基于经验模态分解的自回归模型在水文站径流预测中的应用

基于经验模态分解的自回归模型在水文站径流预测中的应用

1组合预测理论在径流预测的应用径向流的中长期预测是水文学研究领域的一个重要组成部分，对经济发展具有重要意义。这是水资源分配的基本基础，水库的优化配置、水库的合理配置、防洪和干旱的准备以及工农业区的水计划和规划。由于受气候变化、流域自然地理、社会发展及人类活动等因素的综合影响,使得其变化特性和规律错综复杂,表现为随机性、突变性、非线性等特性。因此,依靠单一的预测方法进行径流预测时的精度不甚理想。组合预测理论已证明多种预测模型的组合在一定条件下能更有效地发挥模型的拟合能力,并能提高预报精度。为此,本文提出基于经验模态分解(EMD)法的自回归(AR)模型对汾河上游四座水文站年径流进行预测,并将预测结果与单独运用AR模型的预测结果进行比较,验证了本文模型可行性和有效性。2理论与方法2.1原始序列的确定经验模态分解(EMD)法是一种有效的筛分方法,能够自适应地处理非平稳信号,并能将其分解为多个具有物理意义的平稳的固有模态函数(IMF)。运用EMD法对序列进行平稳化处理,其具体步骤如下。步骤1找出时间序列X(t)的所有局部极值点,运用三次样条函数进行插值并拟合其上、下包络线,上下包络线的均值m(t)为:步骤2利用原始序列X(t)减去包络线的瞬时平均值m(t),得到序列h(t)为:h(t)作为固有模态函数应满足以下两个条件:①极值点的数目和跨零点的数目必须相等或至多相差一个;②各个瞬时平均值均等于零。对h(t)进行判断,若不满足以上两个条件,将h(t)视为原序列重复步骤1、2,直到满足为止。得到第一个固有模态函数I1(t),用原序列减去I1(t),计算剩余值序列r1(t):步骤3将r1(t)作为新的原序列重复步骤1、2,分解出所有的固有模态函数,直到出现单调的残余项为止。2.2平稳时间序列自回归(AR)模型对平稳时间序列进行预测能够取得较高的预测精度。AR(p)模型适用于平稳时间序列,其表达式:式中,Xt为平稳随机序列;μ为Xt的均值;φ1,φ2,…,φp为自回归系数;p为自回归阶数;εt为均值0、方差σε2的独立随机变量。模型中的p由Akaike信息量准则(AIC)确定,其表达式为:式中,n为实测序列的长度;σε2为残差的方差。3河流水文站以汾河上游上静游、汾河水库、寨上和兰村四座水文站1956~2000年的年径流序列为例,汾河上游四座水文站的地理位置自上游向下游依次为上静游站、汾河水库站、寨上站和兰村站。3.1流量分析3.1.1最大上静游站均值衡量径流年际变化的特征通常采用均值μ、极值比P、变差系数CV和偏度系数CS。表1为汾河上游径流年际变化特征。由表1可看出:①汾河水库、寨上和兰村三座水文站的均值大体相近,而上静游站的均值只有其它三座水文站的七分之一左右,这是因为上静游站位于汾河支流岚河上,而其他三座水文站位于汾河干流上,一般情况下,干流流量要远大于其支流流量。②由极值比和变差系数这两个衡量年际变化程度的参数可知,上静游、寨上和兰村三座水文站的径流年际变化均比较明显,起伏程度大,年际丰枯变化剧烈,而汾河水库站相对来说变化较平缓,这与水库自身的调节有关。③偏度系数是自上游向下游递减,说明越向下游年径流相对均值的对称性越好。3.1.2年径流序列adf单位根检验为研究汾河上游上静游、汾河水库、寨上和兰村四座水文站年径流序列的平稳特性,对四座水文站的年径流序列进行ADF单位根检验,检验结果见表2。由表2可看出,汾河上游四座水文站的检验统计值均明显大于5%的临界值(其值为-1.95),可见四座水文站的年径流序列均为非平稳序列。3.2年度流量序列预测分析3.2.1东方方面的稳定性分析对汾河上游四座水文站的年径流序列进行EMD分解,为保证数据的完整性,采用数据延拓的方法对两端的数据加以处理。上静游、汾河水库、寨上和兰村四座水文站的分解结果见图1。由图1可看出,IMF1频率最高,振幅最大,波长最短,首先从信号中被提取出来,其中可能包含了高频噪声,与原始序列保持较好的一致性,包含的信息能更好地反映原序列的特征,IMF1、IMF3代表了原径流序列的主要成分,IMF4之后的分量幅度要比前3个分量小很多,不是主要成分。从IMF1到IMF5呈现出振幅逐渐减小,频率逐渐降低,波长逐渐增大的趋势,其对原序列的影响程度依次降低。EMD分解的趋势项表明汾河上游四座水文站的平均年径流量均呈总体下降趋势。将各固有模态函数和趋势项叠加,得到的序列与原序列状态保持一致,进一步说明了EMD分解法的精确度较高。AR(p)模型建模的条件为时间序列是平稳非白噪声序列,因此需要对EMD分解得到的各阶IMFs进行分析,研究其平稳性和白噪声性。(1)平稳性检验。对汾河上游四座水文站的各阶IMFs进行ADF检验,结果见表3。由表3可看出,除上静游站的IMF4和寨上站的IMF3外,汾河上游四座水文站各阶IMFs均小于临界值(其值为-1.95),即为平稳序列。因上静游站的IMF4和寨上站的IMF3为非平稳序列,故需对其进行平稳化处理,本文采用差分的平稳化处理方法。上静游站IMF4和寨上站的IMF3经一阶差分处理后的ADF检验结果见表4。由表4可看出,上静游站的IMF4和寨上站的IMF3经一阶差分后得到序列的ADF值小于5%临界值(-1.95),所以这两组数据经差分处理后为平稳序列。(2)白噪声性检验。利用QLB检验理论对经EMD分解得到的汾河上游四座水文站的各阶IMFs进行检验,结果见表5。由表5可看出,汾河上游四座水文站各阶IMFs的检验统计量QLB均大于临界值χ20.05(6)(其值为12.59),可见经EMD分解的各阶IMFs均为非白噪声序列。3.2.2固有模态函数的预测AR(p)模型阶数的选择至关重要。最优阶数是得到最优自回归系数{φm}的前提条件,而最优自回归系数包含了该时间序列的最大信息量。AR(p)模型是运用最小二乘法对资料的最佳拟合,时间序列的预测精度依赖于其所取的阶数。阶数取的过小,则得到模型的平滑性欠佳;随着阶数的增大,虽然模型的预测能力有一定提高,但自回归系数的估计误差随之增大,影响预测的稳定性。一般阶数取小于n/2较适宜(n为时间序列的长度)。本文AR(p)模型阶数m由AIC准则来确定。对于AR(p)模型,阶数m从0开始,随着m增大,AIC(m)值逐渐减小,同时拟合误差也逐渐减小,此时拟合误差起关键性作用,当达到某一阶数m0时,AIC(m0)值达到极小。之后,随着阶数的继续增大,拟合误差改善甚微,这时模型的阶数开始起决定性作用,AIC(m)值开始增大。因此,在AIC(m0)=minAIC(m)时,模型的阶数达到最优。根据不同的阶数p,本文取p=1~n/2(n=40),计算出相应的AIC(p),使AIC达到最小值的相应阶数即为所求。经计算上静游站的五个固有模态函数(IMF1、IMF2、IMF3、IMF4、IMF5)的AIC值分别在阶数为2、4、4、3、1时取得最小值,所以分别用AR(2)、AR(4)、AR(4)、AR(3)、AR(1)模型对上静游站的IMF1、IMF2、IMF3、IMF4、IMF5进行预测。同理可确定汾河水库站五个固有模态函数(IMF1、IMF2、IMF3、IMF4、IMF5)的模型阶数分别为2、4、2、3、3;寨上站四座固有模态函数(IMF1、IMF2、IMF3、IMF4)的模型阶数分别为2、3、2、3;兰村站四个固有模态函数(IMF1、IMF2、IMF3、IMF4)的模型阶数分别为2、3、2、3。3.2.3矩法估计法计算本文需要确定的模型参数有均值μ、方差σ2和自回归系数φ1,φ2,…,φp。采用矩法估计法对μ和σ2进行估计,结果见表6。自回归系数运用Yule-Walker方程进行估计,估计结果见表7。3.2.4fps的正态性检验独立随机变量εt=σεξt,其中σε为残差的标准差;ξt为纯随机序列。由统计学理论可知,残差项εt与其相对应的各水文站的各阶IMFs同分布。要模拟纯随机序列,必须先确定汾河上游各站IMFs的分布情况。利用Shapiro-Wilk检验理论(W检验)对EMD分解得到的各阶IMFs进行正态性检验,结果见表8。由表8可看出,上静游站IMF1、IMF2、IMF3、IMF4的W均大于W0.05(W0.05=0.945),说明上静游站的IMF1、IMF2、IMF3、IMF4均服从正态分布,而IMF5小于W0.05,说明该序列不服从正态分布。汾河水库站的IMF1、IMF2、IMF3的W均大于W0.05,说明这三个序列服从正态分布,而IMF4、IMF5小于W0.05,说明这两个序列不服从正态分布。寨上和兰村两站的IMF1、IMF2、IMF3均大于W0.05,说明这六个序列服从正态分布列,而两站的IMF4均小于W0.05,表明这两个序列不服从正态分布列。对于具有偏态性的水文序列,一般将εt视为P-Ⅲ型分布,所以上静游站的IMF5、汾河水库站的IMF4、IMF5、寨上站的IMF4和兰村站的IMF4模型的纯随机序列均按P-Ⅲ分布模拟,其余IMFs模型的纯随机序列均按正态分布模拟。3.2.5河流水文站预测结果的比较对汾河上游四座水文站各阶IMFs进行预测,其中的随机项序列分别根据各阶IMFs自身的正态性由Matlab模拟得到,而最后趋势项由直线拟合方程进行预测。然后将预测得到的各阶IMFs和趋势项进行重构得到汾河上游四座水文站1996~2000年的年径流预测值,其中分别对上静游站的IMF4与寨上站的IMF3进行差分还原。将基于EMD分解的AR模型(本文模型)的预测结果与单独运用AR模型预测的结果进行比较,结果见表9。由表9可看出,基于EMD分解的AR模型的年径流量的预测合格率明显高于单独运用AR模型预测的结果,说明采用基于EMD分解的AR模型后,年径流预测