保定市高二下学期开学数学试卷（承智班）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年河北省保定市定州中学高二(下）开学数学试卷(承智班)一、单项选择题1．已知四棱锥P﹣ABCD中，侧棱都相等，底面是边长为的正方形,底面中心为O，以PO为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为（）A． B． C． D．2．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点,若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++ B． C． D．﹣﹣+3．设a=,b=log23，c=(）0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c4．已知复数z=1﹣i,则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i5．已知实数a＞0，b＞0，且满足2a+3b=6,则+的最小值是（）A． B． C． D．46．已知集合M=｛y｜y=2x，x＞0},N=｛x｜y=lgx}，则M∩N为()A．（0，+∞) B．（1，+∞） C．[2，+∞) D．[1,+∞）7．函数y=log3(3﹣x）的定义域为（）A．（﹣∞，3］ B．（﹣∞,3） C．（3，+∞） D．［3,+∞）8．已知集合,Q=｛y｜x2+y2=4，x,y∈R}，则P∩Q=（）A．｛﹣2,1｝ B． C．φ D．Q9．在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形10．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进,后来为了赶时间开始加速．A．（4)（1）（2） B．（4）（2）(3） C．（4)（1）（3） D．(1）(2）（4）11．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（）A．15+3 B．9 C．30+6 D．1812．在等比数列｛an｝中，an＞0,a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．81二、填空题13．设函数f（x）=x2+lnx，若曲线y=f(x）在点(1，f（1)）处的切线方程为y=ax+b，则a+b=．14．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组,要求其中男、女同学都有，则共有种不同的选法．（用数字作答）15．已知函数f（x）=在R上是单调函数，则实数a的取值范围是．16．已知α是第二象限的角，tanα=，则cosα=．三、解答题17．已知奇函数f(x）=．(1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f(x）在区间［﹣1，｜a|﹣2］上单调递增，试确定a的取值范围．18．为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路,其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．(1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置,使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．19．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A1ACC1，AB=3，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A1E=4．(1）求证:平面A1DC1∥平面AB1C；（2)求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．

2016—2017学年河北省保定市定州中学高二（下）开学数学试卷（承智班)参考答案与试题解析一、单项选择题1．已知四棱锥P﹣ABCD中，侧棱都相等,底面是边长为的正方形，底面中心为O，以PO为直径的球经过侧棱中点,则该球的体积为()A． B． C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出以PO为直径的球的半径，再计算球的体积．【解答】解：如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的正方形，以PO为直径的球M经过侧棱中点N,则球的半径为MN=OC=AC=×AB=×2=1,所以该球的体积为V=π×13=．故选：C．2．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点,若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是(）A．﹣++ B． C． D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+［﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+(﹣）=﹣++，故选A．3．设a=，b=log23，c=（）0。3，则()A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据对数函数的图象和性质可得a＜0，b＞1，根据指数函数的图象和性质可得0＜c＜1，从而可得a、b、c的大小关系．【解答】解：由对数函数的图象和性质可得a=＜=0，b=log23＞log22=1由指数函数的图象和性质可得0＜c=（）0。3＜（)0=1∴a＜c＜b故选B．4．已知复数z=1﹣i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把复数z代入化简,复数的分子化简即可．【解答】解:将z=1﹣i代入得,故选A．5．已知实数a＞0，b＞0，且满足2a+3b=6，则+的最小值是()A． B． C． D．4【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数a＞0，b＞0,且满足2a+3b=6，则+=(2a+3b）=≥=，当且仅当b=a=．故选：C．6．已知集合M=｛y｜y=2x，x＞0}，N=｛x｜y=lgx｝，则M∩N为（）A．(0，+∞） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．［1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出M中值域确定出M，求出N中x的范围确定出N,找出M与N的交集即可．【解答】解：由y=2x,x＞0，得到y＞1,即M=（1，+∞)，由N中y=lgx，得到x＞0，即N=(0,+∞)，则M∩N=(1，+∞)，故选：B．7．函数y=log3（3﹣x）的定义域为（）A．（﹣∞，3] B．（﹣∞,3） C．（3，+∞） D．[3，+∞)【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式,解出即可．【解答】解：由题意得：3﹣x＞0，解得:x＜3，故选:B．8．已知集合，Q={y|x2+y2=4，x，y∈R},则P∩Q=（）A．｛﹣2，1} B． C．φ D．Q【考点】交集及其运算．【分析】先把P、Q两个集合化简到最简形式，依据交集的定义求出P∩Q．【解答】解：∵={x|x≥﹣2｝，Q={y｜x2+y2=4，x，y∈R}={y|﹣2≤y≤2},∴P∩Q=｛x｜x≥﹣2}∩{y|﹣2≤y≤2｝={y|﹣2≤y≤2}=Q，故选D．9．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是(）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【考点】三角形的形状判断；余弦定理．【分析】已知2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解得cosC=﹣．由0＜C＜π，可得．【解答】解：∵2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴可解得cosC=﹣．∵0＜C＜π，∴．故选：D．10．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;（2)小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进,后来为了赶时间开始加速．A．（4)（1）（2) B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4）【考点】函数的图象．【分析】根据小明所用时间和离开家距离的关系进行判断．根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0;由途中遇到一次交通堵塞,可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速,可判断函数的图象上升速度越来越快．【解答】解：（1)离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象(4)；（2)骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞,则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）；（3)最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快,故应选图象（2）．故答案为:（4）（1）（2），故选：A．11．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()A．15+3 B．9 C．30+6 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图可以确定，该几何体是以侧视图为底面的直四棱柱,根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和侧面积，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为2+=3,侧视图的高为:，故底面积S=2×3=6，又因为棱柱的高为3，故侧面积为：（2+3+2+3）×3=30．∴几何体的表面积为：．故选：C．12．在等比数列{an｝中，an＞0,a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．81【考点】等比数列的性质．【分析】先根据已知条件求出公比，再对a4+a5整理，利用整体代换思想即可求解．【解答】解：设等比数列的公比为q．则由已知得:a1（1+q）=1,①a1q2（1+q）═9②⇒q2=9．又∵an＞0，∴q=3．所以:a4+a5=a1•q3（1+q)=1×33=27．故选：B．二、填空题13．设函数f（x)=x2+lnx，若曲线y=f（x）在点(1，f（1））处的切线方程为y=ax+b，则a+b=1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出切点坐标,然后利用导数研究函数的切线的斜率，求出切线方程,从而得到a与b的值．【解答】解：∵f（x)=x2+lnx∴f(1）=12+ln1=1即切点为(1，1）而f′（x）=2x+则f′（1)=2+1=3即切线的斜率为3∴曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）即y=3x﹣2即a=3，b=﹣2∴a+b=3﹣2=1故答案为:114．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组,要求其中男、女同学都有，则共有30种不同的选法．（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】不考虑特殊情况有C73，只选男同学C43，只选女同学C33，由对立事件的选法，可求．【解答】解：不考虑特殊情况有C73,利用对立事件的选法，故有C73﹣C43﹣C33=30，故答案为30．15．已知函数f（x）=在R上是单调函数,则实数a的取值范围是[,)．【考点】函数单调性的性质．【分析】分类讨论，分别利用函数的单调性的性质,求得a的范围,再把这2个a的范围取并集，即得所求．【解答】解：若函数f（x）=在R上是单调增函数,则，求得a无解．若函数f(x）=在R上是单调减函数，则，求得≤a＜，综上可得，≤a＜，故答案为:[，）．16．已知α是第二象限的角，tanα=，则cosα=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据同角的三角函数关系，结合α是第二象限的角，求出cosα的值．【解答】解:α是第二象限的角，tanα=﹣，∴sinα=﹣cosα;∴sin2α+cos2α=+cos2α=cos2α=1，∴cos2α=;又cosα＜0，∴cosα=﹣．故答案为：．三、解答题17．已知奇函数f（x)=．（1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．(2)若函数f（x)在区间[﹣1，｜a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．【考点】函数单调性的性质;函数的图象．【分析】（1）由奇函数的定义,对应相等求出m的值；画出图象．(2）根据函数的图象知函数的单调递增区间，从而得到|a|﹣2的一个不等式,解不等式就求得a的取值范围．【解答】解:（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣(x)2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x又f(x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f(x)=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2y=f（x）的图象如右所示（2）由（1）知f（x）=，由图象可知，f（x)在［﹣1,1]上单调递增，要使f(x)在［﹣1，｜a｜﹣2］上单调递增，只需解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤318．为方便市民休闲观光,市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示）,沿△ABC边界修建观光道路,其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．（1)当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度;(2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度,试确定图中A、B两点的位置,使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理即可得解BC的值．（2)设CA=x,CB=y,x,y∈（0，200］，利用余弦定理可求，结合基本不等式可求x+y≤120,从而可求观光道路总长度最长值．【解答】解：（1）在△ABC中，由已知及正弦定理得,即，∴．（2)设CA=x,CB=y，x，y∈(0，200］，在△ABC中，AB2=AC2+CB2﹣2AC•CB•cos120°，即,∴,故x+y≤120，当且仅当x=y=60时,x+y取得最大值，∴当A、B两点各距C点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为．19．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A1ACC1，AB=3，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A1E=4．(1）求证：平面A1DC1∥平面AB1C;（2)求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形A1ACC1是平行四边形，从而A1C1∥AC．进而四边形ADC1B1是平行四边形,从而AB1∥DC1，进而AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1,由此能证明平面A1DC1∥平面AB1C．（2）设AC∩BD=O,推导出A1E⊥AC,从而A1E⊥平面ABCD．以E为原点，分别以AC，A1E所在直线为x，z轴，以过点E与BD平行的直线为y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1)因为AA1平行等于CC1，所以四边形A1ACC1是平行四边形，所以A1C1∥AC．又因为AD平行等于B1C1,所以四边形ADC1B1是平行四边形，所以AB1∥DC1．因为AC,AB1⊄平面A1DC1，A1C1，DC1⊆平面A1DC1，所以AC∥平面A1DC1,AB1∥平面A1DC1，又因为AC∩AB1=A，AC，AB1⊆平面AB1C,所以平面A1DC1∥平面AB1C．解：（2）设AC∩BD=O，由题意可知△ABD是等边三角形．因为，所