2020-2021学年高二（下）期中数学（文科）试卷（解析版）

2020-2021学年四川省雅安中学高二（下）期中数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题）.

1.命题“VxeR,X2-2X+12W0”的否定为()

A.xo2-2xo+12>OB.VxGR,x2-2%+12>0

C.VxgR,x1-2%+12<0D.3xoSR,xo2-2xo+12>O

2.己知命题p：若a>|可，则cP>/?2；命题g：VXGR,都有N+X+]>O.下列命题为真命题

的是()

A.pf\qB.p/\fqC.~^p/\qD.

3.已知函数/(x)的图象与直线x+2y-1=0相切于点(-2,/(-2)),则/(-2)4/

(-2)=()

A.2B.1C.0D.—

2

4.设函数f(x)=*2-9lnx在区间[a-1,。+1]上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(1,2]B.[4,+8)C.(…，2]D.(0,3]

5.已知函数f(x)=lnx,若关于x的方程/(x)=履恰有两个不相等的实数根，则实数上

的取值范围是()

A.(0,—)B.(0,—]C.(―,返)D.(―,乌

ee2e2e

6.函数/(x)=xl°：aM(0<«<l)图象的大致形状是()

|x|

7.复数zW1"，Iz|=()

1

A•旄B.3C.4D.5

8.已知函数/'(%)若好f(log?芯)，b=f(e01),lk^\，则Q，b,

xc=f(eJ)

c,的大小关系是()

A.h<c<aB.a<h<cC.c<h<aD.a<c<b

9.下列说法中不正确的是()

①不等式工〉《的解集是｛x|x<2｝；

x2

②函数yWx2]+/:的最小值是2；

3+2

③“Vx6R,mx2-ntr-1<0恒成立"的充要条件是“-4Vn?W0”；

④命题“Vx>2,N-2Q0”的否定是u3x>2,/-2后0”.

A.①②③B.②③C.③④D.①②

10.已知函数/(x)=x3-3x2+a,若f(x+1)是奇函数，则曲线y=/(x)在点(0,a)处

的切线方程是()

A.x=0B.x=2C.y=2D.y=4

(Y=+gin500-1

H.直线的参数方程为二八。(，为参数)，则直线的倾斜角为()

(y=-tcos50

A.40°B.50°C.140°D,130°

12.已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x,都有当"=笄,当x

fix)

V0时，/(x)+f(x)>0,若打(2a+l)e/(a+l),则实数a的取值范围是()

争9

A.[0,B.[-f,0]C.[0,+8)D.(-8,0J

o

二、填空题(每题5分共20分)

13.若“x>3”是ux>m"的必要不充分条件，则机的取值范围是.

百+i__

14.已知复数z=-y-,一7是Z的共貌复数，则z・7=

(1-V3i)2

15.已知函数f(x)=/-5x+2/nx,则函数/(x)的单调递增区间是.

16.已知函数/(x)=旦一，过点A(a,0)(a>0)作与y轴平行的直线交函数/(x)的

a

图象于点P,过点P作/(x)图象的切线交x轴于点B,则△AP3面积的最小值

为.

三、解答题(17题10分其余大题均12分)

17.已知命题p：VxER,ax2+ax+\>0,命题q：\2a-1|<3.

(1)若命题p是真命题，求实数。的取值范围.

(2)若pVg是真命题，p/\g是假命题，求实数，，的取值范围.

18.2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能

毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动

项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2017

届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下

列联表：

喜欢游泳不喜欢游泳合计

男生10

女生20

合计

已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为

5

(I)请将上述列联表补充完整；

(II)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？

附.jz2n(ad-bc).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(烂)心)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.设复数z满足4z+z=5«+3i,(o=sin0+cos0z(QeR).

(1)求z的值；

(2)设复数z和3在复平面上对应的点分别是Z和W,求|ZW|的取值范围.

20.在直角坐标系xO)，中，曲线g：jx=3+tcosa(/为参数)，其中。日0,K).在以

1ly=l+tsinCL

。为极点，A•轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=4sin6.

(1)求G的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若G与C2相交于点A,B两点，点尸(3,1),求|PA|・|P8|.

21.已知函数/(x)=bvc,g(x)=x+m.

(1)若/(x)Wg(X)恒成立，求实数，〃的取值范围：

(2)若XI,X2是函数尸(x)~f(X)-g(X)的两个零点，且X1<X2,求证：X1X2<1.

22.已知函数/(x)—ex+ax-a(a€R且。#0).

(I)若/(0)=2,求实数。的值；并求此时/(x)在［-2,1］上的最小值；

(II)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题(共12小题).

1.命题“VxeR,N-2x+12W0”的否定为()

A.BxoGR,xo2-2xo+12>OB.VxGR,x2-2x+12^0

C.VxgR,x2-2x+12<0D.3xo£R,xo2-2xo+12>O

解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“VxER,x2-2x+12<0”的否定为AoWR,

xo2-2xo+12>O.

故选：A.

2.已知命题p：若。>|例，则。2>炉；命题q：VxGR,都有f+x+i>0.下列命题为真命题

的是()

A.pf\qB.pN^qC.^p/\qD.-

解:对于命题P：若。>步|,则出>风

若。>|加20,由不等式同向可积原则,有。2>|印=炉；命题p为真；

对于命题0VXWR,都有<+x+i>0.

因为N+x+l=(x+—)2+—>0,

24

BiJVxeR,都有N+x+l>0.成立；

所以命题q为真；

故选：A.

3.已知函数/CO的图象与直线x+2y-1=0相切于点(-2,/(-2)),则/(-2)4/

(-2)=()

A.2B.1C.0D.—

2

解：由题意，f'(-2)=

3

又-2+2f(-2)-1=0,：.f(-2)=-1.

则/(-2)=--A=l，

故选：B.

4.设函数”x)=于2-9或在区间[〃-1,〃+1]上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.(1,2]B.[4,+8)C.(一8,2]D.(0,3]

解：,:f(x)=-i¥2-9lnx,

，函数/G)的定义域是(0,+8),

Q

f(X),

X

Q

Vx>0,・,・由/(x)=x-—<0,得0<xV3.

X

•.•函数f(X)=/2-9配V在区间伍-1,“+1]上单调递减，

(a*-l>0

：.</，解得lVa<2.

la+l<3

故选：A.

5.已知函数/(x)=bvc,若关于x的方程/(幻=区恰有两个不相等的实数根，则实数出

的取值范围是()

A.(0,—)B.(0,—]C.(―,在)D.(―,返]

ee2e2e

解：设g(x)=返_=亚，

XX

「,,l-lnx

又g(x)=2~，

x

当OVxVe时，g'(x)>0,当时，，gr(x)<0,

则函数g(x)在(0,e)为增函数，在(e,+8)为减函数，

又无f0+时，g(x)---8,Rf+8时，g(x)-*0+,g(e)=—,

e

即直线y=A与函数g(x)的图象有两个交点时人的取值范围为(0,工)，

故选：A.

解：由题意，/(-X)=-/(x),所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除8、D；

x>0时.，f(x)=log«x(O<6Z<1)是单调减函数，排除A.

故选：C.

7.复数z3?团=()

1

A.75B.3C.4D.5

解：因为4"二"『d』，

所以|z|={(-4)2+(-3)2=5.

故选：D.

8.已知函数f（x）=上飞以若a二f（b=f（e°i）,仪1'g），贝口。，b,

。的大小关系是（）

A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

解：根据题意，函数/（x）其定义域为（0,+8）

其导数/（%）=-」5-口==一（'尹4=）<°，则f（x）在其定义域上为减函

xZVxXZVx

数，

0Vlog3加〈1og3y=《，e°」>e°=l,则有log3&Vlr^^<e0J,

2e3e

则h<c<a,

故选：4.

9.下列说法中不正确的是（）

①不等式上二的解集是｛x|x<2｝；

x2

②函数y=Vx2+2+-「；•的最小值是2；

VX2+2

③“VX6R,蛆2_m「]<o恒成立”的充要条件是“-4<mW0”；

④命题“Vx>2,%2-2x>0"的否定是u3x>2,X2-2XW0”.

A.①②③B.②③C.③④D.①②

解：①由工》《得工一工考三〉0,解得0VXV2,所以①错误；

x2x22x

②令t=Jx?+2,贝1Jt>&,f(t)=t+Y,

设%>土2>a，所以f(ti)-f(t2)=t[-^7--t2/~=(t「七2)一~1--

1Z^1t2tlt2

t[12-1、

因为A-，2>0,力/2-1>0,所以（ti-tj--------〉0,即有f（力）>f5）,

1/tlt2

所以/（力在t>M上是单调递增函数，

所以历）=^返，y=Vx2+2+丁;-一的最小值不是2,所以②错误；

2Vx+2

③VxER,加^2-g-1V。恒成立，则当m=0时，-1V0恒成立；

当机V0时，△="Z2+4/WV0,解得-4V〃zV0；当机>0时不成立.

综上，恒成立的充要条件是“-4<,"W0"，所以③正确；

④根据全称命题的否定是特称命题，命题“Vx>2,x2-2x>0"的否定是"A>2,x2-

2xW0”，所以④正确.

故选：D.

10.已知函数/(x)=R-3/+a,若f(x+1)是奇函数，则曲线y=/(x)在点(0,a)处

的切线方程是()

A.x=0B.x—2C.y—2D.y=4

解：由于函数/(x)=V-3/+a,若/(x+1)是奇函数，

则/(I)=0,即有1-3+a=0,解得，4=2,

f(x)=x3-3x2+2,导数，(x)—3x2-6x,

则在切点(0,2)处的斜率为0,

则切线方程为：y=2.

故选：C.

(V=+<STnSO0—1

11.直线的参数方程为。。为参数)，则直线的倾斜角为()

Iy=-tcos50

A.40°B.50°C.140°D.130°

(V=+CTnSO0—1

解：由直线的参数方程为。(f为参数)，

\y=-tcos50

uc0

可得tanJ=-^--="CQS—jr=-cot5O°=tan(90。+50°)，

x+1sin50°

・,.a=140。，

故选：C.

12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x,都有写当x

fix)

VO时，f(x)+f(x)>0,若0(2a+l)2/(a+l),则实数。的取值范围是()

A.[0,—]B.[--,0]C.[0,+8)D.(-8,0]

33

解：•••，：)=3,

f(X)

...虱？-=eXf(x)=/■)/(-x),

e

令g(x)=4(x),则g(-x)=g(x),

当xVO时/(x)+f(x)>0,

：.g''(x)=决[/(元)+f(x)]>0,即函数g(x)在(-8,o)上单调递增

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g（X）在（0,+8）上单调递减,

-：e°f（2a+l）与（a+1）,

：.e2a+｝f（2a+l）》夕+了（。+1）,

'.g（2a+l）2g（67+1）,

|2a+l|W|a+l|,

解可得，~^^a40，

故选：B.

二、填空题（每题5分共20分）

13.若“x>3”是的必要不充分条件，则，"的取值范围是m>3.

解：若“x>3”是“x>〃广的必要不充分条件，

则｛x\x>m｝呈｛x|x>3｝,

即m>3,

即实数m的取值范围是m>3,

故答案为：ni>3.

V3+i——1

14.已知复数z=T=p，z是z的共辗复数，则z・z=4

（1-V3i）2一L

百+i__________百+i

解:化简得

(l-V3i)2)2

_V^+i_(a+i)(-2+2«i)

--2-2«i-(-2-2标)(-2+2愿i)

__/-复=_/-4i

一(-2)2-(2禽i产16—

=44-故W=零+，

4444

所以zG=（q_i）（岑小）=（《）2_亭）2.

故答案为：4

4

15.已知函数/（x）-x2-5x+2lnx,则函数/（x）的单调递增区间是（0,1）和（2,+

°°)

解：函数/(x)=x2-5X+2/MX,其定义域{X|X>0}

2

则/(x)=2X-5+2X.=2X-5X+2

XX

令(x)=0,可得X1,，X2=2

当在(0,/)时，/(X)>0，二函数,f(x)在(0,/)是单调递增.

当底(2,+8)时，f(x)>0,.•.函数/(x)在(2,+8)是单调递增.

二函数f(x)的单调递增区间是(0,-1)和(2,+8).

故答案为：(0,和(2,+8).

16.已知函数/(x)=±,过点A(a,0)(a>0)作与y轴平行的直线交函数/(x)的

a

图象于点尸，过点P作八x)图象的切线交x轴于点B,则aAPB面积的最小值为

解：：AP〃y轴，A(a,0),

：.P(a,f(a))即(a,最)，

a

又/(x)(«>0)的导数#(x)=d,

aa

...过尸的切线斜率％=最，

a

即有切线方程为y-最=最(x-a),

aa

令y=0,可得-1,

即3(〃-1,0),AB=a-(tz-1)=1,

/.△APB的面积为S=《・1•d=£,

2a2a

导数S'由S'=0得”=1,

当”>1时，S'>0,当0<a<l时，S'<0,

，a=l为极小值点，也为最小值点，

AAAPB的面积的最小值为•1.

故答案为：

三、解答题(17题10分其余大题均12分)

17.已知命题p：VxGR»ax2+ax+10»命题,：\2a-1|<C3.

(1)若命题〃是真命题，求实数。的取值范围.

(2)若/A/g是真命题，p/\q是假命题，求实数。的取值范围.

解：(1)若命题p是真命题，则当。=0时，不等式等价为1>0,恒成立,

fa>0a>0

当“W0时，要使不等式恒成立则V“2/得),得0<aV4,

A=a2-4a<C00<a<4

综上0Wa<4,

即实数〃的取值范围是［0,4).

(2)若pVq是真命题，p/\g是假命题,

则p，q一个为真命题，一个为假命题,

由12a-1|<3得-3<2zi-1<3.得-l<a<2.

'0<a<4,

若P真g假，则(、t1得2Wa<4,

a，2或a《T

若?假q真，则，,/得

-Ka<2

综上2Wa<4或-

18.2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能

毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动

项目受到很多人的喜爱.其实，己有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2017

届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下

列联表：

喜欢游泳不喜欢游泳合计

男生10

女生20

合计

已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为•1.

(I)请将上述列联表补充完整；

(II)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？

附：v2n(ad-bc).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pko)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：（I）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为言,

5

所以喜欢游泳的学生人数为100x•1-60人；

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

喜欢游泳不喜欢游泳合计

男生401050

女生203050

合计6040100

…5分

(II)因为H=_100X迤2s■迎®£1211^16.67>10.828：

60X40X50X50

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.…12分.

19.设复数z满足4z+z=5«+3i,a)=sin0+cos0/(0GR).

(1)求z的值；

(2)设复数z和3在复平面上对应的点分别是Z和W,求|ZW|的取值范围.

解：(1)设复数z=x+yi(x,yGR),V4z+z=5^/ji-3z,,

:.5x+3yi=5^/5+3i,

••«2=^3+Z.

(2)ZW=()(sin0+zcos0)=2(cos-----sin-------)(cos(-------0)+zsin(—

A|ZW|G[0,2].

20.在直角坐标系中，曲线a：r=3+tC0S<I（f为参数），其中ae[0,n）.在以

1v=1++cTa

。为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=4sin0.

（1）求Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）若Ci与C2相交于点A,8两点，点P（3,1）,求

解：（1）曲线g：（X=3+tC°Sa（f为参数），转换为直角坐标方程为

1】”=1++u；na

：xtana-y-3tand+1=0(a十］)或x=3(a

曲线C2：p=4sin0,转换为直角坐标方程为：x2+(y-2)2=4,

(2)将曲线g：卜=3+tc°saa为参数)代入Cp：x2+(y-2)2=4，

1［y=l+tsina乙

得(3+rcosa)2+(1+rsina-2)2=4,fi+(6cosa-2sina)f+6=0,

设A,B两点对应的参数为小依

则|PA|・|P阴=|许・囿=|力亥|=6,

：.\PA^\PB\=6.

21.已知函数/(尤)=lnx,g(x)=x+m,

(1)若f(x)Wg(x)恒成立，求实数〃，的取值范围；

(2)若汨，及是函数尸(X)=/(X)-g(X)的两个零点，且X1〈X2，求证：X\X2<1.

解：(1)令/(x