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数学建模与系统仿真

主讲:许春根南京理工大学应用数学系Tel:84315877(O)Email:xuchung@Web:第1页

预备知识:微积分(或高等数学)、线性代数、微分方程、概率论、计算机基础等。参考书:数学模型(第二版)姜启源编高等教育出版社第2页第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模主要意义1.3数学建模示例1.4数学建模方法和步骤1.5数学模型特点和分类1.6怎样学习数学建模1.7数学建模工具软件1.8数学建模竞赛

第3页玩具、照片、飞机、火箭模型…~实物模型水箱中舰艇、风洞中飞机…~物理模型地图、电路图、分子结构图…~符号模型模型是为了一定目标，对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来原型替换物模型集中反应了原型中人们需要那一部分特征1.1从现实对象到数学模型我们常见模型第4页你碰到过数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米.甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速度是多少?x=20y=5求解第5页航行问题建立数学模型基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示相关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米）。第6页数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目标，依据其内在规律，作出必要简化假设，利用适当数学工具，得到一个数学结构。建立数学模型全过程（包含表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模第7页1.2数学建模主要意义电子计算机出现及飞速发展；数学以空前广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，越来越受到人们重视。

在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第8页数学建模详细应用

分析与设计

预报与决议

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第9页1.3数学建模示例3.1椅子能在不平地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。第10页模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是

函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性第11页用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来f(

),g(

)是连续函数对任意,f(

),g(

)最少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;对任意，f(

)•g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.证实：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型组成地面为连续曲面椅子在任意位置最少三只脚着地第12页模型求解给出一个简单、粗造证实方法将椅子旋转900，对角线AC和BD交换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g连续性知

h为连续函数,据连续函数基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.评注和思索建模关键~假设条件本质与非本质考查四脚呈长方形椅子

和f(

),g(

)确实定第13页3.2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河任一岸,一旦随从人数比商人多,就杀人越货.不过乘船渡河方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决议过程决议~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员要求~在安全前提下(两岸随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)第14页模型组成xk~第k次渡河前此岸商人数yk~第k次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~过程状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上商人数vk~第k次渡船上随从数dk=(uk,vk)~决议D={(u

,v)

u+v=1,2}~允许决议集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律由s1=(3,3)抵达sn+1=(0,0).多步决议问题第15页模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决议~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,

d11给出安全渡河方案评注和思索规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从情况d1d11允许状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}第16页背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增加概况中国人口增加概况年1908193319531964198219901995人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改变规律控制人口过快增加3.3怎样预报人口增加第17页指数增加模型——马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式x(t)~时刻t人口基本假设

:人口(相对)增加率r是常数今年人口x0,年增加率rk年后人口伴随时间增加，人口按指数规律无限增加第18页指数增加模型应用及不足与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代可用于短期人口增加预测不符合19世纪后多数地域人口增加规律不能预测较长久人口增加过程19世纪后人口数据人口增加率r不是常数(逐步下降)第19页阻滞增加模型(Logistic模型)人口增加到一定数量后，增加率下降原因：资源、环境等原因对人口增加阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假定r~固有增加率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是x减函数第20页dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增加模型(Logistic模型)第21页参数预计用指数增加模型或阻滞增加模型作人口预报，必须先预计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4教授预计阻滞增加模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第22页模型检验用模型计算年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国年人口加入年人口数据后重新预计模型参数Logistic模型在经济领域中应用(如耐用消费品售量)阻滞增加模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x()=306.0第23页数学建模基本方法机理分析测试分析依据对客观事物特征认识，找出反应内部机理数量规律将对象看作“黑箱”,经过对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好模型机理分析没有统一方法，主要经过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4数学建模方法和步骤第24页数学建模普通步骤模型准备模型假设模型组成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目标搜集相关信息掌握对象特征形成一个比较清楚‘问题’第25页模型假设针对问题特点和建模目标作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学语言、符号描述问题发挥想象力使用类比法尽可能采取简单数学工具数学建模普通步骤第26页模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果误差分析、统计分析、模型对数据稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型合理性、适用性模型应用数学建模普通步骤第27页数学建模全过程现实对象信息数学模型现实对象解答数学模型解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证依据建模目标和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当数学方法求得数学模型解答将数学语言表述解答“翻译”回实际对象用现实对象信息检验得到解答实践现实世界数学世界理论实践第28页1.5数学模型特点和分类模型逼真性和可行性模型渐进性模型健壮性模型可转移性模型非预制性模型条理性模型技艺性模型不足

数学模型特点第29页数学模型分类应用领域人口、交通、经济、生态、…数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、…表现特征描述、优化、预报、决议、…建模目标了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续第30页1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则想象力洞察力判断力学习、分析、评价、改进他人作过模型亲自动手，认真作几个实际题目第31页1.7数学建模工具软件介绍数学建模普通借助于数学软件.如：Mathematica、Matlab、SAS、MathCADMaple…第32页Mathematica3.0,4.0窗口介绍第33页Mathematica2.1窗口介绍第34页Mathematica画图功效第35页第36页数学软件种类及其特点通用符号计算软件通用数值运算软件专业软件计算程序库教学、演示类软件第37页符号计算软件MathematicaReduceMapleMuMathDeriveEureke第38页数值运算软件MATLABMathCAD第39页专业软件统计软件：SAS、SPSS有限元计算：ANSYS、SAP球体几何及大地测量：Spheric神经网络：NeuralWorkProfessional...第40页程序库早期FORTRAN计算库NumericalRecipes通用C语言数值计算程序库一些专业计算包（非特定语言）第41页其它教育软件MathCADSmathMathExtra...第42页数学软件在教学中应用大规模运算数值试验辅助教学第43页一个用计算机做数学系统MATHEMATICAMathematica第44页Mathematica基本功效数值运算（NumericComputation）符号运算（AlgebricComputation）图像处理（Graphics）语言功效（ProgramingLanguage)第45页Mathematica在数学建模中

应用举例迭代计算与绘图求最大、最小值复杂积分计算微分方程求解方程[组)求解、矩阵运算第46页Matlab6.0窗口介绍

第47页

MATLAB是基于矩阵一个计算工具，它已经成为世界各国高校和研究人员中最为流行软件之一。它提供了丰富可靠矩阵运算、数据处理、图形绘制、图像处理等便利工具，而且因为Matlab广泛应用，很多理论创始人在MATLAB上开发了相关工具箱，现在MATLAB附带各方面工具箱有：控制系统、通讯、符号运算、小波计算、偏微分方程、数据统计、图像、金融、LMI控制、QFT控制、数字信号处理、含糊控制、模型预估控制、频域辨识、高阶谱分析、统计学、非线性控制系统、图像处理、神经元网络、m分析、信号处理、插值、优化、鲁棒控制、控制系统设计、系统辨识等等，而且MATLAB提供了图形化时域仿真程序----Simulink，在高校中还开发有：振动理论、化学统计学、语音处理等等方面工具箱。第48页

使用MATLAB，工作效率可能有成百上千倍提升，使得研究工作真正是在做研究，而不是在编程。使用MATLAB大大简化了学习和研究中编程量，比如：使用C或者Fortran编写一个优化程序，普通需要几百行或者几千行程序，而且在首次写程序时还能够能需要大量时间来调试这个程序，当这个程序能够运行时，可能花费掉一个星期或者更长时间，而下一次在进行另一个优化方法运算时，需要一样时间工作，也就是说，使用这些语言编程时，大量时间花在了编程序上，而不是研究人员应该