3.4基本不等式市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

3.4基本不等式：1/393.4基本不等式：（2课时）一、导学提醒，自主学习二、新课引入，任务驱动三、新知建构，典例分析四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业2/39一、导学提醒，自主学习1.本节学习目标（1）了解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立条件

．（2）能利用基本不等式求代数式或函数最值，并会处理相关实际问题.学习重点：基本不等式应用学习难点：基本不等式推导过程及成立条件3/39一、导学提醒，自主学习2.本节主要题型题型一比较大小题型二利用基本不等式求最值题型三基本不等式实际应用3.自主学习教材P97-P1003.4基本不等式：4/39线性规划两类主要实际问题解题思绪：

（1）应准确建立数学模型，即依据题意找出约束条件，确定线性目标函数。

（2）用图解法求得数学模型解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值解.(普通最优解在直线或直线交点上，要注意斜率比较.）

（3）要依据实际意义将数学模型解转化为实际问题解，即结合实际情况求得最优解。

二、新课引入，任务驱动一.知识回顾：5/39经过本节学习你能掌握基本不等式及应用吗？二.任务驱动：二、新课引入，任务驱动6/39三、新知建构，典例分析

一.基本不等式推导二.基本不等式

7/39这是在北京召开第24届国际数学家大会会标．会标依据中国古代数学家赵爽弦图设计，颜色明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。三、新知建构，典例分析

问题引入:8/39国际数学家大会会标三国时期吴国数学家赵爽三、新知建构，典例分析

9/39思索：这会标中含有怎样几何图形？思索：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1三、新知建构，典例分析

10/39问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们面积总和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=

则正方形面积为S=

。问3：观察图形S与S’有什么样大小关系？易得，s>s’,即ADCBHGFE问4：那么它们有相等情况吗？何时相等？改变弦图11/39问题4：s,

S’有相等情况吗？何时相等？

图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

形角度数角度

当a=b时

a2+b2－2ab

=(a－b)2=012/39结论：普通地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立探究2问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？此不等式称为主要不等式13/39替换后得到：即：即：你能用不等式性质直接推导这个不等式吗？一.基本不等式的推导:三、新知建构，典例分析

14/39证实：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立.当且仅当a=b时,③中等号成立.分析法证实不等式：15/39尤其地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把叫做正数a，b算术平均数，叫做正数a，b几何平均数；文字叙述为：两个正数算术平均数大于它们几何平均数.适用范围：a>0,b>0二.基本不等式:16/39你能用这个图得出基本不等式几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB弦DE,连接AD、BD、OD.②怎样用a,b表示CD?CD=______①怎样用a,b表示OD?OD=______17/39你能用这个图得出基本不等式几何解释吗?②怎样用a,b表示CD?CD=______①怎样用a,b表示OD?OD=______③OD与CD大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径大于弦长二分之一ADBEOCab18/39适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数算术平均数大于它们几何平均数两数平方和大于它们积2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不一样角度认识基本不等式三、新知建构，典例分析

19/39

主要变形：（由小到大）三、新知建构，典例分析

20/392.典例分析：题型一利用基本不等式求最值题型二基本不等式实际应用三、新知建构，典例分析21/39结论1：两个正数积为定值，则和有最小值题型一：利用基本不等式求最值22/3923/39配凑系数分析:

x+(1-2x)

不是

常数.2=1为

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即

x=

14∴当

x=时,

函数

y=x(1-2x)

最大值是.1418例2.若

0<x<,求函数

y=x(1-2x)

最大值.12三、新知建构，典例分析24/39（1）假如a，b＞0，且ab＝P（定值），那么a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）.（2）假如a，b＞0，且a＋b＝S

（定值），那么ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.利用基本不等式求最值问题：小大利用基本不等式求最值条件：一正、二定、三相等。a=ba=b三、新知建构，典例分析25/39

例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2矩形菜园,问这个矩形长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？ABDC三、新知建构，典例分析题型二：基本不等式的实际应用26/39

例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2矩形菜园,问这个矩形长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？解：如图设BC=x

，CD=y

，则xy=100，篱笆长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立所以，这个矩形长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.27/39例3.(2)如图，用一段长为36m篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园长和宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园面积为xym2得

xy≤81当且仅当x=y时，等号成立

所以，这个矩形长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；28/39①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).1429/39例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.假如池底每平方米造价为150元,池壁每平方米造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析:水池呈长方体形,它高是3m,底面长与宽没有确定.假如底面长与宽确定了,水池总造价也就确定了.所以应该考查底面长与宽取什么值时水池总造价最低。30/39解:设底面长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.依据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800所以xy=1600由基本不等式与不等式性质,可得即

当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池地面设计成边长为40m正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.31/391.设>0，>0，若是与等比中项，则得最小值为（）A.8B.4C.1D.

（天津理6）B变式训练1-1：所以，这个矩形长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2所以，这个矩形长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2四、当堂训练，针对点评32/39＞2.（山东理12T)设满足约束条件若目标函数

（0，>0）最大值为12，则最小值为（）A.B.C.D.4略解：xy02-22(4,6)A33/392.如图，用一段长为24m篱笆围一个一边靠墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园面积最大，最大面积是多少？变式训练2-1：四、当堂训练，针对点评34/392.如图，用一段长为24m篱笆围一个一边靠墙矩形花园，问这个矩形长、宽各为多少时，花园面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x

，BC=24－2x

，矩形花园面积为x(24－2x)

m2所以，这个矩形长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2当x=6时，函数y取得最小值为7235/39五、课堂总结，布置作业1．课堂总结：（1）包括知识点：基本不等式及其应用。（2）包括数学思想方法：转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合思想。36/39求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正数,P,S

是常