（沪教版2020选修二）2022年上海高二数学同步讲义-阶段性复习50题（提升版）

阶段性复习精选50题（提升版）

b能力提升

一、单选题

1.（2020・上海•华师大二附中高二期中）以长方体ABC。-A4GR的任意三个顶点为顶点

作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（）种

A.1480B.1468C.1516D.1492

【答案】B

【分析】根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体488-AB6R的任意三个顶

点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共

面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案.

【详解】因为平行六面体ABCD-ABGA的8个顶点任意三个均不共线，

故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有C；=56个三角形，

从中任选两个，共有4=1540种情况，

因为平行六面体有六个面,六个对角面，

从8个顶点中4点共面共有12种情况，

每个面的四个顶点共确定4个不同的三角形，从这4个三角形中选出两个共有6种选法，

故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540T2X6=1468种，

故选：B.

【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了组合数的计算，在解题过程中注意共面和不共

面的情况，做到不重不漏，属于中档题.

2.（2021•上海市建平中学高二期中）组合数reZ）恒等于（）

A.々C"B.（"+l）（r+l）BC.nrC-\D.-C；：；

〃+1r

【答案】D

［详解］由禺=/不，仙=2&，

3.（2019•上海市民办市北高级中学高二期中）将数字I,2,3,4,5,6排成一列，记第i个

数为%（i=l,2,…,6）,若〃尸1,生才3,生片5,a,<a3<a5,则不同的排列方法种数为

A.18B.30C.36D.48

【答案】B

【详解】分两步：⑴先排4，%，%，4=2时，有2种；4=3时，有2种：4=4时，

有1种；共有5种；（2）再排七，4,%共有国=6种，故不同的排列方法为5x6=30,故

选B.

4.（2018-上海市行知实验中学高二期中）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，

其中比40000大的偶数共有

A.144个B.120个C.96个D.72个

【答案】B

试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4

中其中I个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情

况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的二个位置，由分步计数原理可得其情况数目，

进而由分类加法原理，计算可得答案.

解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1

个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上,

有A；'=24种情况，此时有3X24=72个，

②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上,

有A『=24种情况，此时有2X24=48个，

共有72+48=120个.

故选B

考点：排列、组合及简单计数问题.

5.（2020•山西•应县一中高二期中（理））设10乏为<生禹=10'，随机变量。

取值石、及、公、刘、在的概率均为0.2,随机变量$取值'产、及爱、玉产、玉爱、豆产

的概率也均为0.2,若记。媪、力刍分别为。、的方差，则（）

A.D&、〉D42

B.D4、=D以

C.。尔理

D.力。与。的大小关系与田、及、用、用的取值有关

【答案】A

【分析】根据随机变量。、刍的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即

可判断作答.

【详解】由随机变量。、刍的取值情况，它们的期望分别为：£。=（（再+々+鼻+匕+&），

L匕1+x+XX3+X4X4+X5/+玉\1Z、OHre匚匕

段.X,9+^^+^^+^^+^^:卜%+%+$+匕+%），即E[=碣，

g=1[（X|-E4）2+（马一E。）2+（X3-E4）2+（%-E。）2+（七一E。）2]

="（片+*+W+X：+X；）-（E《）2,

同理那2='詈了+（强手）2+（玉产）2+（然当2+（岁OlT%）?，

而（X+工2）2+（尤2+&）2+（&+14）2+（/+工5）2+（入5+X）2

22222

_2（x；+x；+x；+x：+x；）+2xtx2+2X2X3+2x3x4+2x4x5+2x5x]

4

<2（x；+x；+x；+x：+x；）+2（x；+考+x；+3+x；）=x；+3+X；+x；+E,

所以有

故选：A

6.（2021•山东无棣•高二期中）已知随机变量〜8（8,p）,且E©=2,则0（23=（）

A.3B.6C.12D.24

【答案】B

【分析】先求出0=：1，再求出〃（&）=|3■，即得解.

【详解】解：随机变量&〜B（8,p）,且£（&）=2,

H（&）=80=2,解得。=£=：，

o4

113

.,・〃（&）=8X—X（1--）=—,

442

3

•二〃（2g）=4〃（&）=4X—=6.

2

故选：B.

7.（2018•河北安平中学高二期中（理））一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为〃，得2

分的概率为匕，不得分的概率为c（«,b,ce（0,l））,不计其他得分情况）.已知他投篮一

次得分的数学期望为2,则他的最大值为（）

A.—B.—C.—D.—

4824126

【答案】D

【分析】先列出投篮得分的分布列，求出E（X）=3a+28=2,再利用基本不等式求解.

［详解】设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为

X320

Pabc

E（X）=3a+2b=2>2>j3a-2b,所以而49，当且仅当3a=»,即a=2,b=，寸，等号成立.

632

故"的最大值为］

O

故选：D

11_?

8.（2021•江西•横峰中学高二期中（理））已知事件48,且尸（A）=§,P（B|A）=w.P（8|A）=《,

则。（⑸等于（）

A.-B.；C.-D.—

53515

【答案】B

【分析】结合条件概率公式，由P（B|A）=g=P（A3）=5，再由

-P(AB)P(B'\-P(AB)A

=7可='1(可—得到n0(8)-P(AB)=百’进而求出答案.

1P（AB］1/\1/一\/、2

【详解】由题意，?缶）=§,尸（8］用=汇广片尸（48）=不，易知P（4）=l-P（4）=；,

所以的『第

3

所以P（B）=尸（A8）+《q+“

153

故选:B.

9.（2019•湖北•仙桃市汉江高级中学高二期中（理））某个部件由三个元件按如图所示的

方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元

件的使用寿命(单位：时)均服从正态分布N(1000,50B，且各个元件能否正常工作相互独立,

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为()

【答案】B

【分析】根据正态分布求得三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率为根据对立事件

和相互独立事件的概率计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1OOO,50?),

可得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P=g，

设4=｛超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常｝,8=｛超过1000小时时，元件3正常

｝,C=｛该部件的使用寿命超过1000小时｝,

131313

则尸(A)=1-(1-彳)2=尸(8)=二，所以P(C)=P(AB)=P(A)•P(S)=-X-=-.

242428

故选：B.

10.(2021•江苏赣榆•高二期中)甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各

掷硬币一次：当有人掷硬币的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则进入下

一轮，并且按相同的规则继续进行游戏，规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏.则该

游戏终止前，至少玩了六局的的概率为()

A.上B.iC.1D.侬

1024421024

【答案】A

【分析】根据题意先求出每一次有人出局的概率，即可求出前五局无人退出即可得解.

【详解】三人各掷硬币一次，每一次扔硬币都有2种结果，所有的结果共有2x2x2=8种，

由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止，

若有人出局，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，共有芍种结果，故每一

次有人出局的概率是。=：,

若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人退出，

故该游戏在终止前，至少玩了六局的概率为：

故选：A.

11.（2021•江苏•泰州中学高二期中）甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单

位：分）.

甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83

乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74

现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件/；“抽出的学生的

数学测试成绩不低于85分”记为事件6,则P（A|B）的值是（）

5421

A.-B.-C.—D.—

9999

【答案】A

【分析】利用条件概率公式求解即可得P（A|8）到答案.

【详解】由题意知，「⑷吟=；，P（B）=4

P（AB）表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分的概率，

1

45

根据条件概率的计算公式得尸（4忸）=2符=---

99

20

故选：A

12.（2021•河北大名•高二期中）已知甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为25%,20%,

两地同时下雨的概率为0.12,则下列说法正确的是（）

A.甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.52

B.乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为0.60

C.甲地为雨天时，乙地不为雨天的概率为0.32

D.乙地不为雨天时，甲地也不为雨天的概率为0.60

【答案】B

【分析】设一年中甲地下雨记为事件4乙地下雨记为事件氏则两地同时下雨记为事件46.利

用条件概率的计算公式分别求概率即可.

【详解】设一年中甲地下雨记为事件4乙地下雨记为事件8,则两地同时下雨记为事件45.

由题意可得：尸（A）=0.25,P（B）=0.20,P（AB）=0.12,P（A）=0.75,P（B）=0.80.

如图示:

甲、乙均不下雨

乙

甲

甲

乙

'下

下

均

雨

下

雨

雨

P(AB)=0.25-0.12=0.13,P(BA)=0.20-0.12=0.08,P(AB)=1-0.13-0.12-0.08=0.67对于A：

'⑶/田、=P（加AB}=0还.12=0网故A错误;

/、P(AB)().12

对于B：P(A\B)=^-^-=—=0.60,故B正确;

iyD)U.ZU

/—\P(AB>\O1Q

对于C：P5|A=-W=—=0.52,故C错误;

\'P(A)25

P（AB）

尸（入闾=黑=68375,

对于D：而故D错误;

故选：B

13.（2021•广西•富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））下列说法正确的是（)

A.线性回归方程y=bx+a对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点

B.概率为0的事件一定不可能发生

C.某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三

个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为6：5：4,

则应从高二年级中抽取20名学生

D.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

是互斥而不对立的事件

【答案】C

【分析】直接利用回归直线方程和中心点的关系，概率和不可能事件的关系，分层抽样，互

斥事件和对立事件的定义的应用判断A、B、C、I）的结论.

【详解】对于A：线性回归方程y=对应的直线不一定经过其样本数据点中的一个点，但

是一定经过中心对称点（元为，故A错误；

对于B：概率为0的事件不一定是不可能事件，但是，不可能事件的概率一定是0,故B错误；

对于C：某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该

校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为

6：5：4,即6x,5x,4x

则：15x=60,解得*=4,应从高二年级中抽，5x4=20名学生，故C正确；

对于D：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”即一红一黑，或

两黑；与“至少有一个红球”即一黑一红或两红是即不互斥又不对立的事件，故D错误.

故选：C.

14.(2021•福建♦福州三中高二期中)下列说法正确的是()

A.在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法

B.线性回归方程对应的直线$=八+/至少经过其样本数据点(毛，力)，…，(/，”)中的一

个I占八、、

C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D.在回归分析中，相关指数齐为0.95的模型比相关指数a为0.78的模型拟合的效果差

【答案】C

【分析】首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关

系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状

区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选

出结果.

【详解】对于A,统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所

以A错；

对于B,线性回归方程对应的直线§，=八+&可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；

对于C,残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正

确；

对于D,回归分析中，相关指数笈为0.95的模型比相关指数收为0.78的模型拟合的效果好，

所以D错误.

故选：C

15.(2021•安徽•定远县育才学校高二期中(理))如图，5个(x,y)数据，去掉力(3,10)后，

下列说法错误的是()

■'•£(1(),12)

£)(3,10)

•C(4,5)

.*B(2,4)

A(L3)

Ox

A.相关系数年大B.残差平方和变大

c.C变大D.解释变量x与预报变量而相关性变强

【答案】B

【分析】根据图中的点，计算去掉。(3,10)前后的相关系数、残差平方和、/?-,即可判断各选

项的正误.

1+2+3+4+10.3+4+5+10+12…5__

【详解】由图,x=-------------=4,y=-----------------=6.8,则Z（x，7）（y；-y）=51.4,

J=l

55

Z（X,T）2=50,Z（%=62.8,

/=11=1

51.4

.♦.相关系数『=«0.9173

,50x62.8

514

令回归方程y="+",则〃=5鼠=1.028,

“=6.8—1.028x4=2.688,即回归方程为y=1.028x+2.688,可得（七,力）为（1,3.716）,（2,4.744）,

（3,5.772）,（4,6.8）,（10,12.968）,

5

5

残差平方和Z5-%)2=23.1192,故斤=T------=0.5625,

,=|£(y,-y)2

/=1

去掉。(3,10)后，

-1+2+4+10-3+4+5+12.E。/--、c。/一、2/toru

xi=-----------=4.25,必=----------=4.8n,则工(七一%)(%一＞[)=4971,£(%—汨)=48.75,

45/=]z=i

EU-Ji)2=55.76,

/=|

49

•.•相关系数1"8.75X55.76‘°9398・

."＞r,A、D正确；

49

令回归方程》=〃?+，"，则”=力==1.005,

48.75

m=4.8—1.005x4.25,0.5288,即回归方程为y=1.005x+0.5288,可得(知常)为(1,1.5338),

(2,2.5388),(4,4.5488),(10,10.5788),

,2

4Z(5i,-y,)

•••残差平方和X(%一y尸X6.5082,故用=1-三------=0.8679,

I5?%-%尸

/=1

:.R：＞此,B错误，C正确；

故选：B

16.(2021•山西•怀仁市第一中学校高二期中(文))千百年来，我国劳动人民在生产实

践中根据云的形状、走向、速度，厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经

验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……

小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得

到如下2/2列联表.

单位：天

夜晚天气

日落云里走

下雨未下雨

出现255

未出现2545

临界值表:

0.050.0100.001

即3.8416.63510.828

并计算得到片219.05,下列小波对A地区天气的判断不正确的是（）

A.夜晚下雨的概率约为

B.未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为三

14

C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关

D.若出现“日落云里走”，则有99.9%的把握认为夜晚一定会下雨

【答案】D

【分析】根据已知数据计算概率可判断AB,计算/后可判断C,根据概率的意义判断D.

【详解】根据列联表可知，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为黑=!,

1002

A中判断正确；同样，未他现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为$275=25,B中判断正

确；19.05>10.828,因此认为“R落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C中判断正确；

有关只是说可能性，不代表一定下雨，D中判断错误，

故选：D.

二、填空题

17.（2021•上海•曹杨二中高三期中）在的展开式中，二项式系数之和为256,则

展开式中犬项的系数为.

【答案】1120

【分析】根据二项式展开式的二项式系数和为2"=256,求出〃的值,再写出二项式的通项公式

为&=C；（Y产（2）=2r-q-x16-3r,当16-3r=4时，即可求出/的系数

［详解］卜+|J展开式的二项式系数之和为C；+C'„++...+禺=2"=256n〃=8

展开式的通项公式=2~C；•产物

当16-3r=4时，r=4,即7；=24-C；•无，=1120小

则展开式中/的系数为1120

故答案为：1120

18.（2021•上海市西南位育中学高二期中）（2X+1），的二项展开式第4项的系数是.

【答案】160

【分析】直接利用二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】因为（2x+l『的展开式的通项公式为加=C；（2x）〜=26yi

所以当尸3时，有：7；=26-3C>3=160X3.

故答案为：160

19.（2020•上海•华师大二附中高三期中）已知（x+y）”的展开式中，只有第七项的系数最

大，贝IJ"___________

【答案】12

【分析】根据题意，利用二项式定理，二项式系数的性质得出结论.

【详解】Q（x+yJ的展开式中,只有第七项的系数最大,故展开式中有13项，则"=12

故答案为：12

【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理，如果二项式的幕指数〃是偶数，中间一项4“项的

二项式系数最大；如果二项式的事指数〃是奇数，中间两项7员与％加项的二项式系数相等且

22

最大.

20.（2020•上海市七宝中学高二期中）设S为一个非空有限集合，记ISI为集合S中元素的

个数，若集合S的两个子集A、B满足：IAI例=%并且4UB=S,则称子集｛AB｝为集合S的

一个“上一覆盖”（其中04VI5I）,若|S|=〃，贝”的“上一覆盖”个数为

【答案】Ci2"k

【分析】当IAIB|=A时，共有C：种情况，当4U8=S时，共有2"-'种情况，由此可计算得到

答案.

【详解】由题意，当|AIB|=&H寸，即AnB中有公个元素，

所以共有C；种情况，

此时集合s中剩下〃/个元素，其子集个数为23个，

即AU8=S共有2”*种情况，

所以S的'4一覆盖"个数为G>2"*.

故答案为：

【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，

属于中档题.

21.（2020•上海市七宝中学高二期中）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普

通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法（用

数字作答）

【答案】1000

【分析】根据题意，分为1女4男和2女3男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原

理，即可求解.

【详解】由题意，可分为两类：

第一类：先选1女4男，有C；C；=3O种,

再在这5人中选2人作为队长和副队长有&=20利所以共有30x20=600；

第二类：先选2女3男，有C；C：=20种，

再在这5人中选2人作为队长和副队长有&=20种，所以共有20*20=400,

根据分类计数原理，共有600+400=1000种不同的选法.

故答案为：1000

【点睛】本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中

解答中认真审题，合理分类，结合排列、组合的知识求得每类的种数是解答的关键，着重考

查了分析问题和解答问题的能力.

22.（2018•上海市淞浦中学高二期中）在（2x-3y）"的二项展开式中，二项式系数的和是512,

则各项系数的和是.

【答案】-1

【分析】根据二项式系数的和求解出”的值，求解各项系数的和时可考虑令x=y=l,由此可

计算出各项系数的和.

【详解】因为二项式系数的和是512,所以C；+C：+...+C：；=2"=512,所以”=9,

又因为（2x-3y『=C（2x）9（-3y）°+C；（2x）8（-3W+...+C；（2x）”（-3y），

令x=y=1可得：（7）9=点2）9（-3）°+c；（2）8（-3）’+...+盘（2）°（-3）9=T,

所以各项系数的和为：T.

故答案为-1.

【点睛】本题考查根据二项式系数求参数以及求解各项系数和，难度一般.

（1）求解形如（如+力）”的展开式中的各项系数和时，可令x=y=l求得结果；

（2）形如（奴+与，）"的展开式中的二项式系数之和为2".

23.（2018•上海市淞浦中学高二期中）方程3cM=14斤的解是.

【答案】4

【分析】利用排列数和组合数的阶乘形式的计算公式化简方程，即可求解出方程的解.

,（2〃）！n2加ao

【详解】因为以飞苗川与=正亚，又因为3cl=1包：，

（f2n（2n-l）（n-l）=14n（n-l）

所以3'册而所以归3

所以〃=4.

故答案为4.

【点睛】本题考查利用排列数、组合数的公式解方程，难度一般.利用排列数、组合数的公式

〃I"I

解方程时，要熟记：疗'=逅筋，C"正用!X.!，同时需要注意排列数和组合数中的限

制条件：n>m.

24.（2018•上海市淞浦中学高二期中）已知M={l,2,3,4,5},meM,〃eM,mK”，则方程

二+片=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是_______.

mn

【答案】y

【分析】根据条件可计算出（见小的总的可能数，由焦点在x轴上的椭圆可知m>〃，由此可

得到满足条件的（〃?，〃）得数量，利用古典概型的概率计算公式即可求解出概率.

【详解】因为M={l,2,3,4,5},%eM,〃eM,mW〃，所以（见〃）的可能情况有:[=20种,

又因为方程片+片=1表示焦点在x轴上的椭圆，所以机>〃，所以满足要求的有：C；=10种，

mn

所以概率为：P=^=1.

故答案为g.

【点睛】本题考查椭圆与排列组合的综合运用，难度般.形如工+反=1的方程若表示椭圆的

mn

方程，则有加>0,〃>0,帆/〃.

_（1'2019

25.（2018•上海•复旦附中高三期中）l+—!—=_____________.

-2019/?）

【答案】1

【分析】利用数列的极限的运算法则结合二项展开式，化简求解即可.

【详解】lim（l+—严|，=lim（l++C短（一!一尸+…+C嚣（二一严恒

'"'十‘…'2019/--20192OI9n20,92019n20192019n）=）

故答案为1.

【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用及二项式的展开公式，考查计算能力.

26.（2019•上海杨浦•高三期中）在（x-工严的展开式中，常数项等于.（结果用数

X

值表示）

【答案】-252

【分析】先求出二项式尸的展开式的通项公式为&=63修（」）'=（-1>/”2,再令

XX

10-2r=0,求解代入运算即可.

【详解】解：由二项式（x-3'°的展开式的通项公式为。令

XX

10-2r=0,解得r=5,

即在（》-4尸的展开式中，常数项等于（T）'%=-孚?孚苦=-252,

x5x4x3x2x1

故答案为-252.

【点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题.

27.（2018•上海市七宝中学高二期中）某微信群中五人同时抢4个红包，每人最多抢一个且

红包全部被抢完，已知4个红包中有两个2元，一个3元，一个5元（红包中金额相同视为相同

的红包），则有种不同的情况.

【答案】60

【分析】可分2步进行分析：①在5人中任选2人，抢两个2元的红包；②经剩下的2个红包分给

剩下的3人中的2个人，最后由分步计数原理，即可求解.

【详解】根据题意，可分2步进行分析：

①在5人中任选2人，抢两个2元的红包，有C；=10种情况；

②经剩卜的2个红包分给剩下的3人中的2个人，有d=6种情况，

由分步计数原理可得，共有10x6=60种不同的情况.

故答案为60.

【点睛】本题主要考查了排列、组合及计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分类是

解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

28.（2019•上海市民立中学高二期中）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、

化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级

考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有

种.

【答案】10

【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论.

【详解】选择两门理科学科，一门文科学科，有C；C；=9种；选择二门理科学科，有1种，

故共有10种.

故答案为10.

【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础.

29.（2021•上海市复兴高级中学高二期中）若（3力-1）5=%+4》+。2/+%/+4/+。5V，则

at+a2+a3+a4+a5=

【答案】33

【详解】令x=O得％=T；令》=1得%+4+“2+4+4+“5=32,所以4+4+%+4+%=

33

点睛：赋值法研究二项式的系数和问题

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，时形如

（公+匕）",（32+〃x+c『（a,/?eR）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需

令x=l即可；对形如初+力）"（。,此2的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l

即可.

30.（2021•广东•佛山市顺德区华侨中学高二期中）甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三

胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为:，乙获胜的概率为：，如果甲队先赢一局，则甲赢

下比赛的概率为.

Q

【答案】I

【分析】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，分为前三局全胜，前四局胜三

局，打完五局胜三局，进而求得答案.

【详解】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，

若前三局甲胜，甲获胜的概率为（步小

若打完四局后甲获胜，第四局甲必须获胜，甲获胜的概9率O为1卷R,

若打完五局后甲获胜，第五局甲必须获胜，甲获胜的概率为2.C；2（1）=—

3313J27

8

48424

所以甲获胜的概率是2+白+9=亮9-

9272727

故答案为：羡.

31.（2021•浙江丽水•高三期中）一个袋子中有6个大小相同的球，其中2个黄球，4个红

球.规定：取出一个黄球得2分，取出一个红球得1分.现随机从袋中有放回地取3次球（每

次一个），记3次取球得分之和为随机变量X,则E（X）=.

【答案】4

【分析】分析可知随机变量X的可能取值有3、4、5、6,计算出随机变量X在不同取值下

的概率，进而可求得£（x）的值.

【详解】由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6,

P（X=3）=（|j*,P（X=4）=嗡P（X=5）=C陪

所以，E（X）=3X5+4X《+5X£+6X*=4.

故答案为：4.

32.（2021•江西•横峰中学高二期中（理））50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取〃张,

为了使这〃张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,〃至少为.

【答案】15

【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出〃.

【详解】用朦示中奖票数，

248!48!____

0（4）=江+-＞。.5=伞飞49■■孙.（I臂_〃）!」

/C；,50!50!2

〃!（50-〃）！川（5（）-〃）！

所以「-----——上，解得〃215.

50x4950x492

故答案为：15.

33.（2021•山东无棣•高二期中）若随机变量X~8（3,p）,丫~N（2,/）,若P（X21）=0.657,

P（0<y<2）=p,贝［JP（y>4）=.

【答案】0.2

【分析】解不等式1-（1-p）3=0.657得到〃=0.3,再利用正态分布求解.

【详解】解：•.•0（421）=0.657,

：.l-（l-p）3=0657,即（l-p）3=Q343,解得p=0.3,

：.P（0<F<2）=p=0.3,

»g）=TP（0<"2）=上空=02.

22

故答案为：0.2.

34.（2021•广东•珠海市第二中学高二期中）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生

性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的

人数占男生人数的女生喜欢抖音的人数占女生人数（.若有95%的把握认为是否喜欢抖

音和性别有关，则调查人数中男生至少有人.

【答案】45

【分析】设男生有*人，由题意列出2x2列联表，计算K?的值，由K?>3.841以及x>O±U是

5的倍数即可求解.

【详解】设男生有x人，则男生有工人，可得2x2列联表如下：

喜欢抖音不喜欢抖音总计

41

男生—X—XX

55

32

女生-X-XX

55

73

总计—X-X2x

55

若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别彳与关，

2

则K=—15r__5_LJ-=AX>3,841>可得x>40,335，

7321

—x-xxx

55

由题意可得x>0且x是5的倍数，所以男生至少有45人，

故答案为：45.

35.（2021•河南•高一期中（文））A种棉花以绒长、品质好、产量高著称于世.我国2020

至2021年度A种棉花产量为520万吨，占国内产量比重约87%,占国内消费比重约67%.已知

某地区所产A种棉花的产量y与光照时长x之间的关系如表.若根据表中的数据用最小二乘法

求得y关于X的回归直线方程为A=5.5X+7.5,则下列说法中正确的有.（把正确答案

的编号全部填上）

光照时长X（单位：小时）12345

产量y（单位：万吨）1219tn3136

①该回归直线过点（3,24）；②A种棉花的产量与光照时长成正相关；

③加的值是22;④当光照时长为11小时时，A种棉花的产量一定为68万吨.

【答案】①②③

【分析】首先计算元》，代入回归直线方程，求得m的值，判断①③，根据表格数据，直接

判断正负相关性，根据回归方程，只能得到预测值，而不是准确值.

【详解】由线性回归方程9=5.5x+7.5,可知A种棉花的产量与光照时长成正相关，故②正确；

_1+2+3+4+512+19+〃？+31+3698+加

x=------------------=3,代入夕=5.5x+7.5,得

5

要〃=5.5x3+7.5,则m=22,故③正确;

歹=出产=24,则回归直线过点（3,24）故①正确；

当x=ll时，夕=5.5x11+7.5=68,则当光照时长为11小时时，A种棉花的产量约为68万吨，

④错误.

故选：①②③

36.（2020•吉林•舒兰市实验中学校高二期中（文））回归方程？=2.5£+0.2在样本（4,1.2）

处的残差为.

【答案】-9

【分析】根据残差的定义直接计算即可.

【详解】由题当下4时，9=2.5x4+0.2=10.2,

故1.2-10.2=-9

所以回归方程9=2.5x+0.2在样本（4,L2）处的残差为一9.

故答案为：-9

【点睛】本题主要考查了残差的概念，考查了运算能力，属于容易题.

三、解答题

37.（2021•上海师大附中高二期中）某品牌设计了编号依次为1、2、3、…、〃（〃24,"€N）的〃

种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别从中随机选择了、J（04i，/4〃，且/,JwN）种款

式用来拍摄广告.

(1)若〃=10,i=j=2,求甲在1到5号且乙在6到10号选择时装的概率;

(2)若i=j=2,且甲在1到勿(切为给定的正整数，R2<m<n-2)号中选择，乙在加+1号到

〃号中选择.记乙(1+14/4〃)为款式(编号)s和胴时被选中的概率，求匕；

(3)求至少有一种款式为甲和乙共同选择的概率.

【答案】⑴I?⑵⑶1一图

【分析】⑴先求出甲在1到5号且乙在6到10号任选两款的所有等可能基本事件数，利用古典

概型概率计算公式求解即可；

(2)求出甲从1到勿(卬为给定的正整数，且24%4〃-2)号中任选两款，且乙从(加d)到〃号中任

选两款的所有等可能基本事件数，款式s和NlVsW桃机+1±4〃)同时被选中包含的基本事

件数，再利用古典概型概率计算公式求解即可；

(3)求出甲、乙从〃种不同款式的服装中任选服装的所有可能事件数，确定“没有一个款式为

甲和乙共同认可”包含的基本事件数，利用对立事件的概率公式求解即可.

(1)当"=1O,i=/=2时，

甲从1到5号中任选两款，且乙从6到10号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为：

(2)甲从1到戒川为给定的正整数，且2W〃底〃-2)号中任选两款，且乙从(研1)至心号中任选

两款的所有等可能基本事件的种数为：C；nC；.„,

记“款式s和机+14/4”)同时被选中”为事件6