第二讲随机变量的定义及分布

第二讲随机变量的定义及分布第1页，课件共69页，创作于2023年2月本章学习的目标：复习概率与随机变量的理论加深随机变量函数的理论（重点）深化一些重要概念的理解加深多维正态随机变量的理论增加Matlab的统计分析函数(自主学习）第2页，课件共69页，创作于2023年2月1.1概率的基本术语

随机试验(RandomExperiment):满足下列三个条件的试验称为随机试验：(1)在相同条件下可重复进行；(2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确；(3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。例：投掷硬币(Tossacoin)Theoutcomevariesinanunpredictablefashionwhentheexperimentisrepeatedunderthesameconditions.第3页，课件共69页，创作于2023年2月随机事件(RandomEvent):在随机试验中，对试验中可能出现也可能不出现、而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情，称为随机事件，简称为事件。如投掷硬币出现正面就是一个随机事件。第4页，课件共69页，创作于2023年2月基本事件(ElementaryEvent):随机试验中最简单的随机事件称为基本事件，如投掷骰子出现1、2、.....、6点是基本事件，出现偶数点是随机事件，但不是基本事件。(简单事件SimpleEvent)第5页，课件共69页，创作于2023年2月样本空间(SampleSpace)随机试验的所有基本事件组成的集合称为样本空间.Tossacoin：S={Head,Tail}={H,T}Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}第6页，课件共69页，创作于2023年2月关于样本空间的注释：离散的样本空间Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}连续的样本空间由多次子试验构成的样本空间－－看下例第7页，课件共69页，创作于2023年2月IFwetossacointhreetimesandletthetripletxyzdenotetheoutcome“xonthefirsttoss,yonthesecondtoss,zonthethirdtoss”,thenthesamplespaceoftheexperimentisS={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}Theevent“oneheadandtwotails”isdefinedbyE={HTT,THT,TTH}第8页，课件共69页，创作于2023年2月关于样本空间的注释：离散的样本空间Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}连续的样本空间由多次子试验构成的样本空间可数无穷的样本空间S=S1S1…={HH…,HT…,TH…,TT…,…}S1={H,T}第9页，课件共69页，创作于2023年2月频率和概率(FrequencyandProbability):n次重复试验中，事件A发生的次数nA：-

事件A的频数比值nA/n:-

事件A发生的频率概率频率反映了事件A发生的频繁程度，若事件A发生的可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。第10页，课件共69页，创作于2023年2月1.2随机变量的定义(Definitionofarandomvariable)设随机试验E的样本空间为S={e}，如果对于每一个eS，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。随机变量是定义在样本空间S上的单值函数1.定义第11页，课件共69页，创作于2023年2月Interpretationofrandomvariable:S●●eReallineRandomvariableisafunctionthatassignsanumericalvaluetotheoutcomeoftheexperiment.第12页，课件共69页，创作于2023年2月AcointossS●●e1Realline1●0●e2Mappingoftheoutcomeofacointossintothesetofrealnumber第13页，课件共69页，创作于2023年2月Adiscreterandomvariableisarandomvariablethatcanbetakeonatmostacountablenumberofpossiblevalues根据随机变量取值的不同可以分为：连续型随机变量(Continuousrandomvariable)离散型随机变量(Discreterandomvariable)第14页，课件共69页，创作于2023年2月2.概率分布列Xx1x2...xnpkp1p2...pnProbabilitymassfunction(PMF)第15页，课件共69页，创作于2023年2月(1)(0,1)分布

随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为PMF:01第16页，课件共69页，创作于2023年2月BernoullirandomvariableLetAbeaneventofinterestinsomeexperiment,e.g.,adeviceisnotdefective.Wesaythata“success”occursifAoccurswhenweperformtheexperiment.BernoullirandomvariableIAisequalto1ifAoccursandzerootherwise.第17页，课件共69页，创作于2023年2月(2)Binomial独立地进行n次贝努利试验，事件A发生m次的概率刚好是展开的第m+1项的系数例：雷达双门限检测器第18页，课件共69页，创作于2023年2月Example:

Transmissionerrorinabinarycommunicationschannel.LetXbethenumberoferrorsinnindependenttransmissions.FindthePMFofX.Findtheprobabilityofoneorfewererrors0101

1-1-第19页，课件共69页，创作于2023年2月Theprobabilityofkerrorsinnbitstransmissionsisgivenbytheprobabilityofanerrorpatternthatk1’sandn-k0’sXisabinomialrandomvariable第20页，课件共69页，创作于2023年2月例：信息传输问题（MessageTransmissions）LetXbethenumberoftimesneedstobetransmitteduntilitarriverscorrectlyatitsdestination.FindtheprobabilitythatXisanaevennumber.XisadiscreterandomvariabletakingonvaluesfromS={1,2,3,….}(3)geometricrandomvariable第21页，课件共69页，创作于2023年2月Theevent{X=k}occursifk-1consecutiveerroneoustransmissions(failures)followedbyaerror-freeone(success)Xiscalledthegeometricrandomvariable第22页，课件共69页，创作于2023年2月泊松分布(Poissondistribution)例：交通路口在单位时间内通过的车辆数第23页，课件共69页，创作于2023年2月1.3分布函数和概率密度函数ProbabilityDensityFunction,（PDF）

DistributionFunctionorCumulativeDistributionFunction,(CDF)1.定义第24页，课件共69页，创作于2023年2月右连续2.分布函数的性质（PropertiesoftheCDF）第25页，课件共69页，创作于2023年2月分布函数是右连续的不减函数，在负无穷处为零，正无穷处为1。对于连续型随机变量，取某一特定值的概率是为零的。即P{X=x}=0第26页，课件共69页，创作于2023年2月对于离散型随机变量，分布函数为阶梯函数，阶梯的跳变点出现在随机变量的取值点上，跳变的高度为随机变量取该值的概率。第27页，课件共69页，创作于2023年2月对于离散型随机变量，PMF与CDF的关系为○第28页，课件共69页，创作于2023年2月概率密度随机变量落入(x1,x2)的概率

第29页，课件共69页，创作于2023年2月对于离散型随机变量，它的概率密度函数是一串

函数之和，

函数出现在随机变量的取值点，强度为取该值的概率。第30页，课件共69页，创作于2023年2月第31页，课件共69页，创作于2023年2月3.常见概率分布正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正态分布概率密度标准正态分布函数第32页，课件共69页，创作于2023年2月瑞利分布（Rayleigh）瑞利分布概率密度＝2

02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第33页，课件共69页，创作于2023年2月指数（Exponential）分布指数分布概率密度0123456700.511.5第34页，课件共69页，创作于2023年2月对数正态分布（LogNormal）高分辨率雷达杂波分布01234567891000.10.20.30.40.5对数正态分布概率密度为尺度参数为形状参数第35页，课件共69页，创作于2023年2月1.4多维随机变量及其分布MultipleRandomVariablesandDistributions1.定义S●●e第36页，课件共69页，创作于2023年2月2.二维分布函数和概率密度BivariateCDFandPDF二维分布函数图解定义：第37页，课件共69页，创作于2023年2月二维分布函数性质：边缘（Marginal）分布由二维分布函数可以求出一维分布函数第38页，课件共69页，创作于2023年2月二维概率密度：由二维概率密度可以求出边缘概率密度第39页，课件共69页，创作于2023年2月随机变量落在某个区域的概率第40页，课件共69页，创作于2023年2月3.条件分布(ConditionalDistribution)条件分布函数条件概率密度称随机变量X、Y独立第41页，课件共69页，创作于2023年2月Example:CommunicationChannelwithDiscreteInputandContinuousOutputnoisevoltageN~U(-2,2)通信信道X:+1or-1FindP{X=+1,Y≤0}Y第42页，课件共69页，创作于2023年2月Solution:1/2WhentheinputX=1,theoutputYisuniformlydistributedintheintervalTherefore第43页，课件共69页，创作于2023年2月1.5随机变量的数字特征均值方差协方差与相关系数协方差矩阵举例第44页，课件共69页，创作于2023年2月1.均值（Mean)算术平均：所有可能取值等概率加权统计平均值：所有可能取值按概率加权连续型随机变量：离散型随机变量：第45页，课件共69页，创作于2023年2月性质：如果X和Y相互独立，如果E[XY]=0，则称X和Y正交(Orthogonal)。第46页，课件共69页，创作于2023年2月2.方差(Variance)方差反映了随机变量X的取值偏离其均值的偏离程度或分散程度，D(X)越大，则X的取值越分散。第47页，课件共69页，创作于2023年2月性质：如果X1,X2,...,Xn相互独立。第48页，课件共69页，创作于2023年2月Varianceisanonlinearoperator第49页，课件共69页，创作于2023年2月3.协方差和相关系数(CovarianceandCorrelationcoefficient)如果X和Y相互独立，则rXY=0，|rXY|=1的充要条件是P{Y=aX+b}=1第50页，课件共69页，创作于2023年2月wedefineXandYtobeuncorrelatedIf,IfXandYareindependent,thenXandYareuncorrelated.XandYareindependentXandYareuncorrelatedTrueFalse第51页，课件共69页，创作于2023年2月ThecorrelationcoefficientprovidesameasureofhowgoodapredictionofthevalueofoneofthetwoRVscanbeformedbasedonanobservedvalueoftheother.1indicatesahighdegreeoflinearbetweenXandY+1meansb>0and-1meansb<0第52页，课件共69页，创作于2023年2月Independent:UncorrelatedOrthogonal:第53页，课件共69页，创作于2023年2月不相关就认为X与Y没有关系吗？例：为零均值正态随机变量，Y与X相关吗？Y是依赖于X的(Dependence)，但Y与X不相关(Uncorrelated),线性不相关的。第54页，课件共69页，创作于2023年2月Independentimplieszerocovariancebutzerocovariancedoesnotimplyindependence.Example:UncorrelatedbutdependentrandomvariablesLetbeuniformlydistributedintheinterval(0,2)。LetXandYareuncorrelatedbutdependent第55页，课件共69页，创作于2023年2月注意英文单词的区别:Correlation(Uncorrelated)Dependent（Independent)Itcanbeshownthat第56页，课件共69页，创作于2023年2月4.协方差矩阵（CovarianceMatrix）多维随机变量通常用协方差矩阵来描述随机变量之间的相互关系。第57页，课件共69页，创作于2023年2月协方差矩阵是对称（共轭对称）的；如果变量之间是不相关的，则K是一个对角阵。第58页，课件共69页，创作于2023年2月例1:(0,1)分布随机变量，P{X=1}=p,P{X=0}=q=1-p,求X的均值和方差5.ExpectedvalueofsomeimportantrandomvariableE[X]=1·P{X=1}+0·P{X=0}=pE[X2]=12·P{X=1}+02·P{X=0}=pD(X)=E(X2)-(E[X])2=p-p2=pq解:第59页，课件共69页，创作于2023年2月例2(a,b)上均匀分布的随机变量，求均值和方差

第60页，课件共69页，创作于2023年2月例3求瑞利分布随机变量的均值和方差。第61页，课件共6