《几何画板》培养学生探索、创新能力的窗口

抛物线焦点性质的探索（说课）高中新教材（试验修订本•必修）数学第二册（上）抛物线的习题课1教材分析1、1教材的地位与作用“抛物线焦点的性质”是抛物线的重要性质之一，它是在学生学习抛物线的一般性质的基础上，学习和研究的抛物线有关问题的基本工具之一；本节教材对于培养学生观察、猜想、概括能力和逻辑推理能力具有重要的意义。1、2教学目的全日制普通高级中学《数学教学大纲》第22页“重视现代教育技术的运用”中明确提出：在数学教学过程中，应有意识地利用计算机网络等现代信息技术，认识计算机的智能图形、快速计算、机器证明、自动求解及人机交互等功能在数学教学中的巨大潜力，努力探索在现代信息技术支持下的教学方法、教学模式。设计和组织能吸引学生积极参与的数学活动，支持和鼓励学生运用信息技术学习数学、开展课题研究，改进学习方式，提高学生的自主学习能力和创新意识。因此本人在现行高中新教材（试验修订本•必修）数学第二册（上）抛物线这一节内容为背景材料，以多媒体网络教室为场地，以《几何画板》为教学工具与学习工具，设计了一堂《抛物线焦点性质的探索》，具体目标如下：知识目标：了解焦点的有关性质；并掌握这些性质的证明方法；体会数形结合思想与分类讨论思想在解决解析几何题中的指导作用能力目标：使学生学会研究数学问题的基本过程，能够根据条件建立恰当的数学模型；培养辩证唯物主义思想和辩证思维能力（主要包括量变与质变，常量与变量，运动与静止）培养学生通过计算机来自主学习的能力与创新的能力。情感目标：培养学生不畏困难，勇于钻研、探索、大胆创新的精神，在挫折中成长锻炼，培养学生良好的心理素质和抗挫折能力，通过抛物线焦点性质的探索及证明，使学生得到数学美和创造美的享受。1、3教学内容、重点、难点及关键本节安排两节课，第一节课：主要内容是利用《几何画板》探索抛物线的有关性质；第二节课：证明第一节所得到的有关性质。重点：（1）如何利用《几何画板》探索、发现抛物线焦点的性质；（2）如何证明这些性质。难点；（1）如何利用《几何画板》探索、发现抛物线焦点的性质；（2）如何证明这些性质。2教学策略及教法设计学生在网络教室（每人一机），其中装有《几何画板》软件及上课系统，每个学生的窗口，其他学生及教师都可以通过教师机切换，从而和其他学生交流，也可以通过网上论坛交流研究结果。3网络教学环境设计学生在网络教室（每人一机）中有几何画板软件，学生通过教师提供的网络课件，自已阅读，下载有关课件，利用《几何画板》的操作、试验、猜想，通过自已的研究获得结论，并互相讨论观察到的现象、交流研究结果。4教学过程设计4．1使学生学会研究数学问题的基本过程，能够根据条件建立恰当的数学模型问题1回顾一下抛物线的定义，并根据抛物线的定义思考用《几何画板》如何作出焦点在X轴上的抛物线图象。由于创设了一个创作的《几何画板》的窗口及网络窗口，学生通过网络学习，得到以上问题的多种作法，以下就其中的一种作法作为探索、研究抛物线焦点性质的基本图形。具体作法如下：（1）在X轴上任取一点，标记为F（作为焦点）（2）作出点F关于y轴的对称点F1，并过F1作X轴的垂线，标记为l（作为准线）（3）在l上任取一点E，过点E作l的垂线m；（4）连结EF，并作线段EF的中垂线与m相交于点A；（5）生成点A的轨迹（即抛物线y2=2Px的图象如右图）（说明：将以上创作的作品，以下记作学件1 学生制作的课件）-设置意图：以上过程通过创设了学生学习与创作的《几何画板》窗口与网络窗口，在《几何画板》这个窗口中学生轻易地建立了一个研究数学问题的几何模型，培养了学生的动手能力，激法了学生学习的兴趣，吸引学生积极参与数学活动。4．2利用《几何画板》作图的特点，培养学生试验、猜想的合理思维能力在完成学件1的基础上，根据《几何画板》不能直接作出直线与轨迹的交点的前提下，提出以下问题。（请下载课件2 教师自制课件，研究问题2）问题2设点A是抛物线上任一点，请作出过焦点F的弦AB与抛物线的另一个交点B。师：当AB垂直于X轴时。点B可能有哪些特征？能否应用它来解决这个问题？生1：当AB为通径时，发现点A与点B和它们在准线上的射影4、B1组成一个矩形且原点O是对称中心，所以先作出点A在准线上的射影A1，然后作出点4关于X轴的对称点B1，再过点B1作准线的垂线与抛物线的交点B。（具体操作由学生通过《几何画板》的作图功能来实现）师：请拖动点A在抛物线上运动来验证一下，是否成立，发现不成功。生2：当AB为通径时，发现点A在准线上的射影4、O、B三点在一直线上，因此只要作出直线4O与直线AB的交点，师：拖动点A在抛物线上运动来验证一下，结果成功了。设置意图：从以上的探索过程让学生体会到数学知识发现的一般过程“：数学事实首先是被猜想，然后是被证实”，即数学知识的发现是在不断的合情猜想下，借助数学软件自已独立验证或否定猜想，最后再给出严格的证明。猜想正是数学发现与创造的第一步，这一教学流程中数学软件不仅成为教师的教学习工具，又成为学生学习的工具，并且让学生感到探索的无限乐趣，由此可见《几何画板》为学生探索、研究数学知识提供了一片广阔的天空，为培养学生合理思维能力创造一个理想的窗口。4．3利用《几何画板》探索创造性的解题方法，培养学生的创新能力问题3：（1）抛物线y2=2X上离焦点最近的点是 。（2）抛物线y2=2X上离点H（a，0）最近的点恰好是顶点O的a的范围？（请下载课件3 教师自制课件，研究问题3）教师启发：当点H（a，0）在X轴的负半轴上时，满足条件；当点H（a，0）在X的正半轴上离焦点较远时，明显发现不是顶点O离点H（a，0）最近。在存在与不存在之间必存在一个临界点，请同学探索出这个临界点的位置？学生1：设抛物线y2=2X上任一点4X,y），作出线段AH，并用《几何画板》中度量功能度量出线段AH的长，同时度量出线段OH的长，将线段AH的长与线段OH的长作差的，并拖动点A在抛物线y2=2X上滑动，观察差的值均大于等于0的点H是满足条件的点，然后不断地调整点H在X轴上的位置，最后发现当点H在X正半轴上离原点的距离正好是1的点是临界点。教师：从以上的探索过程，你能归纳出其中所隐含的数学方法吗？学生2：从以上的操作过程得数量关系：IAH∣≥∣OHI（当且仅当点A与点O重合取到“二”），即IAHI="（当且仅当x=0取到最小值a）。进一步得以下解法：min解：IAH∣2=（X一a）2+y2=X2-2aX+a2+y2，因为y2=2X所以 IAHI2=（X一a）2+y2=X2-2aX+a2+2X即IAHI2=X2一2（a一1）X+a2 又因为X≥0，所以，若a-1V0,即aV1，当X=0时，IAHI2min=a2,即IAHImin=IaI若a-1=0，即a=1，IAHI2=X2+1，当X=0时，IAHImin=1若a—1>0,即a>1,当x=a—1>0时，IAHI =2a—1min故a的范围为a<1教师：是否还有其它的解决方法？（几分钟后）学生3：（如右图学件2---学生制作的课件以点H为圆心，IOHI

长为半径作圆H，拖动点H在X轴上滑动，使得抛物线全在圆H以

外的点H的范围即为所求。教师：谁能从中归纳出解题方法？数分种后,没有人能解决。教师：从以上的操作过程得位置关系：抛物线上的点均在圆H以外，转化为数量关系：IAHI≥IOHI对于抛物线上任一点A都成立，即（X—a）2+y2≥a2对于抛物线上任一点A都成立。又因为y2=2X，所以X2—2ax+a2+2X≥a2在X∈[0,+∞）上恒成立。即X2—（2a-2）X≥0在X∈[0,+∞）上恒成立，所以X—（2a—2）≥0在X∈[0,+∞）上恒成立，故2a—2<X在X∈[0,+∞）上恒成立，所以a<1。设置意图：以上教学中,教师的角色由教学内容的灌输者转变为给学生提供学习工具和学习材料

的服务者,这为学生通过自已的独立自主的探索而获得知识创造一个自由、广阔的天空；学生由原来的

“学习数学”转变为“研究数学,”从学习者到研究者的变化,完全改进学习方式,提高学生的自主学

习能力和创新意识。3．4利用《几何画板》培养辩证唯物主义思想和辩证思维能力辩证唯物主义告诉我们,现实世界静止是相对的,运动是绝对的。二十一世纪的几何是动态的几

何,主要研究图形在变化运动过程中点、线等基本元素之间的位置与数量关系。教师导：从上面问题3的探索过程,我们发现在特殊状态下发现的结论有些是正确,有些是不正确的。

但是它为我们探索正确的方法提供了思路与方向,然后我们应用《几何画板》的作图、动态、度量等功

能轻而易举地验证了我们的猜想。所以在解析几何中要充分利用变与不变；量变与质变；特殊与一般等

辩证关系来指导我们解题。请同学们解决下面问题4（请下载课件4 教师自制课件,研究问题4）。问题4：AB是抛物线>2=2PX过焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MNɪl，N为垂足。在不增加条件，但可以设交点及连线的前提下,探索在以下几个方面的有关性质：（1）最值；（2）不变位置关

系；（3）相等的数量关系。经过一段时间的探索，得到以下几个结论：（1）AN±BN；（2）FNɪAB（3）以A1B1为直径的圆与焦点弦AB切于焦点F；（4）以AB为直径的圆与准线lA相切；（5）/AF1F=ZBFιF（F1为准线与X轴的交点）；（6）设MN交抛物线于Q，则Q平分MNo并且在课上提出了证明的思路。另外还有以下几个猜想没有证明（如右图学件3--学生制作的课件），但在《几何画板》中已得到验证：过点A的抛物线的切线与y轴的交点为点A在y轴上的射影与原点O的中点；过点A的抛物线的切线平行于焦点F与点B在y轴上的射影的连线。课后反思 英国作家阿尔道斯•赫胥黎曾说：宇宙中只有一个角落是你一定能够改善的，那就是你自已。”但在工业化社会当中，个体的学习总是处于被动、受奴役地位，人们几乎没有别的选择。因此学生没有条件独立自主地改善自已。而在即将到来的信息化社会中，个体的学习是成功的、快乐的、自由的学习。这种学习，一定是利用信息技术的学习，一定是基于互联网的学习。所以在这个信息的时代，创新的时代，在知识爆炸、信息爆炸的今天，灌输的教学方式与被动的学习方式已很难顺应时代潮流了。改革传统的教学方式与学习方式，采用独立自主的学习、创新的学习，已成为一种必然。5 教学过程流程图问题1：请你回顾用《几何画板》如何作出焦点在X轴上的抛物线图象？问题2：当拖动E点在准线滑动时，即点A在抛物线y2=2Px（P>0）上移动，（请下载课件2）,利用《几何画板》探索、猜想、验证与焦半径AF有关的性质？□问题3：如图，抛物线y2=2x上离点H（a,0）最近的点恰好是顶点O的充要条件是—（请下载课件3探索研究）0一问题4：AB是抛物线y2=2Px过焦点F的弦，A（x,y）,B（x,y）1