【2021中考数学】切线长定理含答案

切线长定理

一.选择题

1.如图，以、P8分别切。。于A、B,PA=\Ocm,C是劣弧AB上的点（不与点A、8重

合），过点C的切线分别交力、PB于点、E、F.则△P£：/的周长为（）

2.如图，圆。的圆心在梯形48co的底边A8上，并与其它三边均相切，若A8=10,AD

=6,则。8长（）

A.4B.5C.6D.无法确定

3.图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的

切线AE,则sin/CBE=（）

A.返B.2C.AD.z/S.

33310

4.如图，PA.PB、分别切。。于A、B两点，ZP=40°,则NC的度数为（）

A.40°B.140°C.70°D.80°

1

5.如图，在口ABC。中,过A、B、C三点的圆交AQ于E,且与CO相切.若A8=4,BE

)

B.4

6.如图，PA.PB、CD分别切于4、BE、,C£>交左、PB于C、。两点，若NP=40°,

C.66°D.70°

7.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边8c的中点，以。为圆心作半圆与A8,AC相

切，切点分别为Q,E.过半圆上一点F作半圆的切线，分别交A8,AC于M,N.那么

眦型的值等于（）

BC2

842

8.如图，四边形A8CQ中，AO平行BC,乙4BC=90°,AD=2,AB=6,以AB为直径的

半00切CQ于点E,尸为弧BE上一动点，过下点的直线MN为半00的切线，MN交

8c于M,交CD于■N,则△MCN的周长为（）

CMB

2

A.9B.10C.3^11D.2723

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(6,0)、B(0,6),。。的半径为

2为坐标原点)，点P是直线AB上的一动点，过点P作。O的一条切线尸。，。为切

C.3&D.714

10.如图中，CA,8分别切圆01于A,。两点，CB、CE分别切圆。2于8,E两点.若

/1=60°,/2=65°,判断AB、CD.CE的长度，下列关系何者正确()

A.AB>CE>CDB.AB=CE>CDC.AB>CD>CED.AB=CD=CE

二.填空题

11.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘

和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3C7〃，则此光盘的直径是cm.

12.已知：以切。。于点A,PB切00于点、B,点C是。。上异于A、B的一点，过点C

作00的切线分别交融和PB于点。、E,若用=10丽，DE=7ctn,则△PDE的周长为

13.己知直角梯形4BC。的四条边长分别为AB=2,BC=CD=\0,AD=6,过8、。两点

作圆，与8A的延长线交于点E,与CB的延长线交于点凡则8E-B尸的值为.

3

14.已知：分别切。。于A、B、D,若以=15cm,那么△PEF周长是cm.若

ZP=50°,那么/EOF=

15.如图，△ABC是一张三角形的纸片，。0是它的内切圆，点。是其中的一个切点，

已知4£>=10«»,小明准备用剪刀沿着与。。相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(4

AMN),则剪下的△AMN的周长为.

三.解答题

16.如图，以、PB、8是的切线，切点分别为点4、B、E,若△2€■£)的周长为18cm,

NAPB=60°,求。0的半径.

17.如图，在梯形ABC£>中，AB//CD,。0为内切圆，E为切点.

(1)求证：ACP=AE'AD；

(2)若4O=4cnnAD—5cm,求的面积.

B

4

18.如图，AB.BC、CQ分别与。。相切于E、F、G,S.AB//CD,B0=6,C0=8.

(1)判断△OBC的形状，并证明你的结论;

(2)求BC的长：

(3)求的半径。尸的长.

5

参考答案

一.选择题

1.解：•・•如、尸3分别切0O于A、B,

・・・P8=%=10c机，

YEA与EC为。的切线，

：.EA=EC,

同理得到FC=FB,

：.4PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF

=PE+EA+FB+PF

=PA+PB

=10+10

=20(cm).

故选：C.

2.解：方法1、

设圆O的半径是R,圆O与A。、DC、C5相切于点E、F、H,连接OE、OD、OF、OC、

OH.

设C£>=y,CB=x.

设5梯形ABCD=S

则S=L(CD+A8)R=A.(尹10)R----------(1)

22

S=S^BOC+S^COD+S^DOA

=LR+L/?+JLX6R----------(2)

222

联立(1)(2)得x=4；

方法2、连接ODOC

TA。，CO是OO的切线，

・・・NAOO=NOOC,

,:CD〃AB,

：.ZODC=NA。。，

ZADO=ZAOD

6

：.AD=OA

・・・AQ=6,

OA—6,

VA^=10,

J05=4,

同理可得

0B=BC=4,

故选：A.

3.解：取BC的中点。，则。为圆心，连接OE,AO,AO与BE的交点是产

〈AB,AE都为圆的切线

：.AE=AB

♦：OB=OE,AO=AO

：.CSSS)

：.ZOAB=ZOAE

：.AO±BE

在直角4AOB里AO2=OB2+AB2

VOB=1,AB=3

:.A0=7]0

易证明AB。尸S/\AOB

：.B0：AO=OF：OB

*••1：10=OF：1

10_

sinNCBE=m=Vl^

OB10

故选：D.

7

AD

I^x***^、■U

BOC

4.解：•.•朋是圆的切线.

AZ0AP=9Q°,

同理NOBP=90°,

根据四边形内角和定理可得：

NAOB=360°-ZOAP-ZOBP-ZP=360°-90°-90°-40°=140

NACB=工乙408=70°.

2

故选：C.

5.解：连接CE；

VBCE=BC+CE-

ZBAE=NEBC+NBEC；

'：NDCB=NDCE+NBCE,

由弦切角定理知：NDCE=NEBC,

由平行四边形的性质知：NDCB=NBAE,

NBEC=ABCE,即BC=BE=5,

.♦.4)=5；

由切割线定理知：DE=DC2^DA=^-,

5

故选：D.

8

D、

5

6.解：'：PA.PB、CD分别切。。于4、B、E,CO交以、PB于C、O两点,

：.CE=CA,DE=DB,

：.ZCAE=ZCEA,NDEB=NDBE,

：.ZPCD=NCAE+NCEA=2ZCAE,ZPDC=ZDEB+NDBE=2ZDBE,

：./C4E=J_/PC£),NDBE=LNPDC,

22

即Nfi4E=^/PC£),NPBE=Z/PDC,

22

VZP=40°,

ZFAE+ZPBE=AzPCD+kzPDC

22

=A(ZPCZJ+ZPDC)=A(180--NP)=70°.

22

故选：D.

7.解：连OM,ON,如图

\'MD,MF与。。相切，

；./l=N2,

同理得N3=/4,

ffijZl+Z2+Z3+Z4+ZB+ZC=360°,AB=AC

.*.Z2+Z3+ZB=180°；

而Nl+/MO8+N8=180°,

：.Z3=ZMOB,即有N4=NMO8,

:AOMBsANOC,

.BM=OB

**ocCN'

；.BM・CN=LBC2,

4

•BM・CN=1

BC24

故选：B.

9

BOC

8.解：作。H_LBC于H,如图，

:四边形4BC£>中，AO平行BC,NABC=90°,

：.AB±AD,ABA.BC,

•：AB为直径，

和BC为。0切线，

：CC和MN为。0切线，

：.DE=DA=2,CE=CB,NE=NF,MB=MF,

:四边形ABHD为矩形，

：.BH=AD=2,DH=AB=6,

设BC=x,则CH=x-2,CD=x+2,

在RtADC//中，•/CH2+DH2=DC2,

(.x-2)2+62—(x+2)2,解得x=旦，

2

:.CB=CE=',

2

△MCN的周长=CN+CM+MN

=CN+CM+NF+MF

=CN+CM+NF+MB

=CE+CB

=9.

故选：A.

9.解:连接OP、OQ.

•・・PQ是OO的切线,

io

J.OQ^PQ-,

根据勾股定理知PQ1=OP2-OQ1,

•.•当POLAB时，线段P。最短；

又；A(-6,0)、B(0,6),

.\OA=OB=6f

.\AB=6\/~2

：.OP=LW=3芯,

2

•・・OQ=2,

•**PQ=JoP2_Q02=71^,

故选：D.

：.Zv4BC=180°-Z1-Z2=180°-60°-65°=55°,

AZ2>Z1>ZABC,

：.AB>BC>AC1

VCA,CO分别切圆Oi于A,O两点，CB、CE分别切圆02于8,E两点,

：.AC=CD,BC=CE,

：.AB>CE>CD.

故选：A.

二.填空题

11.解：VZCAD=60°,

：.ZCAB=\20°,

TAB和AC与O。相切，

・・・NOA8=NOAC,

11

，ZOAB=AzCAB-60°

2

,**A3=3cm,

•\OA=6ctn,

：.由勾股定理得OB=3心m,

光盘的直径6y[^pm.

故答案为：6a.

①点C在劣弧AB上时，如图,

当根据切线长定理得：AD=C£>,BE=CE,PA=PB,

则△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+CD+CE+PE=PD+AD+PE+BE=PA+PB=2PA=

20cm.

②点C在优弧A8上时，如图，

当根据切线长定理得：AD=CD,BE=CE,PA=PB,

则XPDE的周长=PD+DE+PE=2PA+2DE=20+2X7=34cm.

综上，△「£)£：的周长为20或34cm.

故答案为：20或34.

13.解：延长CQ交。。于点G,

12

设BE,QG的中点分别为点M,N,则易知AM=£W,

：BC=C£>=10,由割线定理得，CB・CF=CD・CG,

,:CB=CD,

：.BF=DG,

：.BE-BF=BE-DG=2(BM-DN)=2(BM-AM)=2AB=4.

故答案为:4.

14.解：：以、PB、EF分别切于A、B、D,

：.PA=PB=\5cm,ED=EA,FD=DB,

：.PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB=^Cem)即△2《下周长是30c，”；

:%、尸3为。。的切线，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

而N尸=50°,

AZAOB=360°-90°-90°-50°=130°；

连O。，如图，

：.ZODE=ZODF=90°,

易证得RtAOAE^RtAODE,RtAOFD^RtAOFB,

.*.Z1=Z2,Z3=Z4,

15.解：：△ABC是一张三角形的纸片，。。是它的内切圆，点。是其中的一个切点，AD

=10cm,

13

...设E、F分别是。。的切点，

故。M=MF,FN=EN,AD^AE,

：.AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20(cm).

三.解答题

16.解：连接04,OP,则。4_L朋，

根据题意可得：CA=CE,DE=DB,PA=PB,

\'PC+CE=DE+PD=}8,

：.PC+CA+DB+PD^\S,

.•.必=JLX18=9(cm),

2

,：PA.PB是。。的切线，

AZAPO=^ZAPB=30°,

2

在中，PO=2AO,AO>0,

故。42+92=(240)2,

解得：0A=3