高数同济7版教案第一章函数与极限

广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案一、课程教学计划表三微分中值定理与导数6八九二、教案正文10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质教师讲授，提问式教学，多媒体教学一、映射定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y=f(x),元素x称为ffff注意:一.f有唯一确定的(x,0)eY与之对应.f是一个映射,f的定义域Df=X,值域Rf在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴f的映射或满射;到Y的单射;逆映射定义：设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yeR,有唯一的xeX,fffff2o每个数xeD，变量y按照一定法则总有确定的数值和做因变量．y的取值范围叫函数的值域.用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数ffff可以得到一个新的函数：x=f-1(y)．我们称这个新的函数x=f-1(y)为函数y=f(x)的反函数，而把函数y=f(x)称为直接函数.ff4-1有界定义：若有正数M存在，使函数f(x)在区间I上恒有f(x)<M，则称f(x)在区间I上是有界函数；否则，f(x)在区间I上是无界函数.恒有f(x)<M，则称f(x)在区间I上有上界，并且任意一个N之M的数N都是f(x)在区间I上的一个上界；显然，函数f(x)在区间I上有界的充分必要条件是f(x)在区间I上既有上界又有下界.严格单调递增：设函数f(x)在区间I上的任意两点x<x，都有f(x)<f(x)（或f(x)>f(x)则称y=f(x)在区间I上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数.严格单调递增：如果函数f(x)在区间I上的任意两点x<x，都有f(x)<f(x)（或f(x)之f(x)则称y=f(x)在区间I上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数.少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数.格单调增加的.)内都是严格单调增加的.f(x)=f(x)）则称f(x)为偶函数（或奇函数）.偶函数的图形是关于y轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的.例如，f(x)=x2、g(x)=xsinx在定义区间上都是偶函数．而F(x)=x、f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数．并把T称为f(x)的周期．应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期.基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常中学的数学课程里已经学过.1定义．当aeN或a=，neN时，定义域xa(a1-3.在工程中，常以无理数e＝2.718281828…作xex切和余切函数的图形见图1-4.数数反三角函角函数主反正弦函数的图形是一条水示.初等函数把由基本初等函数过有限次的四则运和有限次的复合步骤所构成并用一个解析式表达的函数，为初等函数.段函数就是非初等函数.初等函数分解为基本初等函构是十分重要的.继课的学习作好准备.积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用.1加倍，一般地把内接正6x2n-1边形的面积记为A(neN)．这样，就得到一系列n读作n趋于无穷大即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正n这个数列的极限才精确地表达了圆的面积.数列的概念如果按照某一法则，有第一个数x，第二个数x， 这样依次n就叫做数列.n 也简记为数列{x}.nnn都成立，则称常数a是数列x的极限，或者称数列x收敛于a，记为nxxn).n(-1)nn证n(-1)n21211ε即21111取1,10二、收敛数列的性质nn0范围称作以x为中心，以δ为半径的去心邻域，记作U(x)．现在考虑自变量x的变化过程为x喻x．如果在x喻x的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f(x)当x喻x时的极0限．当然，这里我们首先假定函数f(x)在点x的某个去心邻域内是有定义的．0函数极限的解析定义：设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义．如果对于任意给定的正数ε00对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)-A<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x喻x时的极限，记作0limf(x)=A或f(x)喻A（当x喻x上述x喻x时函数f(x)的极限概念x喻x0(x)=Ax喻x0x喻x时的左极限，记作0limf(x)=A或f(x-0)=A.0x喻x0-0x喻x00limf(x)=A或f(x+0)=A.00明：函数f(x)当x喻x时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在0f(x-0)=f(x+0).因此，即使f(x-0)和f(x+0)都存在，但若不相等，则limf(x)不存在.x喻x0x喻x00证当x喻0时f(x)的左极限limf(x)=lim(x-1)=-1，x喻-0x喻-0x喻0x我们知道，当x喻伪时f(x)=1越来越接近零．如果函x时，f(x)取值和常数A要多接近就有多接近，此时称A是f(x)当x喻伪时的极limf(x)=A.x喻伪数值f(x)都满足不等式f(x)-A<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x喻伪时的x喻伪limf(x)=A.limf(x)=A.x喻伪x喻x0那么就存在着点x的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)>0（或0定理1’如果limf(x)=A（A丰0那么就存在着x的某一去心0x喻x0(x)时，就有f(x)>0x喻x0f(x)之0（或f(x)<0而且n000穷小量，即limf(x)=0.x喻*1f(x)无限增大，则称f(x)是x喻＊下的无x喻*2反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)丰0，则fx)为无穷大.2y……)yn,则nπ本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性质.分析：含有绝对值符号，必须去掉绝对值，要考虑从左、右极限入手.x22xx22x2xx喻0+x喻0+x喻0+xx22x2x22x2xx喻0x喻0x喻0x0定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积是无穷小.（1-5)定理7可推广到有限个函数的情形．例如，如果limf(x),limg(x),limh(x)都存lim[f(x)+g(x)h(x)]=limf(x)+limg(x)limh(x).如果limf(x)=A,limg(x)=B，那么lim[f(x).g(x)]存在，且lim[f(x).g(x)]=limf(x).limg(x)=A.B1－6）推论2如果limf(x)存在，n为正整数，则lim[f(x)]n=[limf(x)]n.g(x)limf(x)=limf(x)=A1－7）g(x)limg(x)Bx喻1解事实上，设多项式P(x)n+axn-1n例2求limx3-1.x喻2x喻2P(x)=P(x)=P(x)==x喻xx喻xx喻x0000x喻x0=0x喻x0=000x喻x00例3求limx2-16.x喻4x-4x喻4x-4x喻4x喻1-3解lim32=2-3xx3=-.71lim2=-+-—0解当x喻伪时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则．但在点x处有定义，那么x喻x时f(x)的极限必定存在且等于f(x)在点x的函数值.0x喻x0其定义域为D，而x0eD，则有limf(x)=f(x).00x喻x0x喻30x喻x0连续，那么复合函数y=f[g(x)]0时的极限存在．且limf[g(x)]=f(u)=A1－8）0x喻x0证明从略.0x喻x0例9求limesinx.x喻00x喻x00x喻x0解limesinxsinx0x喻0x2x2xx2.1_1x1xx2作业P451、（1357911132，3算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限.1.求limesinx.x喻0sinxx喻0x21_1=1=_____.xx2第六节极限存在准则两个重要极限准则I如果数列{x}、{y}及{z}满足下列条件:准则I,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:那么limf(x)存在,且limf(x)=A.0x喻0x-),2即DDB1x-xπ2x喻0x喻0xx喻0xx喻0xx喻0xx喻0例2x喻0x2x喻0xxxx喻ππx例6求limx喻0xx喻0xx喻04x以单调增加数列为例,数列的点只可能向右一个方向移动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点A,而对有界数列只可能后者情况发生.准则II/设函数f(x)在点x的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在x的左0就称数列{x}是单调减少的.单调增加和单调减少数列统称为单调数列.nxcc喻02x喻0-方法.2nnnnn2nn2nnnkn1而limnnnn而limnkk无穷小的比较-。这种情况的产生，在于各个无穷小趋向于零的“快慢”不一样。在x喻0的2喻CCCCCkβ2的二阶无穷小（因为小结x喻0时常用的等价无穷小:,,例4求limsinx。1313第八节函数的连续性与间断点Δy=f(x+x)f(x)叫函数y的增量.定义设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量0Δx=xx趋于零时，对应的函数的增量Δy=f(x+x)f(x)也趋于就称函数y=f(x)在点x连续.0它的另一等价定义是：设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，如果函0数f(x)当x喻limf(x)=f(xx喻x0x时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x)，即0断为断为y0x喻x0-00点