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重积分对称性与轮换对称性madeby微电四班郭予健李尚栋范兴勇第1页对称性对于二重积分计算，我们总是将其化为二次定积分来完成，而在定积分计算中，若碰到对称区间，则有下面非常简练结论：当f(x)在区间上为连续奇函数时,当f(x)在区间上为连续偶函数时,第2页这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点区间上定积分．在计算二重积分时，若积分区域含有某种对称性，是否也有对应结论呢？回答是必定。下面，我们将此结论类似地推广到二重积分第3页解：第4页积分区域D关于坐标区域内任意直线对称假如积分域D关于直线y=ax+b对称，则二重积分其中D1为D在以直线y=ax+b为轴右半平面部分第5页第6页证实:若区域D对称于直线y=ax+b,不妨设a>0，即倾斜角为锐角.首先，平移坐标轴，得坐标系x'o'y'如上图即第7页其次，将坐标系x'o'y'沿逆时针方向旋转，旋转角为(tan=a)使x'轴与直线y=ax+b重合．得新坐标系uo'v第8页第9页第10页雅可比行列式为:即证第11页第12页解：因为积分区域D关于直线x=1对称，被积函数

在区域D上关于（x-1）为奇函数y在区域D上关于（x-1）为偶函数第13页补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面对称性；２、被积函数在积分区域上关于三个坐标轴奇偶性．第14页第15页第16页轮换对称性第17页第18页其中D是平面x=0，y=0,z=0,x+y+z=1所围成空间区域整个边界曲面外侧第19页解：因为积分曲面D关于x，y，z含有轮换对称性，所以

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