第二章 2.1.1　倾斜角与斜率

第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率点击此处进入图书配套内容内容概览教材认知掌握必备知识点击进入合作探究形成关键能力点击进入【素养导引】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握倾斜角和斜率之间的关系.(直观想象)2.理解直线的方向向量和向量坐标表示.(数学抽象)3.了解斜率公式的推导过程,会利用斜率公式求直线的斜率.(逻辑推理、数学运算)教材认知掌握必备知识一、直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴__________与直线l向________的方向之间所成的角α.

规定当直线l与x轴________________时,它的倾斜角为0°.

范围0°≤α<180°正向上平行或重合【批注】倾斜角定义的关键词(1)x轴正向;(2)直线向上的方向;(3)小于180°的非负角.二、直线的斜率1.定义:把一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=__________.

2.过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_________.

正切值tanα

[诊断]1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)每一条直线都对应一个确定的倾斜角. (

)(2)任一条直线都存在斜率. (

)(3)直线的倾斜角都是小于180°的角. (

)提示:(1)无论直线怎样旋转,其倾斜角的取值范围都是0°≤α<180°,因此每一条直线都对应一个确定的倾斜角.(2)当直线的倾斜角为90°时,不存在斜率.(3)是小于180°的非负角.√××

(x2-x1,y2-y1)学习任务一

直线的倾斜角(直观想象)1.下面图形标注的直线的倾斜角大小正确的是 (

)【解析】选C.根据直线倾斜角的定义,可以确定C正确.合作探究形成关键能力

【思维提升】求直线的倾斜角的关注点(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.

【补偿训练】

如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

学习任务三

直线的倾斜角与斜率的综合问题(逻辑推理)角度1

直线倾斜角与斜率的关系【典例2】(多选题)若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个说法中错误的是 (

)A.若α1<α2,则两直线的斜率:k1<k2B.若α1=α2,则两直线的斜率:k1=k2C.若两直线的斜率:k1<k2,则α1<α2D.若两直线的斜率:k1=k2,则α1=α2【解析】选ABC.当α1=30°,α2=120°时,满足α1<α2,但是两直线的斜率k1>k2,选项A说法错误;当α1=α2=90°时,直线的斜率不存在,无法满足k1=k2,选项B说法错误;若直线的斜率k1=-1,k2=1,满足k1<k2,但是α1=135°,α2=45°,不满足α1<α2,选项C说法错误;若k1=k2说明斜率一定存在,则必有α1=α2,选项D说法正确.

【思维提升】直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,此时,直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合).(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°≤α<90°时,斜率越大,直线的倾斜角越大;当90°<α<180°时,斜率越大,直线的倾斜角也越大.【即学即练】1.如图,直线l1,l2,l3,l4的斜率分别为k1,k2,k3,k4,则 (

)A.k4<k3<k2<k1 B.k3<k4