态量末态量第68页，课件共152页，创作于2023年2月3、万有引力的功

由图知元位移

力函数

Mmr0末态量初态量第69页，课件共152页，创作于2023年2月4、保守力

1)可见重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力。即保守力沿任一闭合路径的功恒为零。abcc/

如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。第70页，课件共152页，创作于2023年2月LmS+保守力的共同特征：a、力函数或为常数，或者仅为位置的函数；

b、保守力的功总是“原函数”增量的负值。

2)非保守力若力的功值与具体路径有关,则为非保守力，

如摩擦力、爆炸力等。

如在一水平面上第71页，课件共152页，创作于2023年2月

例12一物体按x=ct3规律在媒质中作直线运动，式中c为常量，t为时间，设媒质对物体的阻力正比于速率的平方，阻力系数为k，试求物体由x=0运动到x=l时，阻力所作的功。解：速度

阻力为阻力对物体所作的功为：

第72页，课件共152页，创作于2023年2月例13在一块木板上钉钉，钉子在木板中所受阻力跟深度成正比,即f=

ky。第一锤钉子进入木板1cm，求第二锤钉子能进入木板多深的地方？(设每一锤外力所作的功相同)解：第一锤外力作功A1，并设外力为f/，则第73页，课件共152页，创作于2023年2月所以第二锤外力作功A2第74页，课件共152页，创作于2023年2月二、动能定理1、动能是一个独立的物理量又，m为常数为质点的动能，是质点作机械运动时所具有的运动量的量度第75页，课件共152页，创作于2023年2月ABDrifi

2、质点的动能定理

合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。功是质点动能变化的量度过程量状态量物体受外力作用运动状态变化动能变化末态动能初态动能动能是相对量，与参考系有关第76页，课件共152页，创作于2023年2月

动能与动量的区别引入两种度量作用第77页，课件共152页，创作于2023年2月例14一质量为m=1kg的质点，在力的作用下，由静止开始沿一轨迹方程为x2＝9y的曲线从原点o（０，０）运动到Ｑ（３，１）点。试求质点运动到Ｑ点时的速度。解：根据功的定义将x2＝9y代入上式得根据动能定理：

第78页，课件共152页，创作于2023年2月例15一个质量15g的子弹，以200米/秒的速度射入一固定的木板内，如阻力与射入木板的深度成正比，即且求子弹射入木板的深度。解：以m为研究对象，建立坐标系ox，设射入深度为OXm在射入深度为x时，由动能定理：第79页，课件共152页，创作于2023年2月三、势能描述机械运动的状态参量是

对应于：

弹簧弹性力的功万有引力的功重力的功1、势函数为此我们回顾一下保守力的功第80页，课件共152页，创作于2023年2月

由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数；由定积分转换成不定积分，则是

式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。

又由于功是体系能量变化的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质；而这个能量又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用ＥＰ表示。则有：第81页，课件共152页，创作于2023年2月2、已知保守力求势能函数

弹性势能：

若取坐标原点，即弹簧原长处为势能零点，则c=0于是

重力势能保守力的力函数若取坐标原点为势能零点，则c=0

保守力的力函数第82页，课件共152页，创作于2023年2月

引力势能保守力的力函数若取无穷远处为引力势能零点，则

势能函数的一般特点rij1)对应于每一种保守力都可引进一种相关的势能；2)势能大小是相对量，与所选取的势能零点有关；3)一对保守力的功等于相关势能增量的负值；4)势能是彼此以保守力作用的系统所共有。

第83页，课件共152页，创作于2023年2月３、已知势能函数求保守力若保持y，z不变，则dy＝dz＝0同理则第84页，课件共152页，创作于2023年2月例：求保守力函数第85页，课件共152页，创作于2023年2月

势能曲线

将势能随相对位置变化的函数关系用一条曲线描绘出来，就是势能曲线。Ep(h)0(a)h重力势能曲线Ep(r)r0(c）引力势能曲线0(b)lEp(l)弹性势能曲线第86页，课件共152页，创作于2023年2月1、势能曲线能说明质点在轨道上任一位置时，质点系所具有的势能值。2、势能曲线上任一位置处的斜率（dEP/dl）的负值，表示质点在该处所受的保守力。

设有一保守系统，其中一质点沿x方向作一维运动，则有凡势能曲线有极值时，即曲线斜率为零处，其受力为零。这些位置称为平衡位置。

势能曲线有极大值的位置是不稳定平衡位置，势能曲线有极小值的位置是稳定平衡位置。

由势能曲线所获得的信息第87页，课件共152页，创作于2023年2月四、功能原理1、质点系的动能定理

质点系的内力和外力

对于单个质点第88页，课件共152页，创作于2023年2月

对i求和—质点系的动能定理

质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内部保守力的功、非保守力的功三者之和。说明：内力的功可以改变系统的总动能；但内力的冲量不能改变系统的总动量。第89页，课件共152页，创作于2023年2月若引入(机械能）则可得系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。2、功能原理由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力均有

第90页，课件共152页，创作于2023年2月２）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出）；3)具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点；

注意的问题：１）功能原理是属于质点系的规律（因涉及ＥP），与质点系的动能定理不同；质点系动能定理质点功能原理4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中。第91页，课件共152页，创作于2023年2月若和,则系统的机械能保持不变。五、机械能守恒定律由功能原理可知机械能守恒的条件：系统与外界无机械能的交换；系统内部无机械能与其他能量形式的转换。当系统机械能守恒时，应有

即系统内，动能的增量＝势能增量的负值六、能量转换与守恒定律

在一个孤立系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无论怎样转换，该系统的总能量将始终保持不变。第92页，课件共152页，创作于2023年2月

例16如图所示质量为M的物块A在离平板h的高度处自由下落，落在质量也是M的平板B上。已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。解：物块A自由下落到弹簧压缩到最大限度分三个物理过程：(1)物块A作自由落体运动，到B时速度为v1;(2)物块A和平板B作完全非弹性碰撞，碰后速度为v2;第93页，课件共152页，创作于2023年2月只有保守力作功，机械能守恒。取弹簧处于自然状态时，其上端点位置为坐标原点及弹性势能零点，取x2位置为重力势能零点，在A、B未碰撞前，B的重力跟所受弹力平衡，因此有kx1=Mg(4)

(3)碰撞后弹簧继续被压缩到最大压缩量x2；

解上述四式可得弹簧的最大压缩量x2第94页，课件共152页，创作于2023年2月解：设子弹对木块的作用力为f/，木块的位移为Ｓ，A内=所以A内=

0式中l即为子弹对于木块的相对位移。slf木块对子弹的作用力为f,子弹的位移为S+l例17质量为M的木块放置在一光滑的水平面上，被一质量为m、初速为v0的水平方向飞来的子弹击中，但末穿出，试求(1)这一对作用力与反作用力的功之和。(2)这一过程中子弹与木块所组成的系统中机械能的损失。M第95页，课件共152页，创作于2023年2月对木块动能定理(2)以木块、子弹为系统，在击中过程中，水平方向动量守恒(2)+(3)，并考虑(1)式，有对子弹动能定理

一对内部非保守力的功之和度量了系统内部机械能与其它形式能量的转换。第96页，课件共152页，创作于2023年2月

§2-6刚体的定轴转动

刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。

刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。质点模型基本上只能表征物体的平动特征。一、刚体的运动刚体在运动中其上任意两点的连线始终保持平行。1、平动：（用质心运动讨论）第97页，课件共152页，创作于2023年2月2、转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）一般刚体的运动是既有平动又有转动：质心的平动加绕质心的转动各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（半径不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。转轴第98页，课件共152页，创作于2023年2月垂直于转动轴的平面为转动平面。

二、定轴转动的角量描述转动平面转轴参考方向前面关于质点作圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。描述刚体整体的运动用角量最方便。1)刚体定轴转动的特点（1）各质元都绕固定轴作圆周运动，圆心在轴线上。（2）所有质点的角量都相同。（3）质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比

。第99页，课件共152页，创作于2023年2月垂直于转动轴的平面为转动平面。

二、定轴转动的角量描述转动平面转轴参考方向角位移角速度角加速度前面关于质点作圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。描述刚体整体的运动用角量最方便。1)角量第100页，课件共152页，创作于2023年2月２)刚体定轴转动的特点所有质点的角量都相同

；质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比

。各质元都绕固定轴作圆周运动，圆心在轴线上。第101页，课件共152页，创作于2023年2月一、力矩1、力对固定点的力矩1）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。2）力矩的单位牛·米(N·m)o

m§2-５角动量定理角动量守恒定律第102页，课件共152页，创作于2023年2月3）力矩的计算：M的大小、方向均与参考点的选择有关※在直角坐标系中，其表示式为第103页，课件共152页，创作于2023年2月

力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。

２、力对轴的矩：

设力Ｆ的作用线就在Z轴的转动平面内，作用点到Ｚ轴的位矢为r，则力对Ｚ轴的力矩为·式中为力F到轴的距离若力的作用线不在转动在平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。rF第104页，课件共152页，创作于2023年2月

力对固定点的力矩为零的情况：

力F等于零，力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点,即，有心 力对力心的力矩恒为零）。

力对固定轴的力矩为零的情况：

有两种情况,B）力的方向沿矢径的方向（）有心力的力矩为零第105页，课件共152页，创作于2023年2月二、质点的角动量

在质点的匀速率圆周运动中，动量mv不守恒，但

角动量的引入：开普勒行星运动定律的面积定律

许多实例都说明是一个独立的物理量再考虑到行星的质量m为恒量，第106页，课件共152页，创作于2023年2月

在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量－－角动量L来描述这一现象。

卫星地球+第107页，课件共152页，创作于2023年2月１、质点对固定点的角动量

动量为mv的质点，对惯性系内某参考点0的角动量，等于质点对该参考点的位矢r与其动量mv的矢积。

角动量是矢量，角动量L

的方向垂直于r和mv所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。★在直角坐标系中注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。L的大小为·L第108页，课件共152页，创作于2023年2月★角动量的单位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★当质点作圆周运动时,有v=r

,且r与v互相垂直，故有★是相对量：与参照系的选择有关，

与参考点的选择有关L＝rmv=mr2

第109页，课件共152页，创作于2023年2月例18一质点m以恒速v沿Ｘ轴运动，求其对原点Ｏ和Ｙ轴上距Ｏ点为l的Ａ点的角动量。解:对Ｏ点：由图知夹角为零。★角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。oxyzAf对于A点第110页，课件共152页，创作于2023年2月例19计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角动量。

求L。解：以原子核为参考点已知：me=9.1×10-31kgr=5.59×10-11m

=4.13×1010s-1M表示微观粒子的角动量以

为单位，量第111页，课件共152页，创作于2023年2月☆假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对z轴的角动量为，方向沿z轴，可正、可负2、质点对轴的角动量☆质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量；或运用坐标分量式求得：第112页，课件共152页，创作于2023年2月三、质点的角动量定理及角动量守恒定律１、对点的角动量定理若用r叉乘牛顿定律即于是有作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。叫冲量矩

外力矩对某固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量的增量。*：M和L必须是对同一点而言第113页，课件共152页，创作于2023年2月2、角动量守恒定律a、对点的角动量守恒律若，则

质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。

＊若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。b、对轴的角动量守恒律：

若Mz=0，则Lz=常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。第114页，课件共152页，创作于2023年2月例20质量为m的质点拴在一条细绳上，绳子通过一个光滑的套管可以往下牵引，使m在水平面内转动，当绳长为r0

以速率v0

转动，求把绳子缩到r需做的功。解：绳与质点系统对Ｏ点角动量守恒，（有心力作用）此过程中动能的增量

由动能定理，此即外界对系统所做的功。因质点始终绕Ｏ点作圆周运动，第115页，课件共152页，创作于2023年2月解:XYZO例21质量为m的质点以速度v0从参考点平抛出去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。

第116页，课件共152页，创作于2023年2月vh=Rcos

0例22将一质点沿半径为R的光滑半球形碗的内面与水平面略成一小角度地投射，碗保持静止。设v0为质点恰能达到碗口作匀速率圆周运动所需的初速度，试求出v0作为

０

的函数（

０是用角度表示的质点初位置，如图所示）。解：质点由初位置上升到碗口的过程中机械能守恒，以质点初位置为重力势能零点，有质点在整个运动过程中，重力与支持力对过球心的竖直轴力矩为零，故质点对竖直轴的角动量守恒，有得第117页，课件共152页，创作于2023年2月二、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理

i质点对固定点O的角动量定理第i个质点受力为i质点对固定点o的角动量定理

对i求和——质点系对固定点O的角动量定理

内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内力矩之总和为零，于是有第118页，课件共152页，创作于2023年2月

质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零第119页，课件共152页，创作于2023年2月（i)内力矩对系统的总角动量无贡献。(iii)质点系对固定点的角动量定理的物理意义：

质点系对o点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。(ii)在质点系的情况下，先求每力对固定点的力矩，再求合力矩。F1F2oM第120页，课件共152页，创作于2023年2月2、质点系对轴的角动量定理

将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。

式中ri为i质点到z轴的距离，

i

是vi与ri间的夹角。

若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度

作圆周运动，则这时则有

为简单记只讨论沿z轴的角动量定理——这时组成质点系的n个质点位于z轴的转动平面内，于是有第121页，课件共152页，创作于2023年2月将其与线动量 相比若令

m表示物体的平动惯性，则I表示转动惯性，故将命名为对轴的转动惯量，（式中ri

为mi

到轴的距离）3、转动惯量的引入

即：若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度

作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为

此时质点系对轴的角动量定理为第122页，课件共152页，创作于2023年2月转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）4、转动惯量的计算对于单个质点质点系若物体质量连续分布线质量分布面质量分布体质量分布第123页，课件共152页，创作于2023年2月解：在棒上任取一质量元线密度例23求质量为m，长为l的匀质细棒对穿过棒之中心并与棒垂直的轴的转动惯量。转动惯量计算举例：第124页，课件共152页，创作于2023年2月解：与上例做法相同，只是坐标原点由中点移至端点，积分限改变。例24求上述细棒对过棒之一端并与棒垂直的轴的转动惯量。第125页，课件共152页，创作于2023年2月解：在细圆环上任取一质元dm，dm到轴的距离为Ｒ，故因所有质元到轴心的距离均为Ｒ，例25求质量为m，半径为Ｒ的细圆环绕过圆心并与环面垂直的轴的转动惯量。R第126页，课件共152页，创作于2023年2月解：设圆盘厚为h,则整个圆盘可看成是由无穷多个半径为r，宽为dr的圆环所组成，设体密度为例26求匀质圆盘（或圆柱）对过质心且与盘面垂直的轴的转动惯量。第127页，课件共152页，创作于2023年2月(2)质量元的选取：线分布面分布体分布(1)刚体的转动惯量：

以上各例说明：线分布体分布面分布与刚体的总质量有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。

(3)对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于定轴转动的刚体而言，转动惯量是一个常数。第128页，课件共152页，创作于2023年2月

由于刚体是一个特殊质点系，即刚体对给定轴的转动惯量是常数，故有

作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。

转动定律说明了I

是物体转动惯性大小的量度。因为：三、刚体定轴转动的转动定理第129页，课件共152页，创作于2023年2月即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。

如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？MM第130页，课件共152页，创作于2023年2月例27质量为m1，m2（m1>m2）的两物体，通过一定滑轮用绳相连，已知绳与滑轮间无相对滑动，且定滑轮是半径为R、质量为m3的匀质圆盘，忽略轴的摩擦。求：(1)m1、m2的加速度；(2)滑轮的角加速度

及绳中的张力。（绳轻且不可伸长）m1m2m3R第131页，课件共152页，创作于2023年2月m1m2解对m1、m2，滑轮作受力分析，m1、m2作平动，滑轮作转动，第132页，课件共152页，创作于2023年2月解得＊请注意与教材中例题2－１比较，其有两处不同：其一此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；其二绳与滑轮间无相对滑动，所以；因故滑轮两边绳之张力不相等。第133页，课件共152页，创作于2023年2月

例28质量m=1.0kg、半径r=0.6m的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量I=mr2/2。圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m=1.0kg的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0=0.6m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向运动？解；受力分析如图所示解得rm、rmgTav0T第134页，课件共152页，创作于2023年2月1、刚体的转动动能

可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。注意比较转动动能平动动能i质点的动能

整个刚体的动能—对i求和四、刚体定轴转动的动能定理第135页，课件共152页，创作于2023年2月2、力矩的功

对于i质点其受外力为Fi，对i求和，当整个刚体转动d

，则力矩的元功

式中M为作用于刚体上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于外力矩与角位移之乘积（∵内力矩之和为零）∴当刚体转过有限角时，力矩的功为第136页，课件共152页，创作于2023年2月3、刚体定轴转动的动能定理：力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。第137页，课件共152页，创作于2023年2月4、刚体的势能质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的几何中心。OXYmiMC五、