河北省衡水市桃城区第十四中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷

20202021学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题,每小题5分）1.设集合，.则的元素个数为（）A．5 B．4 C．3 D．22.已知，则（）A． B． C. D．3.已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）A． B． C． D．4.的展开式中的系数为（）A．25 B． C．15 D．5.已知函数，设，，，则（）A． B． C． D．6.向量，满足，．若的最小值为，则（）A．0 B．4 C．8 D．167.已知函数，则（）．A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．在上单调递增 D．在上单调递减8.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过三点的截面面积等于（）A． B． C． D．3二、多选题（本大题共4小题,每小题5分）9.设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．“”的充要条件是“”D．若，，则复数在复平面上对应的点在第一或第二象限10.为了解目前某市高一学生身体素质状况，对该市某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（）参考数据：随机变量，则，，．A．该校学生体育成绩的方差为10B．该校学生体育成绩的期望为70C．该校学生体育成绩的及格率不到85%D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当11．已知函数，若存在，使得成立，则（）A． B．C． D．12．已知函数满足当时，，当时，．若方程在上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列，则下面的数可能在这个数列中的是（）A． B．2020 C．2021 D．第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题,每小题5分）13.命题“，成立”的否定为_________.14．函数的最小值为___________.15．若存在两个不相等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是________.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是__________．四、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知是数列的前项和，，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求．18.（本小题满分12分）如图，在平面四边形中，已知，.（1）当､､､共圆时，求的值；（2）若，求的值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：(天)1234567(秒)990990450320300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？参考数据(其中)1845参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.（2）小明和小红在数独APP，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.21.（本小题满分12分）已知点到的距离与它到直线的距离之比为．（1）求点的轨迹的方程；（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于两点，求证：直线的斜率之和为定值．22.（本小题满分12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数存在两个极值点，，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围.20202021学年度第二学期高二年级期末考试数学答案1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A.4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C．二、多选题9.【答案】AB10.【答案】BC11．【答案】AC12.【答案】ABC13.【答案】，14．【答案】915．【答案】16.【答案】由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为1，如图，该六面体的体积为，当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，其中D为BC的中点，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，，故，因为，所以球的半径，所以该球的表面积为.17.（1）证明，即．因为，，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列．………4分（2）解：由（1）知．因为，所以．所以，故．………10分18.（1）当､､､共圆时，,则在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以,解得.………6分（2）在中，由余弦定理可得，，解得，则,又，所以，又，所以，且，所以.…12分19.（1）如图，在梯形中，因为，作于，则，所以，所以，连结，由余弦定理可求得，因为，所以，因为平面平面且交于，所以平面，因为平面，所以，因为，，所以平面；………6分（2）连结，由（1）可知，平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为平面，所以在平面内的射影为，所以与平面所成的角为，即，在中，因为，所以，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，故，设平面的法向量为，故，所以，由图可知，二面角锐二面角，故二面角的余弦值为.………12分20.（1）由题意，，令，设关于的线性回归方程为，则，则.∴，又，∴关于的回归方程为，故时，.∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；………6分（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负.当时，小明胜，∴；当时，小明胜，∴；当时，小明胜，∴.∴小明最终赢得比赛的概率为.………12分21.（1）设点，由题意可得．．………4分（2）由（1）可得，A(3,0),过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，，由得，，，由于直线过点，所以，所以（即为定值）.………