《三角形的证明》练习（提升篇）

专题1.13《三角形的证明》专题练习（提升篇）

一、单选题

1.如图，在RtZVWC中，NACB=90。，AC^BC=2,AB的中点为。.以C为原点,

射线CB为x轴的正方向，射线C4为y轴的正方向建立平面直角坐标系.P是BC上的一个

动点，连接AP、DP,则AP+QP最小时，点P的坐标为（）

BD

A,-[T,°]。岩可-1别

2.如图，C是线段AB上的一点，AACZ）和BCE都是等边三角形，AE交CC于M,BD

交CE于M交AE于0,则①。5=A£;②ZAMC=4DNC；③ZAO8=60。；④

DN=AM；⑤△CMN是等边三角形.其中，正确的有（）

AC.B

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.如图，0尸平分NAQB,PCL04于点C,PD上0B于点、D，延长CP,DP交0B,

于点E，F,下列结论错误的是（）

/

°CFA

A.PC=PDB.OC=OD

C.ZCPO=ZDPOD.PC=PE

4.如图，ABC中，AC=AD=BD,ACAD=80°.则DB等于（）

5.如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，NDBC=15。,分别以A、8两点为圆

心，以大于2A8的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E、F,直线EF与AC相交于点。,

2

则NA的度数是（）

A.50°B.60°C.75°D.45°

6.如图所示，已知AB〃CD,NA4C与NACD的平分线交于点。，。6_1_4。于点£,

KOE=3cm,则点。到A8，8的距离之和是（）

AB

E

cD

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

7.如图，已知AD为A6C的高线，AD=BC,以AB为底边作等腰RtAABE，连接

ED,EC延长CE交AD于F点，下列结论:①ND4E=NCBE；②CE_LOE；③BD=AF；

④AED为等腰三角形；⑤SaBDEnSgCE，其中正确的有（）

A.①③⑤B.①②④C.①③④D.①②③⑤

8.如图，△AECgABED，点D在AC边上，AE和BD相交于点0,若NA£D=30°，

NBEC=120°,则ZADB的度数为（）

A.45°B.40°C.35°D.30°

9.如图，在A3C中，OE是4c的垂直平分线，交AC边于E,交BC边于。，连接AD,

若A£=3,△ABO的周长为13,则A3C的周长（）

A

E

A.16B.19C.20D.24

10.如图，在ABC中，AC=18cm,BC=20cm,点M从点A出发以每秒2cm的速

度向点C运动，点N从点。出发以每秒1.6cm的速度向点8运动，其中一个动点到达终点

时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰

三角形的腰长是（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

11.若a、b、c是A5C的边，且(a—b)2+(a—c)2+S—=0,则加。是().

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

12.如图，在等边AABC中，AB=2.N为AB上一点，且AN=1,NBAC的平分线交BC

于点D.M是AD上的动点，连结BM、MN.则BM+MN的最小值是（）

C.1D.3

13.如图所示，己知点N（l,0）,一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,

M,尸分别是线段OB,AB上的动点，则PM+MN的最小值是（）

05&

A.4B.5L•-----D.4x/2

2

14.如图，在A3C中，点D是BC边上一点，已知NDAC=a,^DAB=90°--

2

CE平分/ACB交AB于点E,连接DE,则/DEC的度数为（）

aa

A.B.-c30D.45°-a

204

二、填空题

15.如图，C为NAOB的边OA上一点，过点C作CO〃O8交NAOB的平分线0E于点F,

作C”,08交8。的延长线于点H,若NEFD=a,现有以下结论：①NC。尸=a；@ZAOH

=180。-2a；③CHJ_CQ；④/OC〃=2a-90。.其中正确的是_（填序号）.

B

H0

16.如图，在△ABC中，A。平分N8AC,交BC于点、D,BELAD于E,AB=6,4c=14,

NABC=3NC,贝IJBE=.

17.如图，已知0为4ABC三边垂直平分线的交点，且NA=50。，贝IJ/80C的度数为

度.

18.已知：如图，ABC中，NACB=90。，AC=BC=&,ABD是等边三角形，则CD的

长度为.

19.如图，AABC是等边三角形，边长为2,AD是BC边上的高.E是AC边中点，点P

是AD上的一个动点，则PC+PE的最小值是,此时NCPE的度数是

BDC

20.如图，在ABC中，NEFD=30°,且/AfFn/A/®,ZCFD=ZCDF,则£)8

的度数为.

21.如图，已知ABC,48的垂直平分线交4B于。，交BC于E,AC的垂直平分线交

AC于尸，交BC于G,若BE=3,EG=4,BC=12,贝UA8C的面积为.

22.如图，在长方形A8CD中，A3=4，BC=8,点E是3C边上一点，且AE=EC,

点P是AO边上一动点，连接尸石、PC.给出下列结论：

①3£=3；

②当AP=50寸，AE//CP；

25

③当AP=一时，AE平分N3EP；

6

④若NPBE=NEPC,则NBPC=NPEC.其中正确的是

三、解答题

23.如图，在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，连接AD,NCBE=45。，BE

分别交AC,AD于点E、F，若AB=13,BC=10,求AF的长度.

24.如图，ABC中，AC=2AB=6,BC=36.AC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,

E.

(I)求BE的长；

(2)延长DE交AB的延长线于点F,连接CF.若M是DF上一动点，N是CF上一动点,

请直接写出CM+MN的最小值为.

25.在A6C中，AB=AC,在A6c的外部作等边三角形八48,E为AC的中点,

连接DE并延长交3C于点F,连接BD.

(1)如图1,若440=100。，求NA5O和/比尸的度数;

(2)如图2,NACB的平分线交45于点M,交EF于点N,连接BN.

①补全图2；

②若BN=DN,求证：MB=MN.

参考答案

1.A

【分析】作点A关于x轴的对称点A，，连接AP,则AP=AP,当A，，P,D在同一直线上

时，AP+DP的最小值等于AD的长，依据待定系数法即可得到直线AD的解析式，进而得

出点p的坐标为

解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A，，连接AP,则AP=AP,

JAP+DP=A'P+DP,

当ATP,D在同一直线上时，AP+DP的最小值等于AD的长,

VAC=BC=2,AB的中点为D,

AA(0,2),B(2,0),D(1,1),A'(0,-2),

设直线AD的解析式为y=kx+b(k^O),则

1=攵+。

-2=b

k=3

解得：＜

b=—2

y=3x_2,

2

当y=0时，x=一,

2

...点P的坐标为(一，0),

3

故选：A.

2.C

【分析】易证△ACEgADCB,可得①正确；即可求得NAOB=120。，可得③错误；再证

明△ACMg^DCN,可得②④正确和CM=CN,即可证明⑤正确；即可解题.

解：•••△ACD和BCE都是等边三角形

VZACD=ZBCE=60°,

，NDCE=60。，

在△ACEfl△DCB中，

AC^DC

<ZACE=NDCB,

CB=CE

AAACE^ADCB(SAS),

；./BDC=/EAC,DB=AE,①正确；

NCBD=/AEC,

ZAOB=180°-ZOAB-ZDBC,

ZAOB=180°-/AEC-NOAB=120。，③错误；

在4ACM^11△DCN中，

'NBDC=NEAC

<DCAC,

ZACD=ZDCN=60°

.".△ACM^ADCN(ASA)，

，AM=DN,④正确；

ZAMC=ZDNC,②正确；

CM=CN,

VZACD^ZBCE=60°,

.,.ZMCN=1800-ZACD-ZBCE=60°,

...△CMN是等边三角形，⑤正确；

故有①②④⑤正确.

故选：C.

3.D

【分析】根据角平分线的性质定理判断A选项：证明△OPCT^OPD判断B选项；根据

△OPC^AOPD即可判断C选项；证明△DPEgZXCPF判断D选项.

解：...。尸平分Z4O8,PCLO4于点C，PD上OBT点、D，

；.PC=PD,故A选项正确；

VZODP-ZOCP=90°.

又•；OP=OP,PC=PD,

RtAOPC^RtAOPD,

.,.OC=OD,故B选项正确；

VAOPC^AOPD,

AZCPO=ZDPO,故C选项正确；

VZPDE=ZPCF=90°,PD=PC,ZDPE=ZCPF,

.,.△DPE^ACPF,

PE=PF,

VPF>PC,

.,.PE>PC,故D选项错误；

故选：D.

4.A

【分析】利用AD=AC,求出NADC=/C=50°,利用AD=AB,即可求得NB=/BAD

=-ZADC=25°.

2

解：VAD=AC,

AZADC=ZC,

ZCAD=80°，

.../ADC=NC=50°,

VAD=AB,

/B=/BAD=-ZADC=25°,

2

故选:A.

5.A

【分析】根据中垂线的性质可得DA=DB,设/A=x,贝U/ABD=x,结合等腰三角形的性质

以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解.

解：又作图可知：EF是AB的垂直平分线，

；.DA=DB,

AZA=ZABD,

设/A=x,则/ABD=x,

ZZ)3c=15。，

AZABC=x+15°,

VAB=AC,

，/C=/ABC=x+15。，

；.2(x+15°)+x=180°,

x=50°.

故选A.

【点拨】

本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质

定理以及方程思想，是解题的关键.

6.B

【分析】过点。作MN,MN_LAB于M,证明MN_LCD,则MN的长度是AB和CD之间

的距离；然后根据角平分线的性质，分别求1HOM、ON的长度，再把它们求和即可.

解：如图，过点。作MN,MNJ_AB于M,交CD于N,

AMB

E

O

CND

・・'AB〃CD,

AMN1CD,

・.・AO是NBAC的平分线，OM_LAB,OE1AC,OE=3cm,

.*.0M=0E=3cm,

•••CO是NACD的平分线，OE_LAC,ON1CD,

・・・ON=OE=3cm,

・・・MN=OM+ON=6cm,

即AB与CD之间的距离是6cm,

故选B

7.D

【分析】①由等腰直角三角形的性质可得出结论；

②证明AADE丝Z\BCE,可得/AEC=/DEB,即可求得NAED=/BEG,即可解题；

③证明△AEFZ4BED即可；

④AErDE,故④不正确；

⑤易证AFDC是等腰直角三角形，则CE=EF,SAAEF=S“CE,由△AEFZaBED,可知

SABDE=SAACE,所以SABDE=SAACE.

解：①：AD为^ABC的高线，

ZCBE+ZABE+ZBAD=90°,

•/RtAABE是等腰直角三角形，

ZABE=ZBAE=ZBAD+ZDAE=45°,AE=BE,

ZCBE+ZBAD=45°,

/.ZDAE=ZCBE,

故①正确

②在zkDAE和ACBE中，

AE=BE

<ZDAE=ZCBE,

AD=BC

.'.△ADE^ABCE(SAS)；

.".ZEDA=ZECB,

；NADE+/EDC=90。，

ZEDC+ZECB=90°,

ZDEC=90°,

.,.CE1DE；

故②正确；

(3)VZBDE=ZADB+ZADE,ZAFE=ZADC+ZECD,

ZBDE=ZAFE,

ZBED+ZBEF=ZAEF+ZBEF=90°,

ZBED=ZAEF,

在AAEF和ZkBED中，

ZBDE=ZAFE

<NBED=NAEF,

AE=BE

.'.△AEF^ABED(AAS),

.,.BD=AF；

故③正确；

©VAE^DE,

...△ADE不是等腰三角形，

@VAD=BC,BD=AF,

；.CD=DF,

VAD±BC,

...△FDC是等腰直角三角形，

VDEICE,

；.EF=CE,

；.SAAEF=SAACE,

VAAEF^ABED,

•"SAAEF=SABED，

，SABDE=SAACE.

故⑤正确；

故选：D.

8.A

【分析】

由ZkAEC之ABED可知：EC=ED,NC=NBDE,ZBED=ZAEC,根据等腰三角形的性质即

可知NC的度数，从而可求出/ADB的度数.

解：VAAEC^ABED,

.\EC=ED,ZC=ZBDE,ZBED=ZAEC,

:.NBEO+NAED=NCED+NAED,

・・・ZBEO=ZCED,

VZAED=30°,ZBEC=120°,

1200-30°

JZBEO=ZCED=---------------=45°,

2

在^EDC中,

VEC=ED,ZCED=45°,

.•.ZC=ZEDC=67,5°,

.\ZBDE=ZC=67.5O,

.,.ZADB=180°-ZBDE-ZEDC=180o-67.5o-67.5°=45o,

故选A.

9.B

【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC,求出和AB+BC的长，即可求出答案.

解:DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,.

「・AC=2AE=6cm,AD=DC,

△ABD的周长为13cm,

AB+BD+AD=13cm,

•**AB+BD+DC=AB+BC=13cm

△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm,

故选B.

10.D

【分析】要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间.我们可以设

M、N运动的时间为x秒.

解：设M、N运动的时间为x秒.

当△OWN是以MN为底的等腰三角形时，CM=CN,CM=18—2x,CN=L6x

即18—2x=1.6x，解得x=5.

腰长为5x1.6=8cm

故选D.

11.D

【分析】由偶次方的非负性质得出a-b=0,a-c=0,b-c=0,得出a=b=c,即可得出结论.

解：(i7—h)~+(o-c)~+(Z?—c)~—0,,

a-b=0,a-c=0,b-c=O,

.*.a=b,a=c,b=c,

；.a=b=c,

这个三角形是等边三角形；

故选：D.

12.A

【分析】连接CN,与AD交于点M,连接BM,此时BM+MN取得最小值，由AD为/BAC

的角平分线，利用三线合一得到AD_LBC,且平分BC,可得出BM=CM,由BM+MN=

CM+MN=CN,可得出CN的长为最小值，利用等边三角形的性质及勾股定理求出即可.

解：如图，连接CN,与AD交于点M,此时BM+MN取得最小值,

：AD为/BAC的角平分线，等边△ABC

.'.AD±BC,且平分BC,

；.AD为BC的垂直平分线，

；.CM=BM,

，BM+MN=CM+MN=CN,即最小值为CN的长，

:△ABC为等边三角形，且AB=2,AN=1,

，CN为AB边上的中线，

ACNIAB,

在RSACN中，AC=AB=2,AN=1,

根据勾股定理得：CN=1AC2-AN2=5

故选：A.

13.C

【分析】如图，点N关于OB的对称点N，(・1,0),过点N，作NTLAB交OB于M,则

PN^PM+MN的最小值，根据直线AB的解析式为尸x+4,得到直线NT的解析式为y=x+l,

得到尸推出apAN，是等腰直角三角形，于是得到结论.

解：如图，点N关于OB的对称点NY-1,0),过点N，作NPLAB交OB于M,

则PN，=PM+MN的最小值,

•.•宜线AB的解析式为y=-x+4,

；.A(4,0),B(0,4),

直线NT的解析式为y=x+l,

y-—x+4

由，解得《

y=x+l

VA(4,0),B(0,4),

.•.OA=OB,

.../BAO=45°,

二△PAN，是等腰直角三角形,

：AN'=4+1=5,

・"乎

c5

/.PM+MN的最小优［是PN'=

2

故选：C

14.B

【分析】过点E作EMLAC于M,EN_LAD于N,EH_LBC于H,如图，先计算出

4AM，则AE平分NMAD，根据角平分线的性质得EM=EN,再由CE平分NACB

得到EM=EH，则EN=EH,于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分NADB，

再根据三角形外角性质解答即可.

解：过点E作EMLAC于M,ENJ,AD于N,EHJ_BC于H,如图，

n

"AC=a,/DAB=90。——，

2

^EAM=90°--,

2

.♦.AE平分NMAD，

，EM=EN,

CE平分NACB，

.-,EM=EH.

.-.EN=EH，

DE平分ZADB，

/.N1」/ADB,

2

由三角形外角可得：Nl=/DEC+/2,

N2」/ACB，

2

/I=/DEC+-NACB,

2

而NADB=/DAC+NACB，

/DEC=-NDAC=-a,

22

故选：B.

15.①②③④

解：'：CD//OB,NEFD=a,

：.ZEOB=ZEFD=a,

■：0E平分NA08,

:.NCOF=NEOB=a,故①正确；

NAO8=2a,

乙4。8+/4。”=180。，

ZAO//=180°-2a,故②正确;

'."CD//OB,CHVOB,

：.CH1.CD,故③正确；

ZHCO+ZHOC=90°,ZAOB+ZHOC=\SO0,

：.ZOCH=2a-90°,故④正确.

故答案为：①②③④.

16.4.

【分析】如图，延长交AC于G,证明NAGB=ZA8G,可得AG=AB,GE=BE,

再求解CG,再证明：/C=NCGB,可得BG=CG,从而可得答案.

解：如图，延长BE,交AC于G,

A

AO平分/BAC,

ZGAE=/BAE,

BE±AD,

ZAEG=ZAEB=90。,

：.ZAGB=ZABG,

.•.AG=AB=6,GE=BE,

AC=14,

.-.CG=8,

ZAGB=ZC+ZCBG,

ZABC=ZABG+NCBG=ZAGB+ZCBG=ZC+2NCBG,

ZABC=3ZC,

3NC=NC+2NCBG,

/.ZC=ZCBG,

BG=CG=8,

:.BE=-BG-4.

2

故答案为：4.

17.100【分析】连接AO延长交BC于D,根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC,

再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得NBOC=2NA,即可求解.

解：连接AO延长交BC于D,

为4ABe三边垂直平分线的交点，

.\OB=OA=OC,

.\ZOBA=ZOAB,ZOCA=ZOAC,

ZBOD=ZOBA+ZOAB=2ZOAB,ZCOD=ZOCA+ZOAC=2ZOAC,

，/BOC=NBOD+/COD=2ZOAB+2ZOAC=2ZBAC,

ZBAC=50°,

，ZBOC=100°.

故答案为：100.

18.V3+1

解：VZACB=90o,AC=BC=V2)

；•AB=ylAC2+BC2=J(⑹2+(何

2,ZCAB=ZCBA=45°,

ABD是等边三角形,

，AB=AD=BD=2,ZDAB=ZABD=60°,

：AC=BC,AD=BD,

；.AB_LCD于E,且AE=BE=1,

在RtZ\AEC中，ZAEC=90°,NEAC=45。，

.\ZEAC=ZACE=45°,

，AE=CE=1,

在RtZ\AED中，/AED=90。，AD=2,AE=1,

-'-DE=7A£>2-A£2=V3>

.,.CD=V3+1.

故答案为G+l.

【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分

线的性质等知识.运用勾股定理求出DE是解决本题的关键.

19.7360°

解：作点E关于AD的对称点F,然后连接CF,交AD于点H,连接HE,如图所示:

「△ABC是等边三角形，

，AB=AC=BC,NB=NACB=NBAC=60°,

VAD1BC,

；.AD平分NBAC,BD=DC,

•.•点E是AC的中点，AD垂直平分EF,

点F是AB的中点，

.\CF±AB,CF平分NACB,

AZBCF=30°,

•••当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值,

即为CF的长，

：BC=2,

，BF=1,

在RtZXCBF中，CF=JBC2-BF?=6,

.•.PC+PE的最小值为6；

.,.ZDHC=ZFHP=60°,

：AD垂宜平分EF,

；.FH=HE,

.,.ZFHP=ZPHE=60",

/.ZCHE=600,即为NCPE=60°；

故答案为J5；60。.

【点拨】本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、

等边三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键.

20.120°

解：设NABC=x,

ZA+ZC=180°-x.

,/ZAFE=ZAEF，ZCFD=ZCDF，

AZA+2ZAFE=180°,ZC+2ZCfZ)=180°,

/.(ZA+ZC)+(2ZAFE+2NCFD)=360°,

2ZAFE+2ZCFD=180°+x,

ZAFE+NCFD=90°+-x,

2

NEFD=180。—190。+gx]=30°,

x=120°,

故答案为：120。.

【点拨】本题考查「三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型.

21.18

【分析】连接AE、4G,根据中垂线的性质，求出AE,AG的长，结合勾股定理的逆定理,

推出AEL8C，进而即可求解.

解：连接4E、AG

垂直平分A8,

AE-BE-3,

:尸G垂直平分AC,

•*.AG-CG，

,:BE=3,EG=4,BC=\2,

CG-AG-5,

在ZAEG中，A£2=9.fG2=16.AG?=25，

△AEG为直角三角形，

Z.AE1BC,

：.Sf=-BCAE=-xl2x3=18.

ZA/IZJC.22

故答案是：18

【点拨】

本题主要考查垂直平分线的性质定理以及勾股定理的逆定理，掌握中垂线的性质定理，添加

合适的辅助线，是解题的关键.

22.①②③④

【分析】

设BE=x,则AE=EC=8—x,利用勾股定理列出方程即可判断①；利用SAS证出

△AEP^ACPE,即可证出/AEP=NCPE,从而判断②；过点E作EHJ_AD于H,利用勾

股定理求出PE,从而得出PA=PE,利用等边对等角可得NPAE=/PEA,再根据平行线的性

质可得/AEB=NPAE,从而判断③；根据三角形的内角和定理即可判断④.

解：设BE=x,则AE=EC=8—x,

在RtZ\ABE中，AB2+BE2=AE2

,-.42+X2=(8-X)2

解得：x=3

即BE=3,故①正确;

，BE=EC=5

若AP=5

；.AP=CE,

•.•四边形ABCD为长方形

；.AD〃BC

/APE=NCEP

VPE=EP

••.△AEP^ACPE

.\ZAEP=ZCPE

AE//CP,故②正确：

25

当AP=——时，过点E作EHJ_AD于H,

6

，AH=BE=3,HE=AB=4

7

；.PH=AP-AH=-

6

i-----------------25

PE=y/pH2+HE2=—

o

・・・PA=PE

.'.ZPAE=ZPEA

VAD//BC

・・・NAEB=NPAE,

AZAEB=ZPEA

：・EA平分NBEP,故③正确；

VZBPC=180o-ZPCB-ZPBE

ZPEC=1800-NPCB-NEPC

VNPBE=NEPC

：.4BPC=/PEC,故④正确；

综上：正确的有①②③④

故答案为：①②③④.

【点拨】此题考查的是勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、平行线的

判定及性质和三角形内角和定理的应用，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质、平行线

的判定及性质和三角形内角和定理是解题关键.

23.AF=1

【分析】根据点D是BC的中点得到BD=5,由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角

三角形性质得DF=5,最后由线段的差可得结论.

解：AB=AC,AD1BC,

BD-CD,

BC=10，

:.BD=5，

RtABD'V,AB=13,

AD=\lAB2-BD2=V132-52=12，

Rt中，NC8E=45，

双加是等腰直角三角形，

・•.DF=BD=5,

：.AF=AD-DF=12-5=7.

【点拨】本题主要考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，结合题干中条

件找出对应量是关键.

24.(1)BE=73；(2)3>/3

【分析】

(1)利用勾股定理逆定理可得ABC是直角三角形，NB=90°,连接AE,根据线段垂直

平分线的性质可得AE=CE，在RtAABE中利用勾股定理列出方程即可求解；

(2)根据题意画出图形，若使CM+MN的值最小