【自主预习】FY2022寒假六年级数学讲义-第1讲 有理数学生版

第1讲有理数

【考点3】数轴

【考点1】正数与负数

【考点4】相反数与倒数

【考点2】有理数的概念及分类

【考点5】绝对值

一、正数和负数

在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活

和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4。£：和零上6。（：，收入20元和支出30元,

向东30米和向西100米等等.这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正

负数：

1.用正负数表示相反意义的量：

我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表

示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数.

【例】以上几个例子分别记为：Y%：和+6。<3,+20元和-20元，+30米和-100米.

2.正数：像30、+6、乃这样的数叫做正数，正数都大于零；

2

17

3.负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数，比如：-20、-3.14、-0.001>.

2

【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略；

②数0既不是正数也不是负数.

二、有理数的概念及分类

1.有理数：整数与分数统称为有理数.

2.有理数的分类：

（1）有理数按性质分类:

［正整数辣粕

小卜目然数

整数<零J

有理数■负整数

.正分数

分数

负分数

（2）有理数按符号分类

正整数

正有理数

正分数

有理数零（既不是正数，也不是负数）

［负整数

负有理数（负分数

（3）小数的分类

’有限小数］

无限循环小数）----可化成分数，是有理数

小数

无限小数

无限不循环小数——不可化成分数，是无理数

【注】注意以下几个概念的区分：

非负数：正数和零；非正数：负数和零；

非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；

非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零.

三、数轴

1.数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线.

【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；

①原点：表示数0的点；

②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向；

③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.

2.数轴的画法

（1）画一条水平直线；

（2）在这条直线上取一点作为原点；

（3）一般用箭头表示正方向；

（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方.

［例］一个标准的数轴：_।______।।_____।__>

-2-1012

【注】画数轴的常见错误：

①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度；

②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；

③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱.

一些错误的数轴示例:

错误类型错误示例

1____1_____―1-------------1----1----1----1----1_>

三要素缺失02-101123

111、111dII1>

012-201-101

方向不统一20110-1*10-1

3.数轴与有理数的关系

①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；

但数轴上的点不一定代表有理数，比如》.

②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；

③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数.

4.数轴与数学思想

①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；

②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零.

四、相反数&倒数

1.相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相

反数.特别地，0的相反数是0.

【例】+5与-5互为相反数；-5是+5的相反数；

【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数."-5是相反数”是错误的.

2.相反数的性质：

(1)代数性质：若a与8互为相反数，则a+6=0；反之，若a+6=0,则a与6互为相反数.

(2)几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关

于原点对称的.

3.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数.

【例】2与‘，一3与一,，一3与

2383

4.负倒数：乘积为-1的两个有理数互为负倒数.

【例】2与一3与L一之与

2383

【注】①。没有倒数，也没有负倒数；

②倒数是它的本身的数1或-1.

五、绝对值

1.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作回.

2.绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

a(a>0)

|a|=10(a=0)

-a(a<0)

3.绝对值的性质：

(1)非负性：|a|N0；

(2)双解性:若则。=/或a=—b.

【注】如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.

例如，若|a|+|勿+©=0,则a=0,b=0,c=0.

；师点睛

【考点1】正数与负数

例1(1)仔细思考以下各对量：

①胜二局与负三局；②气温为-3℃与气温升高30。(2；

③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%.

其中具有相反意义的量有()

A.1对B.2对C.3对D.4对

(2)①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2022年记作+2022年，那么，处于公元前500

年的春秋战国时期可表示为.

②如果80nl表示向东走80m,那么-60m表示.

③45两地海拔高度分别是120米，-10米，则6地比力地低米.

(3)饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600±30(ml)”字样，请问"600±30(ml)”是什么含义？

质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml,611ml,589ml,573ml,627ml,问抽查产品的容量是否合格？

【变式1】如果把收入80元记作80元，那么下列各数分别表示什么意义？

(1)10元；(2)3.5元；(3)-100元；(4)0元.

【变式2】下列说法错误的是（)

A.收入200元和支出300元是相反意义的量

B.向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量

C.节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量

D.存款2000元和取款3160元是相反意义的量

【考点2］有理数的概念及分类

例2（1）下列说法错误的是（）

A.0既不是正数也不是负数B.正整数和负整数统称整数

C.整数和分数统称有理数D.正有理数包括正整数和正分数

（2）把下列各数分别填在所属分类里：

223

-5,0,-3.14,32,-2.4,—,2-,n-5.5,2,4,3.14159,--,2003

77114

①正数：｛｝;

②负数：｛｝;

③非负整数：｛｝;

④分数：｛｝;

⑤非正有理数：｛）｝；

（3）在下表适当的空格里打上“J”号.

整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数

0

-1.5

-3

+0.62

4

0.3日

JI

_9

-8

【变式1】下列说法中正确的是（）

A.正有理数和负有理数组成了全体有理数

B.在有理数中，零的意义仅表示没有

C.所有的小数都是有理数

D.0既不是正数也不是负数

【变式2】把下列各数填入它所属的圈内:

42215

-10,69,-1.7,一，7—，0,46%,0.76,

正数

【变式3】下列各数中，哪些是正数？哪些是整数？哪些是非负数？哪些是有理数?

221

-8,0.126,0,—,-(-2),4.5,---101.0101,乃，20.

7、2

【变式4】回答问题：

(1)有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理

数？有没有最大的有理数？

(2)有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？

(3)有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？

【变式5］某中学对初一男生进行引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的用

负数表示，其中8名男生的成绩如下表：

2-203-1一310

(1)这8名男生有几人达标？

(2)达标的百分比是多少？

【变式6］若以45分钟为1个单位，并记每天上午10时为0,10时以前记为负，10时以后记为正.例如9:

15记为-1,10:45记为1等，依次类推，上午7:45应记为()

A.-3.15B.-3C.-2.15D.-7.45

【考点3】数轴

例3(1)下面图形是数轴的是()

«11।||________________।11____________I11I1________1111111A

-2-1012123-2-1012-1-2-30123

A.B.C.D.

(2)如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为.

2.6

(3)已知：点/在数轴上的位置如图所示，点8也在数轴上，且4、8两点之间的距离是2,则点6表示的

数是______.

=3O

(4)在数轴上标出下列各数：0,-4.2,3工，-2,+7,J,并用连接.

23

।।।।।।।।।।।।।।।>

-7-6-5-4-3-2-101234567

例4.(1)一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个

点表示的数是.

(2)一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则

小虫的起始位置所表示的数是.

(3)数轴上的点力对应的数是-1,一只蚂蚁从4点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至6

点后，用2秒的时间吃光了6点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回4点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程

是几个单位长度？8点与4点的距离是多少个单位长度？8点对应的数是多少？

AB

—41111-------1——

-1012345

【变式1】指出下列数轴上的的点从B、a〃分别表示什么数.

【变式2】用数轴上的点分别表示T,5,-2-,3.2以及它们的相反数，并用“〈”把它们连接起来.

2

-5-4-3-2-1012345

【变式3】下列各数中，哪些数是相等的？哪些数互为相反数?

131

2.3,-5.-1-,2—,4.5,5,1-,-3.2.

2102

【变式4】已知a、6在数轴上的位置如图所示：

--------11-----------1—

a-------0b

（1）在数轴上作出它们的相反数；

（2）用按从小到大的顺序将这四个数连接起来.

【变式5】以下叙述中，正确的是（）

A.正数和负数互为相反数

B.表示相反意义的量的两个数互为相反数

C.任何有理数都有相反数

D.任何有理数都有倒数

【变式6］在数轴上表示数a的点到原点的距离为2个单位，则a=.

【变式7】数轴上有46两点，如果点/对应的数是-2,且48两点的距离为3个单位，求点6对应的

数.

【变式8】如图，如果数a到原点的距离是数6到原点的距离的3倍，则数轴的原点可能是4B,C,〃四

点中的哪些点？

AaBCbD

【考点4］相反数与倒数

例5.(1)-2022的相反数是2022与一互为相反数.

(2)已知有理数a、6在数轴上表示如图，则a、b、-a.-6的大小，正确的是()

―1----1-------1-------------------►

a()h

A.—a<—b<a<bB.a<—b<b<—a

C.—b<a<—a<bD.a<b<—b<—a

(3)下列说法正确的是()

A.一个数的相反数一定是负数B.兀和-3.14互为相反数

C.所有的有理数都有相反数D.13和31互为相反数

例6.我们可以用字母表示数，比如a、6都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的

相反数.

(1)5的相反数是;•!■的相反数是，0的相反数是，数a的相反数是；

3

(2)-5的相反数是,的相反数是,T的相反数是;数-“的相反数是

2

(3)-(-2)的相反数是；+(-5)的相反数是,数-(+“)的相反数是,数-(-。)的

相反数是;与互为相反数.

例7.如果a<0,化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数

①—(+〃)；②—(—a)；③—[+(—砌;④-⑤—{+[—(一。)】};⑥-}

例8.(1)-2022的倒数是,2022与互为负倒数.

(2)一个数的倒数等于它本身，这个数是；一个数的倒数等于它的相反数，则这个数—

(3)已知a、6为有理数，在数轴上如图所示，则()

-1ci01b

AA.—1<1I<—1B.-<-<lCo-<-<lD.I<-<-

ababbaba

【考点5]绝对值

例9.(1)-2022的绝对值是,T-20221的相反数是,|-20221与互为倒数.

(2)①绝对值不大于3的整数有.

②绝对值大于2而小于5的负整数是

(3)①若加、刀满足-2|+5-3|=0,则的值等于.

②Ix1=-1y-71,则个=

(4)已知|止5,|勿=2,则|。一回的值是.

例10.(1)下列说法正确的个数()

①-(-a)表示正数；②一定是正数，-1〃|一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1;④

如果,则.

A.0个B.1个C.2个D.3个

(2)若x表示有理数，则-|r|一定是()

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

(3)下列说法正确的是()

A.若d表示有理数，则-4表示非正数B.和为零的两数互为相反数

C.一个数的绝对值必是正数D.若则力<0

31

【变式。求L3,-7,5夕。，%的绝对值.

【变式2】下列结论中，正确的是()

A.一个数的相反数一定是负数

B.一个数的绝对值一定不是负数

C.一个数的绝对值一定是正数

D.一个数的绝对值的相反数一定是负数

【变式3］绝对值小于3的整数有个，分别为.

【变式4】已知凶=3,那么x=.

【变式5】如图，a、6为数轴上两点表示的有理数，则在匕一勿，|“-〃，例-同中，负数有几个？

___________III.

30b

【变式6】判断题：

(1)卜4T4；()

(3)@=£(«^0)；()

(4)若时=网，则a"；()

(5)若a=b,则同=例；()(6)若时>网,则1>〃；()

(7)若a>b,则|〃|>网；()

(8)若a>b,贝”/?一4二。一/?.(

【变式7】设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则|方-4+|。+。|+卜-可化简后的结果为多少？

I।।

b0a

【变式8］己知x<-2,求+化简后的结果.

【变式9］如果同=3,回=5,求,+4_卜_耳的绝对值.

【变式10］化简:

（1）叶(2)|x-2|；(3)|x+4|+|2x—4|.

M分层提分

题组A基础过关练

一、选择题

1.如果向右走5步记为+5,那么向左走3步记为（）

A.+3B.-3C.+5D.-5

2.若数轴上点A表示的数是-5,则与它相距2个长度单位的点B表示的数是（

A.±5B.-7或-3C.-7D.-8或3

3.-19的绝对值为（)

11

A.19B.-19C.—D."-

1919

__、填空题

3

4.-y的绝对值是,绝对值等于4的数是一

5.把下列各数填入相应的大括号里：

11

-3,3,14,-0.1,80,-25%,0,—

17

正数集合：{};

整数集合：{};

负数集合：{};

正分数集合：{}.

6.化简：-(-9)=；|--|=.

一3

三、解答题

7.在数轴上把下列各数表示出来，并用连接起来:

~4,—|—3|,—f—2—,0,—(―I)100,5

8.小明是“环保小卫士”，他经常关心环境天气的变化，最近他了解到这周白天的平均气温如下表(“+”

表示比前一天升高，表示比前一天下降，单位：℃)

、.

星期一二三四五八日

气温变化+1.11-0.3+0.2+0.4+1+1.4-0.3

已知上周周日平均气温是16.9℃,解答下列问题：

(1)计算这周每天的平均气温.

(2)这周周几白天的平均气温最高?最高是多少？

(3)小明了解到本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃,最低气温是4.2℃,用一句话概括本地的气温

变化.

9.化简:

(1)I-4|=4|=________

(2)如果|x|=2,那么x=；如果|x|=x,那么x0(填N,W)

(3)如图，化简如|-|b|-|c|.

b0

题组B能力提升练

一、单选题

1.下列各对数中互为相反数的是（）

A.+(-2)和-2B.-(+2)和-2

C.-(-2)和+(-2)D.T+2I和-|-2|

2.如图，数轴上A，B,。三点所表示的数分别为。J如果满足a+分一c=0且=那么

下列各式表达错误的是（）

abc

ABC

A.a+c=2bB.b=2aC.c=3aD.a+c<0

+23

3.在0,---,-一,0.05这四个数中，绝对值最大的数是（）

32

23

A.0B.---C.---D.0.05

32

4.点A,B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b,以下结论正确的是（）

b

（1）b-a<0；（2）|a|<|b|；（3）a+b>0；（4）—<-l

।______।_____-----1_4—―►

-3a03b

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)

C.(1)(3)D.(2)(4)

5.已知数轴上a与b相差6个单位长度，若一。=2,则b的值为（）

A.4B.-4或8

C.-8D.4或-8

6.若a为有理数，则一。与时的和()

A.可能是负数B.不可能是负数C.只可能是正数D.只可能是0

丫满足由+9一2,则一高为，

7.已知非零有理数x,)

A.1B.-1C.2D.-2

二、填空题

8.在-4,-1-,0,-3.2,-0.5.5,-1，2.4中，若负数共有M个，正数共有N个，则M-N=

2

9.己知a,4c,两数在数轴上的位置如图所示，化简|。+回+|。一。|一附一1|=.

•••♦•>

01

10.如果凶=卜5|,则％=.

11.有理数a,b在数轴上的位置如图所示，试比较a,b,-a,-b四个数的大小关系：

<<<.

ab0c

12.对于有理数a,b,n,d,若|a-〃|+卜一〃|=乩则称a和6关于〃的“相对关系值”为d,例如,

|2-1|+|3-1|=3,则2和3关于1的“相对关系值”为3.

(1)若a和2关于1的“相对关系值”为4,则a的值_____________；

(2)若斯和q关于1的“相对关系值”为1,则为+为的最大值为.

13.已知凶=8,|>|=2,且冲<0,则一的值为.

14.A、B、C、D、E是数轴上的五个点，点A、B、C所表示的数分别为-』，3,—,将数轴沿着点D折叠