数学建模简介省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

数学建模介绍1从现实对象到数学模型2数学建模主要意义3数学建模示例4数学建模方法和步骤5数学模型特点和分类6怎样学习数学建模7数学建模竞赛介绍第1页玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中舰艇、风洞中飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目标，对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来原型替换物模型集中反应了原型中人们需要那一部分特征1从现实对象到数学模型我们常见模型第2页你碰到过数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速度是多少?x=20y=5求解第3页航行问题建立数学模型基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示相关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米/小时）。第4页数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目标，依据其内在规律，作出必要简化假设，利用适当数学工具，得到一个数学结构。建立数学模型全过程（包含表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模第5页2数学建模主要意义电子计算机出现及飞速发展；数学以空前广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，越来越受到人们重视。

在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第6页数学建模详细应用

分析与设计

预报与决议

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第7页3数学建模示例椅子能在不平地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。第8页数学建模实例——录象机计数器用途问题经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下一段还能否录下1小时节目？要求不但回答下列问题，而且建立计数器读数与录象带转过时间关系。思索计数器读数是均匀增加吗？第9页问题分析主动轮压轮录象机计数器工作原理0000左轮盘右轮盘磁头计数器录象带录象带运动方向录象带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录象带运动速度是常数计数器读数增加变慢观察计数器读数增加越来越慢！第10页模型假设与符号

录象带运动速度是常数

v；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录象带厚度（加两圈间空隙）为常数w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0时读数n=0.建模目标建立时间t与读数n之间关系（设v，k，w，r为已知参数）第11页模型建立建立t与n函数关系有各种方法1.右轮盘转第i圈半径为r+wi,m圈总长度等于录象带在时间t内移动长度vt,所以第12页2.考查右轮盘面积增加，等于录象带厚度乘以转过长度，即3.考查t到t+dt录象带在右轮盘缠绕长度，有模型建立第13页思考1.3种建模方法得到同一结果但仔细推算会发觉稍有差异，请解释。2.模型中有待定参数一个确定参数方法是测量或调查，请设计测量方法。第14页参数预计另一个确定参数方法——测试分析将模型改记作只需预计理论上，已知t=183.5,n=6152,再有一组(t,n)数据即可；实际上，因为测试有误差，最好用足够多数据作拟合。现有一批测试数据

t020406080n00001153204528003466

t

100120140160183.5n40684621513556196152用最小二乘法可得第15页模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用1.回答提出问题：由模型算得n=4580时t=118.5分，剩下录象带能录183.5-118.5=65分钟节目。2.揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带状态改变时，只需重新预计a,b即可。第16页数学建模基本方法机理分析测试分析依据对客观事物特征认识，找出反应内部机理数量规律将对象看作“黑箱”,经过对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好模型机理分析没有统一方法，主要经过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数4数学建模方法和步骤第17页数学建模普通步骤模型准备模型假设模型组成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目标搜集相关信息掌握对象特征形成一个比较清楚‘问题’第18页模型假设针对问题特点和建模目标作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽可能采取简单数学工具数学建模普通步骤第19页模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果误差分析、统计分析、模型对数据稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型合理性、适用性模型应用数学建模普通步骤第20页建立数学模型方法和步骤

第一、模型准备

首先要了解问题实际背景，明确建模目标，搜集必需各种信息，尽可能搞清对象特征。

第二、模型假设

依据对象特征和建模目标，对问题进行必要、合理简化，用准确语言作出假设，是建模至关主要一步。假如对问题全部原因一概考虑，无疑是一个有勇气但方法欠佳行为，所以高超建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于区分主次，而且为了使处理方法简单，应尽可能使问题线性化、均匀化。

第三、模型组成

依据所作假设分析对象因果关系，利用对象内在规律和适当数学工具，结构各个量间等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个辽阔应用数学天地，这里在高数、概率老人膝下，有许多可爱孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应该切记，建立数学模型是为了让更多人明了并能加以应用，所以工具愈简单愈有价值。

第四、模型求解

能够采取解方程、画图形、证实定理、逻辑运算、数值运算等各种传统和近代数学方法，尤其是计算机技术。一道实际问题处理往往需要纷繁计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，所以编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

第五、模型分析

对模型解答进行数学上分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不一样"，能否对模型结果作出细致精当分析，决定了你模型能否到达更高档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

第21页数学建模全过程现实对象信息数学模型现实对象解答数学模型解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证依据建模目标和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当数学方法求得数学模型解答将数学语言表述解答“翻译”回实际对象用现实对象信息检验得到解答实践现实世界数学世界理论实践第22页5数学模型特点和分类模型逼真性和可行性模型渐进性模型健壮性模型可转移性模型非预制性模型条理性模型技艺性模型不足

数学模型特点第23页数学模型分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特征描述、优化、预报、决议……建模目标了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续第24页6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则想像力洞察力判断力学习、分析、评价、改进他人作过模型亲自动手，认真作几个实际题目第25页开设数学建模课程明确课程目标：培养用数学方法分析、处理实际问题意识和能力——引发注意激发兴趣介绍方法培养能力案例学习：实际背景简明，问题能吸引人，假设和建模依据轻易了解，求解不太复杂。讲课重点在实际背景、问题分析、假设和建模、结果分析等，求解过程尽可能简化。条件许可时课堂采取讨论式。作业、课外阅读、考试形式多样化。第26页数学建模课程内容安排建立数学模型（从现实到模型，建模示例，建模步骤）初等数学方法建模（代数、几何、初等概率方法）微分法建模（静态优化模型）微分方程模型（动态模型，常微部分）差分方程模型层次分析法建模随机模型（概率分布方法建模）第27页数学建模竞赛快速发展,培养了学生创新精神,推进了高校教学改革7数学建模竞赛介绍第28页1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举行，每年一次(9月)全国大学生数学建模竞赛全国高校规模最大课外科技活动1999年开始设置大专组竞赛第29页数学建模竞赛培养学生创新精神，提升学生综合素质竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中实际问题简化而成，没有事先设定标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。竞赛形式：三名大学生组成一队，能够自由地搜集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。评奖标准：假设合理性、建模创造性、结果正确性和文字表述清楚程度。大学阶段难得一次近似于“真刀真枪”训练，模拟了毕业后工作时情况，既丰富、活跃了广大同学课外生活，也为优异学生脱颖而出创造了条件。第30页利用学过数学知识和计算机（包含选择适当数学软件）分析和处理实际问题能力面对复杂事物想象力、洞察力、创造力和独立进行研究能力关心、投身国家经济建设意识和理论联络实际学风团结合作精神和进行协调组织能力勇于参加竞争意识和不怕困难、奋力攻关顽强意志查阅文件、搜集资料及撰写科技论文文字表示能力数学建模竞赛培养学生创新精神，提升学生综合素质第31页数学建模竞赛参加、培训和论文撰写第32页数学建模竞赛培训内容1）建模基本概念和方法（数学建模课程主要内容）2）建模过程中惯用数学方法(微积分、代数、概率外)，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路),组合数学,排队论等。只要求知道实际问题与这些数学知识之间对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可处理哪些问题），以及用它们建立模型方法，基本上无须包括模型求解。第33页3）适当数学软件基本使用方法。基本上能完成上述方法软件，如MATHEMATICA,MATLAB等。4）历届赛题研讨。5）撰写数学建模论文练习。1）2）以教师讲授为主，3）5）以学生实习为主，4）以学生讨论、教师辅导为主。数学建模竞赛培训内容第34页数学建模竞赛组队方式尽可能地让不一样专业学生组成一队，以利学科交叉；尽可能地让能力、素质方面不一样学生（创新能力强，认真踏实，有组织能力，文笔好，…）组成一队，以利优势互补；尽可能地让学生在队内充分磨合，达成默契。第35页数学建模竞赛期间注意事项吃透题意，确定题目；查阅资料、实际调查要适度；把握好用现成模型和方法，与自己创新模型和方法之间关系；确保基本模型和求解完成，在此基础上完善或改进；依据建模要求，能够增加、删除甚至修改题目标条件；

论文主体由一人完成，并早些开始写作。第36页数学建模竞赛题型：赛题题型结构形式有三个基本组成部分：一、实际问题背景1.包括面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，当代科学中出现新问题等。2.普通都有一个比较确切现实问题。二、若干假设条件有以下几个情况：1.只有过程、规则等定性假设,无详细定量数据；

2.给出若干实测或统计数据；第37页3.给出若干参数或图形；4.蕴涵着一些机动、可发挥补充假设条件，或参赛者能够依据自己搜集或模拟产生数据。三、要求回答问题往往有几个问题（普通不是唯一答案）:1.比较确定性答案（基本答案）；2.更细致或更高层次讨论结果（往往是讨论最优方案提法和结果）。第38页完整——摘要；问题提出（用自己语言）；问题分析；模型假设；模型建立；模型求解（算法设计和计算机实现）；结果（数据、图形）；结果分析和检验（如误差分析、统计检验、灵敏性检验）；优缺点，改进方向等，附录（程序、更多计算结果、复杂推导、证实等）；写好论文（答卷）注意事项摘要——主要模型（名称）、方法和结果，处理了什么问题，有何特色等；表述清楚、简明，给出数学符号确实切含义、模型假设理由等。第39页全国组委会网址：/mcm/竞赛宗旨：创新意识团体精神重在参加公平竞争谢谢大家，再见！数学建模课件：/mathmodel/数学试验课件：/mathexp/第40页建模实例报童订报模型⑴问题:报童天天清晨从报社购进报纸零售,晚上将没有卖掉报纸退回.每份报纸订购价格为a,零售价格为b,退回价格为c(b＞a＞c).请你为报童制订一个最正确订购方案.第41页⑵问题分析报童天天卖出报纸数量x是一个随机变量,所以报童天天收入也是一个随机变量,所以作为优化模型目标函数,不能是报童天天收入,而应该是他长久卖报日平均收入.从概率论中大数定律观点来看,这相当于报童天天收入期望值.另首先,假如报纸订得太少,供不应求,报童就会失去一些挣钱机会,将会降低收入；但假如订多了,当日卖不完,每份得赔钱,报童也会降低收入.第42页⑶问题假设设报社有足够报纸可供定购;当日卖不出去报纸只能退回;报童除了订购报纸费用外,其它费用(如交通费、摊位费等)一概不计;报童天天订购n份报纸,实际能卖出r份报纸,且P{x=r}=p(r).

第43页⑷模型建立假如0≤r≤n,则售出r份报纸增加收入(b-a)r,退回n-r份降低收入(a–c)(n-r)；假如r＞n,则售出n份报纸增加收入(b-a)n.所以报童天天收入期望值：问题归结为在a,b,c,p(r)为已知时,求n使f(n)最大.⑸模型求解与结果

⑹模型结果模拟检验第44页报童天天卖出报纸数量x是一个随机变量,它普通服从泊松(Poisson)分布或服从正态分布x~N(μ

,σ2

)其中参数可依据统计报童以前卖出报纸数量得到.当a=35,b=50,c=12,x~N(80,202

)时,从1-5式中可解出n=75.用计算机模拟产生服从正态分布N(80,202

)随机数20个以下：93851037370538093905981973864867969875388假设上述数据为报童20天中天天实际卖出报纸份数,则当报童天天订购73份报纸时,20天总收入17910到达最大,这一结果与本模型中制订报童天天订购75份报纸(20天总收入17902)方案基本相同.P{x=r}=第45页⑺模型推广报童订报模型适合用于一些季节性强、更新快、不易保留等特点货物订货模型.不过模型中有一个严格限制条件：两次订货之间没有联络,这种策略是决议论中一个定时定量订货策略.第46页背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增加概况中国人口增加概况年1908193319531964198219901995人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改变规律控制人口过快增加怎样预报人口增加第47页指数增加模型——马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式x(t)~时刻t人口基本假设

:人口(相对)增加率r是常数今年人口x0,年增加率rk年后人口伴随时间增加，人口按指数规律无限增加第48页指数增加模型应用及不足与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代可用于短期人口增加预测不符合19世纪后多数地域人口增加规律不能预测较长久人口增加过程19世纪后人口数据人口增加率r不是常数(逐步下降)第49页阻滞增加模型(Logistic模型)人口增加到一定数量后，增加率下降原因：资源、环境等原因对人口增加阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增加率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是x减函数第50页dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增加模型(Logistic模型)第51页参数预计用指数增加模型或阻滞增加模型作人口预报，必须先预计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4教授预计阻滞增加模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第52页模型检验用模型计算年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国年人口加入年人口数据后重新预计模型参数Logistic模型在经济领域中应用(如耐用消费品售量)阻滞增加模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x()=306.0第53页湖州市人口研究湖州市人口发展预测(全文可参阅理学院网页网络教学栏）

《湖州市人口信息与决议分析》课题组第54页湖州市历次人口普查数据第55页湖州市人口分龄结构（一）第56页湖州市人口分龄结构（二）第57页

设为t年代满i周岁但不足i+1周岁人口总数，i=0,1,2,…,m，m为人能活到最高年纪，则t年代人口总数为人口发展预测数学模型：人口预测数学模型第58页

1)

Φ(t)为t年代年纪在育龄区间[r1,r2]内全部妇女在一年中所生婴儿数；v(t)为t年代妇女平均生育率；

2)

ki(t)是t年i周岁人性别百分比系数，ki(t)xi(t)为t年代i周岁妇女总人数;

3)

hi(t)是妇女生育模式，v(t)hi(t)表示从t-1到t一年内年纪为i岁妇女平均一个人所生婴儿数，v(t)hi(t)ki(t)xi(t)为t年代年纪为i周岁全部妇女在一年内所生婴儿数；

4)

为t年代婴儿死亡率，Φ(t)-x0(t)表示从t-1到t年代死亡婴儿数；

5)

为t年代i周岁人群死亡率；

6)

fi(t)为t年代i周岁人群净迁入量（迁入与迁出之差）。

符号说明

第59页人口数学模型计算机实现算法NS流程图

输入t1,t2,r1,r2,u,v,m输入x[0][i],f[i],u[i],k[i],h[i],I=0,1,2,…,mFor(0<=t<=t2-t1)

For(1<=i<=m)

输出x[t][i]第60页年人口数预测人口数实际人口数分龄人口(单位:人)总人口(单位:万人)总人口(单位:万人)0-5岁6-14岁15-64岁65-岁19902181152729781771436187432245.00245.2819912527822640731775567187142247.96246.7619922754802664241778573187658250.81248.0219932835382791581779265191310253.33249.37199428